Алмаев2

	3 5 1						0 1 −1						2	0	0	0
													0	0	0	0
д)		0 3 5				;	е)	1 0		−1 ; ж)							;
													0	0	0	0
		0 0 3
								2 −1 −1					3	0	0	2
	1		1	1			1		1		−3	3
з) 1 1				−1			−1 ; и)			−2 −6 13 .
	1		−1	1			−1
										−1	−4	8
			−1	−1
	1						1

4.66. В некотором базисе линейный оператор f задан матрицей А. В вещественном линейном пространстве найти какой-либо базис, в котором матрица оператора f имеет диагональный вид, если

	−1 4			0		2				2	0	2
		;	б)					;		0	4	0		;
а) А=				А=	3	1			в) А=
	1 −1									2	0	2

	2 4 6					7		0	0				5 6	3
	4	2	6				−19 10				; е) А=		−1 0		;
г) А=				; д) А= 10										1
													1 2
−4 −4 −8						12	−24 13							−1
	−1 1 1 1						−1 1				0 0
ж) А=	1	−1	−1		−1	; з) А=		1	−1 0 0			.
	1	−1	−1		−1			0	0		−1 1
	1	−1	−1					0	0
					−1						1 −1

4.67.Найти матрицу Т, диагонализирующую данную матрицу А,

изаписать соответствующую диагональную матрицу, если

	1	4		6	2		4			−2	0
								−2		3	−2
a) А=	4	; б) А		=	3	; в) А=						;
		1		2				0		−2	2
	−9 54 36						−1 −2 −3					5 −6			2
	0	0 0					−2 −1 −3			; е) А=			6	−7	2		;
г) А=				; д) А=
	−3 18 12						2 2 4						6	−6	1

21

2			0	−3	−3
	0	2 2			2
ж) А=						.
	0		0	−1	−3
	0		0	2	4

4.68. Выяснить, какие из следующих матриц линейных операторов можно привести к диагональному виду путем перехода к новому базису. Найти этот базис и соответствующую ему матрицу:

	−1			3	−1			6 −5 −3							1	1	1	1
a)		−3 5			−1 ; б)				3	−2 −2				; в) 1 1			−1	−1 ;
															1	−1 1		−1
		−3		3					2	−2 0
					1											−1	−1
															1			1
	4			−3 1		2				0		0	0 1
			5	−8 5		4					0	0		1 0
г)								; е)							.
			6	−12 8		5					0	1		0 0
			1	−3 2		2					1	0		0 0

4.7. Жорданова форма Определение. Жордановой клеткой называется квадратная матри-

λ1 0		0
ца вида Jλ =	0 0	λ1		, в которой на главной диагонали стоит неко-
	0 0	0 λ

торое число λ над диагональю 1, а все остальные элементы равны 0. Определение. Жордановой матрицей называется матрица вида

	Jλ	0	0
	1
	0 Jλ2		0		, где на главной диагонали стоят Jλi	, i =1,…, k (воз-
	0	0	Jλk

можно разных порядков, но среди λi могут быть одинаковые), а места вне клеток заполнены нулями.

22

Определение. Вектор y называется присоединенным вектором оператора А m-го порядка (m > 0), отвечающим собственному зна-

чению λ, если ( A −λE)m y = x , где x – собственный вектор, отве-

чающий собственному значению λ.

Теорема Жордана. Если линейный оператор действует в комплексном линейном пространстве, то существует базис, составленный из собственных и присоединенных векторов оператора А (так называемый жорданов базис), в котором матрица оператора А имеет жорданову форму.

Число клеток в жордановой форме матрицы линейного оператора совпадает с максимальным числом линейно независимых собственных векторов этого оператора.

Число жордановых клеток nk порядка k, отвечающих собствен-

ному значению λ, можно вычислить по формуле

nk = r{( A −λE)k −1} − 2r{( A −λE)k } + r{( A −λE)k +1}.

Примеры

1. Найти базис, в котором матрица линейного оператора А имеет

жорданову форму и выписать эту форму
4		6	−15
	1	3	−5
A =				.
	1	2	−4

Решение. Характеристическое уравнение для заданного опера-

		A −λE			4 −λ	6	−15
тора есть				= 0,	1	3 −λ	−5			= 0,
					1	2	−4 −	λ

(4 −λ) [(λ −3)(4 +λ) +10] −1 [−6(4 +λ) +30] + + [−30 +15(3 −λ)] = (4 −λ)(λ2 +λ − 2) −9(λ −1) = 0,

откуда (λ −1)3 = 0, λ1,2,3 =1 .

Как видно, корень характеристического уравнения имеет трехкратное вырождение. Найдем теперь собственные векторы. Выпи-

шем соответствующее уравнение для собственного вектора xG = (α1,α2 ,α3 ) :

23

G			4 −λ				6			−15			α
	=	0,		1		3	−λ			−5			1		= 0,
(A −λE ) x													α2
				3			1						α3
									−4 −λ
		3		6	−15			α
		1		2	−5			1		= 0.
								α2
		1		2	−5			α3

Ранг матрицы данной системы равен 1, фундаментальная совокупность состоит из двух решений. Таким образом, в рассматриваемом случае жорданова матрица будет содержать две жордановых клетки. Принимая за главную переменную α1 , имеем

α1 = −2α2 +5α3 .

В качестве двух собственных векторов можно выбрать, например, следующие два линейно независимых решения:

G		−2		G		3
		1				1
x1	=			, x2	=		.
		0				1

Чтобы достроить базис жордановой формы,

найдем вектор y ,

присоединенный к x2 (вектор x1

в выбранном виде присоединен-

ного не имеет), с помощью соответствующего уравнения:

G

G

G

3 6 −15

β

3

1

2

−5

1

1

,

Ay

= λy

+ x2

,

β2

=

1

2

−5

β3

1

откуда β1 = −2β2 +5β3 +1 и в качестве присоединенного можно выбрать, например, вектор

−1 yG = 1 .

0

Нетрудно убедиться, что векторы xG1 , xG2 , yG линейно независимы. Таким образом, жорданова форма заданной матрицы имеет вид

24

										1		0		0
											0	1		1
									J =						,
											0	0		1
																x , xG			, yG.
а соответствующий базис составляют векторы
																1		2
Задачи
4.69. Найти жорданову форму матрицы линейного оператора
		1 1 −1						3 2 2					−1 1 1						1 0 0
a)		0 0 1			; б)			0 10 −5				в)		0 0 0						0 0 1		;
											;							; г)
		1 5 1						0 7 −2						3 4 1						0 1 0
		0 0 3						5 3	2			−3			1	2			1
										;
д)			0 3 0		; е)			0 5 4			ж)		0		4	6 0 ;
												0 −3 −5 0
			0 0 0					0 0 5
													0		−3	−6
																			1
	1 3 0 1							2 1 7							1
з)		0 3 0 0					;		−1 0 −17						−6
		−3 −3 1 0						и)							.
								0 0 3							1
		−3 −3 1 1							0 0			−4
															−1

4.70. Найти базис, в котором матрица линейного оператора име-

ет жорданову форму, и найти эту форму
		3	2 −3						1 1 −1					0		3	3
		4	10 −12				; б)		−3 −3 3							8	6
a)												;		в) −1				;
		3	6 −7						−2 −2 2						2	−14 −10
		6	6	−15			0 1				−1 1			6 −9 5				4
																−13 8
г)		1	5	−5		;	д)	−1		2	−1 1		;	е)	7		7		.
								−1		1	1 0			8 −17 11 8
		1	2	−2
								−1		1					1	−2 1		3
											0 1

4.8. Сопряженный и самосопряженный операторы

Пусть L – пространство со скалярным произведением. Определение. Линейный оператор f*: L→L называется сопря-

женным к оператору f: L→L , если (f(x), y) = (x, f*(y)) для x, y En.

25

Теорема. Матрица сопряженного оператора f* в ортонормированном базисе получается из матрицы оператора f в том же базисе переходом к транспонированной и комплексно сопряженной.

Теорема. В пространстве со скалярным произведением каждый линейный оператор имеет единственный сопряженный оператор.

Определение. Линейный оператор f: L→L называется самосо-

пряженным, если f* = f, т.е. (f(x), y) = (x, f(y)) для x, y En.

В случае, когда L – евклидово пространство, самосопряженный оператор называется симметричным, если L – унитарное пространство, то самосопряженный оператор называется эрмитовым.

Спектром называется совокупность собственных значений оператора.

Теорема. Спектр эрмитова оператора – вещественный. Теорема. Собственные векторы самосопряженного оператора,

отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Теорема. Если f – самосопряженный оператор, то существует

ортонормированный базис из собственных векторов оператора f. Определение. Вещественная матрица A = {aij}, элементы кото-

рой удовлетворяют равенству aij = aji, i, j, называется симметричной. Комплексная матрица A = {aij}, элементы которой удовлетворяют равенству aij = āji, i, j, называется эрмитовой.

Теорема. Матрица симметричного (эрмитова) оператора в ортонормированном базисе симметрична (эрмитова). Линейный оператор, матрица которого в некотором ортонормированном базисе симметрична (эрмитова), является симметричным (эрмитовым).

Задачи

4.71.Пусть I – тождественный оператор. Доказать, что I* = I.

4.72.Даны линейные операторы f и g: L→L. Доказать, что

а) (f + g)* =f* + g*, б) (fg)* = g* f*, в) (f*)* = f, г) ( α f)* = α f*, где

α – произвольное комплексное число, д) если существует f-–1, то

(f-–1)* = (f*)–1.

4.73.Пусть I – тождественный оператор. Доказать, что I – самосопряженный оператор.

4.74.Доказать, что, если f и g – самосопряженные операторы, то (f + g) – самосопряженный оператор.

4.75.Доказать, что, если f и g – самосопряженные операторы и fg = gf, то fg – самосопряженный оператор.

26

4.76.Доказать, что, если f – самосопряженный оператор и существует f-–1, то f-–1 – самосопряженный оператор.

4.77.Доказать, что, если f – самосопряженный оператор, то α f –

самосопряженный оператор тогда и только тогда, когда α – вещественное число.

4.78.Пусть f: E1→E1 – линейный оператор. Найти сопряженный

сним оператор.

4.79.Оператор f: En→En имеет в некотором ортонормированном базисе матрицу A. Найти матрицу сопряженного оператора в том же базисе, если

	2	−3	−1 3			2		0		−1 2
			; б) A=	0	1	4		; в) A=	3	4	−5	.
	а) A=
	4	5		3	−1	−2			1	0	−3

4.80.Пусть f: E2→E2 – оператор поворота на угол α . Найти сопряженный с ним оператор.

4.81.Оператор f: En→En в некотором ортонормированном базисе

e1 ,e2 ,...,en				имеет матрицу A. Найти матрицу сопряженного опера-
тора в ортонормированном базисе e1′,e2′,...,en′ , если
а)	A =			−3		1	, e1′		=		1	e1 −		1			e2	, e2′	=		1	e1	+		1			e2	;
				4
											2				2						2					2
						2
б)	A =			1		−2	, e1′		=		1	e1 +		2			e2	, e2′	=		2	e1	−		1			e2	;
				3
											5				5						5					5
						4
				−1		0	0					1													1
в)	A =			0		1 1		, e1′ =					(e1		+e2 +e3 ),							e2′	=					(−e1 + e2 ) ;
												3														2
				0		2	1
	e3′ =			1		(−e1 −e2 + 2e3 ) .
				6
4.82. Оператор f: E2→E2 в базисе e1′= e1 ; e2′ = e1																										+e2 , где e1 , e2 –
ортонормированный базис, имеет матрицу 1																							2			. Найти матрицу
																					1		−1

сопряженного оператора f* в базисе e1′,e2′ .

4.83. Линейный оператор f евклидова пространства в базисе из векторов l1 = (1, 2, 1), l2 = (1, 1, 2), l3 = (1, 1, 0) задан матрицей

27

1		1	3
	0	5			. Найти матрицу сопряженного оператора f* в том же
			−1
	2	7	3

базисе, считая, что координаты векторов базиса даны в некотором ортонормированном базисе.

4.84. Найти матрицу линейного оператора f*, сопряженного оператору f в ортонормированном базисе e1 ,e2 ,e3 , если f переводит

векторы	a1 = (0, 0, 1),	a2 = (0, 1, 1),	a3 = (1, 1, 1)	в	векторы
b1 = (1,2,1) ,	b2 = (3,1,2) ,	b3 = (7, −1,4)	, где координаты всех векто-

ров даны в базисе e1 ,e2 ,e3 .

4.85.Пусть xOy – прямоугольная система координат на плоскости и f – проектирование плоскости на ось Ox параллельно биссектрисе первой и третьей четверти. Найти сопряженное преобразование f*.

4.86.Пусть f: E2→E2 – оператор ортогонального проектирования на ось Ox. Доказать, что f – самосопряженный оператор.

4.87.Пусть f: E3→E3 – оператор ортогонального проектирования на плоскость xOy. Доказать, что f – самосопряженный оператор.

4.88.Найти ортогональную матрицу, диагонализирующую симметрическую матрицу A, если

					0		5					3 1				5		1	1
а) A=													; г) A=				1 5 1				;
	1 1 ; б) A=							; в) A=
					5 4
	1 1											1 3					1	1	5
	1 −2 0						0	1	0				3		0		2
		−2 1 0		; е)			1	4	2					0	5		0
д) A=						A=					; ж) A=							.
		0 0 4					0	2	0					2	0		3

4.89. Найти ортонормированный базис собственных векторов и матрицу В в этом базисе для линейного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей А, если

	11 2	−8		17 −8		4		3 −i 0
	2 2	10			−8 17 −4					3	0
а) A=				; б) A=				; в) A= i				.
	−8 10 5				4 −4	11			0 0		4

28

4.9. Ортогональный оператор

Определение. Вещественная квадратная матрица, столбцы которой образуют ортонормированную систему векторов, называется ортогональной.

Определение. Линейный оператор f евклидова пространства Е называется ортогональным, если для x, y Е выполняется усло-

вие (x, y) = (f(x), f(y)).

Теорема. Для того, чтобы квадратная матрица А была ортогональной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из

следующих условий:

1) ATA = I; 2) AAT = I; 3) AT = A–1, где I – единичная матрица. Теорема. Матрица ортогонального оператора в ортонормиро-

ванном базисе ортогональна.

Теорема. Для того чтобы оператор f: E→E был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий:

1)его матрица в ортонормированном базисе была ортогональна;

2)этот оператор переводил ортонормированный базис в ортонормированный;

3)этот оператор не менял длину вектора.

Задачи

4.90.Доказать, что если λ – собственное значение ортогонального оператора, то λ= ±1.

4.91.Доказать, что собственные векторы ортогонального оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

4.92.Выяснить, является ли матрица А ортогональной, и если является, то найти обратную ей

1		4		1		−3
					10	10		;
а) А=	−2	2		; б) A =	3	1
					10	10

29

	1	2	2
	5		6	30					1 0 −1
		−1	5
в) A =	0						; г) A =			0	−1 0		;
			6	30						1	0 1
	2	−1	−1
				30
	5		6
2		0	−3					1			1		1
										3
	13		13								2		6
д) A =	0	1	0					1			−1		1
					; е) A =					3				.
	3		2								2		6
		0
	13		13					1			0		−2
										3
													6

4.93. Выяснить, является ли ортогональным оператор f: E2→E2, если

а) f – оператор симметрии относительно оси Ox;

б) f – оператор, переводящий всякий вектор x в вектор λx, где

λ R , λ≠0;

в) f – поворот на угол α ;

г) f = gh, где g – симметрия относительно оси Ox, h – поворот на угол α .

4.94.Выяснить, является ли ортогональным оператор f: E3→E3,

если

а) f – оператор симметрии относительно плоскости xOy; б) f – оператор, проектирования на плоскость xOz;

в) f(x) = [x, a], где а – фиксированный вектор пространства E3.

4.95.В евклидовом пространстве задан ортогональный оператор f. Чему равна длина вектора f(x), если длина вектора x равна трем?

4.96.Пусть f: En→En и g: En→En – ортогональные операторы соответственно с матрицами Аи Вв некотором базисе. Чему равен detАВ?

4.97.При каком значении α оператор, заданный матрицей А в

некотором ортонормированном базисе, является одновременно ортогональным и самосопряженным, если

1		α			1	2
	2				5	5
а) А=	1	−1		; б) А=	α	1	.
	2		2			5

30