Алмаев2

в)

е)

в)

−1 1 3 2 3

3−2

1 1

2 1

	1	−2						10 5				−9		1						0	5			1
							1									0				1	−1			0
−1 0						; г)			−1 13			−6		; д)											;
							3								−6				−16 7					3
	3	8							8 16			−9
															15				40		−14			−6
2			1			7 10								0 1					0		−1
		; ж)								. 4.21.		а)				; б)				−1 0		;
			3
−1						−1 5								1 0
1		λ 0								1 0						1			−2		−9	18
							; д)					. 4.22. а)							−8		−1	16		;
	; г)
1			0			λ				0 0						7			−5		−5	17

		−3		−6		15				1			0		2	1
	1											2	3		5	1
б)			−5	−10		25		. 4.23. а)									;
7												3	−1		0	2
			−4	−8		20
												1	1		2	3
−2				0	1	0				1 0				0				1 2 2
		1		−4	−8	−7
б)									. 4.24.		0		2	0	. 4.25.				3	−1 −2	.
		1		4	6	4
											0 0			3					2	−3 1
		1		3	4	7

4.26.Ker f={(–t,t,–t) t R}, Im f={ α1 (−1,1,0) +α2 (3,0,3)α1 ,α2 R }.

4.27.Ker f={0}, Im f=X. 4.28. Ker f=X, Im f={0}. 4.29. Ker f – все век-

торы, перпендикулярные к оси Ох, Im f – все векторы, параллельные

оси Ох. 4.30. Если из неравенства x1 ≠ x2 следует f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) .

4.31. Ker f – все векторы, перпендикулярные к плоскости Охy, Im f – все векторы, параллельные плоскости Охy, ранг f равен двум, дефект

– единице. 4.32. а) Ker f – множество векторов, перпендикулярных к вектору a; Im f – множество векторов, коллинеарных вектору a; ранг f равен единице; дефект – двум; б) Ker f – множество векторов, коллинеарных вектору a; Im f – множество векторов, ортогональных вектору a; ранг f равен двум, дефект – единице. 4.33. а) Ker f={0}, Im f=X, ранг f равен трем; дефект – нулю; б) Ker f ={(–1,7,4)t,

t R}; Im f ={ α1 (1,3,4) +α2 (−1,1,0) , α1,α2 R }, ранг	f равен
двум, дефект – единице; в) Ker f ={(t,–4t–2s,s), t,s R};	Im f =

71

={(4,1,2)t, t, R}, ранг f равен единице, дефект – двум; г) Ker f =X; Im f ={0}; ранг f равен нулю; дефект – трем. 4.34. Ker f = {0};

Im f= E3 ; ранг f равен трем; дефект – ранг нулю.
					1/ 2 1/ 2										5 11											1 2 1									−6 6 3
																				. 4.38. а)							5		3		0					13		6		2
4.35. а)													; б)																				; б)								;
					1/ 2 17 / 2										8 19												2		7		6					20		6		4
	1			14		5								6 5								−2			−5					1 5							−16 −15
в)		8		−8																							; в
						−2			. 4.39. а)								; б)					11 11												; г)			20 16					.
		7		23		11								−3 3																−9 −1
									−1					0			−1					0			; в)	0				1		; г)			−cosα sin α
4.40. Нет. 4.41. а)										0				; б)				0										−1		0								cosα				;
														−1							−1														sin		α
	−cos α							−sin α						−cos α									sin α										λ			0		0
д)																																			0	λ		0
			−sin α					cos α					; е)		−sin α													. 4.42. а)												;
																						−cos α													0	0		−λ
	λ 0 0											0 0 0											0 0 0										0 0 0
б)			0		λ	0												; г)						0 1 0										0		λ		0		;
									; в)				0 1 0																	; д)
			0 0			−λ																												0 0			−λ
													0 0 −1											0 0 −1
	λ				0	0				0				0	0										44					44							109			93
е)			0		λ	0			; ж)			0		λ	0																		. 4.44.
																	. 4.43.																									.
			0		0	−λ						0		0	−λ										−59 / 2					−25							34 29
4.45. а) Нет; б) да; в) да. 4.46. а) Нет; б) нет. 4.47. а)																																			f −1 = f			;
б)		f −1 – поворот на угол (–α). 4.48. Являются, если gf = fg.
						1			−4 19					−8						1		0				5				2
4.49. а) −									12	−8				−4		; б)							12		−19					2		; в) не существует;
						28												12
									0 −7 0														0			1
																														−2
		1		−5		15			−25
г)					−2	0			14					. 4.50. Cобственным вектором линейного опе-
		30
					4	0			2
ратора f:						E3 → E3					является ненулевой вектор,																				образ которого есть

72

вектор, коллинеарный данному.4.51. а) x || i(x ≠ 0) с собственным значением 1, x || j (x ≠0) с собственным значением –1; б) x || i (x ≠0)

ссобственным значением –1, x || j (x ≠0) с собственным значением 1; в) любой ненулевой вектор с собственным числом k; г) x ↑↑ i (x ≠0)

ссобственным значением 1, x ↓↑ i (x ≠0) с собственным значением –1; x i (x ≠0) с собственным значением 0. 4.53. Нет. 4.54. а) Собственных значений оператор не имеет; б) –2, 3; в) 1; г) –2,3,4.

												3 0								1		7 36			1
4.56. Нет. 4.59. а)															; б) −								. 4.62. а) c				, c R, c ≠ 0;
																			11
												0 1										24 37			0
б)	1						1				с1 ,c2 R, c1 ,c2 ≠ 0;
	c1 , c2						,
	0						1
		1					8							9
в) c			0		, c			−2				, c			−3		, c ,c ,c R, c ,c ,c ≠ 0;
	1					2							3							1 2 3				1 2 3
			0						1						1
		0					5
г) c			0	, c					5		, c ,c , R, c ,c , ≠ 0;
	1					2								1		2					1	2
			1					−8
		0					15							11
д) c			1		, c				8			, c		16			, c ,c ,c R, c ,c ,c ≠ 0;
	1					2							3							1 2 3				1 2 3
			0												11
								−9
	c + c									1
е)		1 c			2		, c			1			,	c ,c ,c						R, | c | +			| c |≠		0, c ≠ 0 .
			1						3						1 2 3							1		2	3
			c							1
			2
						1						7					27
4.63. а)				с			0 , c						−1 , с					15		,	с ,c ,c			R,	с ,c ,c		≠ 0;
					1						2					3						1 2 3			1 2 3
																		25
							0						1
		0					1							7
б) с			0		, c				1		, с			−3		, с ,c ,c R, с ,c ,c ≠ 0;
	1					2							3							1 2 3				1 2 3
			1												6
							18

73

		1								5										125
в)	с	0		, c								1					, с				49				,	с ,c ,c							R, с ,c ,c							≠ 0.
	1						2												3									1 2 3								1 2 3
																					21
		0									−1
																										1
4.64. а)			λ = λ										2			= λ			3	= −1, с								1	, с R, c ≠ 0;
					1
																											−1
																					1							0
б) λ = λ					2	= λ						3		=			2, с					2			+ с			0		, с ,с					R, | c | +| с |≠ 0;
	1																			1							2				1 2							1			2
																						0
																												1
																														1										1
в)	λ =1, λ						2			= λ					3		= 0;				для λ =1:								с	1 , для λ = 0 : с											2		, с R, c ≠ 0;
	1
																																									3
																														1
																				3
г) λ = λ				2		= λ					3			=1, с							1	, с R, c ≠ 0;
	1
																					1
																															1											1
д) λ = 3,λ						2			= λ					3		= −1;						для λ = 3:								с		2		, для λ = −1:							с		2		, с R, c ≠ 0;
	1
																																2											1
																															2					1
е)	λ	= λ		2		=1, λ									3		= −1; для λ =1: с															1			+ с		0 ,
	1																													1					2
																																0
																																					−1
																3
	для λ = −1: с																5			,| c			| +| c					|≠ 0,c ≠ 0;
																					1					2
																	6
																																					1
ж)	λ =1, λ							2		= 2 +3i, λ												3		= 2		−3i;			для λ =1: с									2	,
		1
																																						1

74

з)

и)

к)

									3 −3i																		3 +3i
																		, для λ = 2 −						3i : с								;
для λ = 2 +3i : с											5 −3i																5	+3i
															4													4
																						0
λ = λ				=1, λ			3	= λ					4		= 0; для λ =1: с								0		,
1			2
																							1
							0										0
для λ = 0 : с								1			+с						0			, | c	| +| c	|≠ 0,c ≠ 0;
								0									1
					1										2					1	2
								0									0
																								1				0
																								0					0
λ	= λ			=1, λ				= λ						= 0; для λ =1: с												+	с				,
1		2				3						4									1			1			2		0
																								0					1
								0									0
								1									0
для λ = 0 : с											+с									, | c	| +| c	|≠ 0;
					1			0							2		1			1	2
								0									0
					1					1
																												1				0
λ = 2; с					1 +			с					1		, | c				| +| c |≠ 0 . 4.65. а)															;
			1		−1			2					0				1				2
																												0 −3
													1
					0

б)	2		0			в) не приводится; г)
		0	−7	;
	−2		0	0
е)		0	0	0		; ж) неприводится; з)
		0	0	1

0		0		0
	0	0		0		;	д) не приводится;
	0	0		2
−2			0	0			0
	0		2	0			0
	0		0	2			0	; и) неприводится.
	0		0	0			2

75

4.66. а) (2,1), (–2,1); б) (1,–1), (2,3); в) (1,0,–1), (1,0,1), (0,1,0); г) (1,–1,0), (–3,0,2), (1,1,–1); д) (0,1,2), (7,5,6), (0,5,6); е) (9,–2,1), (–2,1,0), (0,1,–2); ж) (1.1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,–1,–1,–1); з) (–1,1,0,0), (1,1,1,–1), (1,1,–1,–1), (0,0,1,1). 4.67. Матрица Т опреде-

1	1	5		0		2		1		,	7		0		;
лена неоднозначно; а) Т=		,	0	−3		; б) Т=	1	−2				0	2
1	−1

1 2 2							0 0 0								6 1 0 0 0 0
в) Т=	2 1 −2						,		0		3 0			; г) Т=		4 0 1		,	0 0 0		;
	2		−2 1						0		0 6					3 0 1			0 0 3
1 1 −1 0 0 0															1 1 0 1 0 0
д) Т=	5		−2 −2				,		0 1 0					; е) Т= 1 0 0				,		0 −1 0		;
	2		−2 0						0 0 1											0 0
															1 −3 3						−1
	1		0	0 −3						2		0		0 0
		0	1	0 2					;		0	2		0 0
ж) Т=		0	0	1		−3					0	0		2 0	. 4.68. а) a1 = (1,1,1), a2 = (1,1,0),
		0	0	−1 2							0	0		0 1
				1		0			0
					0	2			0		; б) матрица к диагональному виду не при-
a3 = (1,0,–3),
					0	0			2

водится; в) a1 = (1,1,0,0), a2 = (1,0,1,0), a3 = (1,0,0,1), a4 = (1,–1,–1,–1),

	2	0	0	0
	0	2	0	0
					; г) матрица к диагональному виду не приводится;
	0	0	2	0
	0	0	0	−2
д) a1 = (1,0,0,1), a2 = (0,1,1,0), a3 = (0,–1,1,0), a4 = (–1,0,0,1),
	1	0	0	0			1		0	0			5		0	0
	0	1	0	0		. 4.69. а)		0	−1	0		; б)		0	3	1		;
	0	0	−1 0
								0 0 4						0 0 3
	0	0	0
				−1

76

	0 0			0				1	0	0				3	0	0				5	1	0
в)		0	2 0			; г)		0	1	0		; д)		0	0	1		; е)		0	5	1		;
		0	0	−2				0	0					0	0	0				0	0	5
										−1

	−3 0			0	0			1		1	0	0			1		1	0	0
ж)		0	−2 0		0		; з)		0	1	0	0		; и)		0	1	0	0
		0	0	1					0	0	2					0	0	1		.
					0							0							1
		0	0	0	1				0	0	0	3				0	0	0	1

e1		= (1,4,3)		2		1	0
4.70. а) e	2	= (1,0,0)	A	=	0	2	0		;
		= (3,0,1)	J		0	0	2
e
	3

	e1 = (1, −3, −2)								0			1	0
б)	e		2		= (1,0,0)	A		=		0		0	0		;
						J
		e			= (1,0,1)					0		0	0
			3
	e1 = (6,6, −8)							−1				1	0
в)	e	2		= (3,1,0) A			=		0			−1	0		;
						J
	e			= (2,1, −1)					0			0	0
		3
		e1 = (3,1,1)								3		1		0
г)		e		2	= (1,0,0)		A		=		0	3		0			;
								J
		e		3	= (5,0,1)						0	0		3

	2	4			−1		0	3				0					3
4.78. f = f*. 4.79. а)				; б)		3	1	−1		; в)			−1				4
	−3	5				2	4	−2					2				−5
4.80. f – поворот на угол (–α). 4.81. а)							2		4		; б)		1			19
								−3	5								8
													5

1

0 .

−3

−17 6 ;

	4 3 3 6 5 3 2				3		6			−36 −37 −15
	4 6	0	1 3						. 4.83.		30	30	14
в)				. 4.82.		−1	−3							.
	2 3	0	−1 3								26	27	9

77

	4		−2	2
4.84.		2	−1	1		. 4.85. f* – проектирование на биссектрису второй и
		1	2	1

четвертой четверти параллельно оси Oy. 4.88. Ответ определен не-
	1 2 1	2		0	0	;		−	5 6 1 6				−1 0	;
однозначно: а)			,				б)					,
	−1 2 1	2		0	2				1 6	5 6			0 5

		1 2 1 2														2 0																1 3 −1 2 1 6																				7 0 0
																																															1 6					,	0 4 0		;
в)													,					0				4		; г)								1 3 1 2
																																1 3											0			−2 6							0 4 4
	−1 2 1 2
	1 2 −1 2 0																				−1 0 0
																							0 3 0															;
д) 1 2 1 2																	0 ,
		0					0																0					0					4
																	1
		1 6					2 5 1 30																									−1 0 0
								0																									0 0 0
е) −1 6																		5 30										,														;
		2 6					−1 5 2 30																										0 0 5
		−1 2 1 2 0																				1 0 0
ж)		0						0								1				,			0			5							0				.
		1 2 1 2 0																				0 0 5
						2 3													2 3																	1 3 9 0											0
4.89. а) l =							2 3					;l		2		=					−1 3							;l			3		=					−2 3 ;						0	18		0			;
		1
							1 3														−2 3																	2 3						0 0 −9
				1	1											1						1												1				2 9 0 0
б) l		=				1 ;l						=											−1		;l								=						−2		;		0 9 0					;
									2																					3
	1	2														18																		3
																							−4																1				0 0 27
						0
			1		1													1			1												0 2 0 0
в) l		=				−i		;l			2		=								i			;l			3			=				0 ;						0		4			0	.	4.92. а) Нет; б) да,
	1	2																	2
																							0																	0 0 4
						0																												1

78

										1	3				0		2	3
1			1		3									−1			−1
					; в) да,					2	6					6		6 ; г) нет; д) да,
10
			−3		1					2	30			5	30		−1
																		30
2 13 0 3 13														1 3 1 3					1 3
		0			1	0									2	−1		2	0
										; е) да, 1											. 4.93. а) Да;
−3 13 0 2 13
													1 6 1 6 −2 6
б) да при λ = ±1, нет при λ ≠ ±1; в) да; г) да. 4.94. а) Да; б) нет;
в) нет. 4.95. 3. 4.96. ±1. 4.97. а)															α =1		2 ; б) ни при каком α .
5.1.				2 2						5.2.				1		−1 2			5.3.		1 0
					.								−1 2			3	.				0 −2		.
				2 −1
				1 0 −3								4 0 0									3 0		0
5.4.				0	−2	0				5.5.			0		1				5.6.		0	−1	0
							.									−1 .								.
				−3 0 1									0		−1 0						0 0 5
				0	1 2	−1						0			2	0	0
													2		1	0	0
5.7.		1 2			0	0	.			5.8.								.
													0		0	−2	−1
				−1	0	0
													0		0	−1	3
		3 4 0 0											4 0 0 0
5.9.				4 −3 0 0						.				0 −4 −4 0								0 3 2
				0 0 4 −3							5.10.			0 −4 2				−2	. 5.11.			3 2 0			.
				0 0 −3 −4										0 0 −2				−5

5.12. 1. 5.13. 2. 5.14. 3. 5.15. 2. 5.16. 4. 5.17. 3.												5.18. 3. 5.19. 2. 5.20. 3.
5.21. (x1, x2 )			3 −3			x					0 3 2					x
			−3			1		. 5.22. (x1, x2 )			3 2 1						1	.
				2		x2										x2
5.23. (x , x	)		−1	0	.			(x , x , x )	1		0		0		x1
						5.24.				0	−3		−2		x		.
1	2		0 2					1 2 3								2
										0	−2		1		x
																3

79

		1			0			1			x1
5.25. (x1, x2	, x3 )		0		0			−1 2			x2 .
			1		−1 2			0			x
													3
		0 1 2 3 2 x1
5.26. (x1, x2	, x3 )		1 2			0		−1		x2 .
			3 2			−1		0		x
												3
		1			−1			0	x1
5.27. (x1, x2	, x3 )		−1		−3			−1	x2 .
			0		−1			1	x
											3
				1		1		0		0			x1
5.28. (x1, x2	, x3 , x4 )				1	3		0		0			x
					0	0		−2 −2						2	.
													x
					0	0		−2 −2						3
													x4
				9		0		0		0			x1
5.29. (x1, x2	, x3 , x4 )				0	5		4		2			x
					0	4		5	−2					2	.
													x
					0	2		−2 8						3
													x4
				19			0 6 −2						x1
5.30. (x1, x2	, x3 , x4 )				0		0	0		2			x			. 5.31. x12 + x22 − 4x1 x2 .
					6		0	5		0				2
													x
					−2 2 0 8									3
													x4
5.32. −3x2 + 2x x . 5.33. 2x2 + x2											− 4x x				2	− 2x x .
2	1	2						1	2					1		2	3
5.34. 3x2 − 2x2 + x2 + 4x x								+ 2x x . 5.35. −3x2									+10x x .
1	2		3			1	3		2		3					2	1	2

5.36.−x12 + 2x32 + 6x1 x2 + 2x1 x4 + 8x2 x3 +10x3 x4 .

5.37.−4x12 + 2x22 +9x32 + x42 +14x1 x3 + 6x1 x4 +10x2 x3 +16x2 x4 − 12x3 x4 .

5.38.12x12 + 7x22 + 4x32 +18x1 x2 +10x1 x3 − 4x2 x3 .

5.39.6x12 − 4x22 − 2x32 + 6x1 x2 −8x1 x3 +14x2 x3 .

5.40.2x12 + 4x22 +3x32 +8x42 + 6x1 x2 −14x1 x3 −10x1 x4 +12x2 x3 +18x2 x4 −

80