Алмаев2

6. ВАРИАНТЫ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ

Задача 1. Исследовать на линейную зависимость систему векторов

1.1.a = (1, 4, 6), b = (1, −1,1), c = (1,1, 3) .

1.2.sin x, cos x, tgx на (− π2 , π2 ) .

1.3.a = (2, −3, ), b = (3, −1, 5), c = (1, − 4, 3) .

1.4.2, sin x, sin2 x, cos2 x на (−∞, ∞) .

1.5.a = (5, 4, 3), b = (3, 3, 2), c = (8,1, 3) .

1.6.1, x, sin x, на (−∞, ∞) .

1.7.a = (1,1,1), b = (0,1,1), c = (0, 0,1) .

1.8.ex , e2 x , e3x на (−∞, ∞) .

1.9.a = (1, −1, 2), b = (−1,1, −1), c = (2, −1,1) .

1.10.x, x2 , (1+ x)2 на (−∞, ∞) .

1.11.a = (1, 2, 3), b = (4, 5, 6), c = (7, 8, 9) .

1.12.1, x, x2 , (1+ x)2 на (−∞, ∞) .

1.13.a = (1,1,1), b = (1, 2, 3), c = (1, 3, 6) .

1.14.sin x, cos x, sin 2x на (− π2 , π2 ) .

1.15.a = (3, 4, −5), b = (8, 7, −2), c = (2, −1, 8) .

1.16.ex , e−x , e2 x на (−∞, ∞) .

1.17.a = (3, 2, −4), b = (4,1, − 2), c = (5, 2, −3) .

1.18.1+ x + x2 ,1+ 2x + x2 ,1+ 3x + x2 на (−∞, ∞) .

1.19.a = (0,1,1), b = (1, 0,1), c = (1,1, 0) .

1.20.1, ex , shx на (−∞, ∞) .

1.21.a = (5, −6,1), b = (3, −5, −2), c = (2, −1, 3) .

1.22.1x , x,1 на (0,1).

1.23.a = (7,1, −3), b = (2, 2, − 4), c = (3, −3, 5) .

1.24.1, ctgx, tgx на (0, π2 ) .

41

1.25.a = (1, 2, 3), b = (6, 5, 9), c = (7, 8, 9) .

1.26.x,1+ x, (1+ x)2 на (−∞, ∞) .

1.27.a = (2,1, 0), b = (−5, 0, 3), c = (3, 4, 3) .

1.28.ex , xex , x2ex на (−∞, ∞) .

1.29.a = (2, 0, 2), b = (1, −1, 0), c = (0, −1, − 2) .

1.30.ex , shx, chx на (−∞, ∞) .

Задача 2. Найти общее решение для каждой из данных систем и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений однородной системы, установить размерность пространства,

выделить частное решение неоднородной системы)
		3x + x −4x + 2x + x = 0														x + 2x − 2x −3x = 4
		1	2		3			4				5						1	2			3			4
2.1.	2x1 − 2x2 −3x3 −7x4 + 2x5													= 0		2x1 +5x2 − x3 −4x4										= 9
	x +11x				+34x					−5x = 0						x +3x					+3x			− x	= 5
		1	2					4				5						1	2			3		4
	7x + 2x − x −2x + 2x = 0																	x −4x + 2x +3x = 5
		1	2		3			4				5						1			2			3			5
2.2.		x1 −3x2 + x3 − x4 − x5 = 0																2x1 −7x2 + 4x3 + x4 = 9
		2x +3x		+ 2x			+ x		+ x =					0		x −			3x	+ 2x			+ x		−3x = 4
		1	2		3			4				5						1	2		3			4			5
		x + x +10x + x − x = 0														x + 2x −3x − 4x =1
		1	2		3			4				5						1	2			3			4
2.3.		5x1 − x2 +8x3 − 2x4 + 2x5 = 0														3x1 +7x2 −2x3 − x4										= 4
																	2x1 +5x2 + x3 +3x4 = 3
	3x1 −3x2 −12x3 −4x4 + 4x5 = 0
		6x −9x + 21x −3x −12x = 0																x −5x +3x + 4x = 4
		1	2			3			4					5				1		2			3			4
2.4.	−4x1 + 6x2 −14x3 + 2x4 +8x5														= 0			2x1 −9x2 + 2x3 + x5 = 7
		2x	−3x		+ 7x		− x				−	4x		=	0	x −			4x	− x		−		4x	+ x = 3
		1	2			3		4				5						1	2		3			4			5
		2x − x + 2x − x + x = 0																x +3x − x − 2x =1
		1	2		3			4			5							1		2		3			4
2.5.	x1 +10x2 −3x3 −2x4 − x5 = 0															2x1 + 7x2 − 4x3 −3x4											= 3
	4x +19x				− 4x		−	5x			− x = 0							x + 4x		2	−3x			− x	4	= 2
		1	2		3				4			5						1				3
		5x − 2x +9x −4x − x = 0																x + x + 4x + 2x = 0
		1	2		3				4			5						1	2			3			5
2.6.		x1 + 4x2 + 2x3 + 2x4 −5x5											= 0					3x1 + 4x2 + x3 +3x4									=1
	6x + 2x +11x						−	2x	4		−	6x		= 0		2x		+3x −			3x	+		3x	−		2x =1
		1	2		3							5					1		2		3			4			5

42

				12x − x +7x +11x − x = 0																x − x + 2x +3x = 0
					1		2			3		4		5						1		2				3			4
2.7.	24x1 − 2x2 +14x3 + 22x4 − 2x5															= 0			2x1 −3x2 + x3 + 4x4 =1
					x1 + x2 + x3 − x4 + 2x5 = 0
																		3x1 −5x2 +3x3 +7x4 = 4
	x + 2x + x + 4x + x = 0																x − x + 4x +3x = 5
			1		2			3		4		5						1		2			3				4
2.8.	2x1 + x2 +3x3 + x4 −5x5 = 0																3x1 −2x2 + x3 + 2x5 =1
	x				+3x	− x +6x					− x = 0				2x − x				2	−3x			−3x				+ 2x =1
			1		2			3		4		5					1				3				4				5
	2x +3x +3x −3x − x = 0															x −2x + 2x +3x = 0
					1	2			3		4	5					1			2			3				4
2.9.				x1 +6x2 − x3 + x4 + 2x5 = 0													3x1 −5x2 + x3 + 4x4 =1
	x			+16x			−6x			+6x		+7x		= 0			2x −3x					− x			+ x =1
		1			2			3			4	5						1			2		3				4
		x + 2x − x + x − x = 0															x −3x + 4x +3x = 2
				1	2			3		4		5					1			2			3				5
2.10.		x1 + x2 + 2x3 − x4 + x5 = 0														3x1 −8x2 + x3 + 2x4													= 5
					2x		+3x			+ x	=	0			2x −			5x		−	3x		+	2x			−		3x = 3
					1			2		3						1		2			3				4				5
				8x + x + x − x + 2x = 0														x −3x + x + 2x = 4
					1		2		3		4	5						1			2			3					5
2.11.				3x1 −3x2 −2x3 + x4 −3x5 = 0													2x1 −5x2 + 4x3 +3x4 = 7
																		x1 −2x2 +3x3 + x4 = 3
		5x1 + 4x2 +3x3 −2x4 +5x5 = 0
		x +3x − x +12x − x = 0																x − x +3x + 4x = 0
				1		2		3			4	5								1	2				3				5
2.12.		2x1 − 2x2 + x3 −10x4 + x5 = 0																4x1 −3x2 + x3 + 2x5 =1
					3x1 + x2 + 2x4 + x5 = 0
																3x1 − 2x2 −2x3 −4x4 + 2x5 =1
				7x −14x +3x − x + x = 0 x + 4x − 2x −3x = 2
					1			2		3		4	5					1			2				3				4
2.13.				x1 − 2x2 + x3 −3x4 +7x5 = 0													2x1 +9x2 − x3 −4x4 =5
																0		x1 +5x2 + x3 − x4 = 3
		5x1 −10x2 + x3 +5x4 −13x5 =
				x + 2x +3x + x − x = 0														x −2x +3x + 4x =1
					1		2			3	4	5						1			2				3				5
2.14.		2x1 − 2x2 −6x3 − 4x4 + x5 = 0																4x1 −7x2 + 2x3 + x4 = 3
			3x1 − 2x2 +3x3 +3x4 − x5 = 0
																3x1 −5x2 − x3 + x4 −4x5 = 2
					x + x + x − x − x = 0												x − x +3x + 4x = 0
					1	2		3		4		5					1			2			3				4
2.15.		2x1 + x2 −2x3 − x4 −2x5											= 0				2x1 − x2 + 2x3 + x4											=1
		x			+ 2x		+	5x		− 2x		− x =			0	4x		−3x			+8x				+9x				=1
				1	2			3			4	5					1			2			3				4

43

	2x + 2x − 2x + x −3x = 0																	x + x −3x −4x =1
		1				2				3	4		5							1		2				3			5
2.16.		3x1 − x2 + 2x3 − x4 + 2x5 = 0																4x1 +5x2 −2x3 − x4													= 3
	x1 −3x2 + 4x3 −2x4 +5x5 = 0														3x1 + 4x2 + x3 + 4x4 − x5 = 2
	x + 2x −3x +10x − x = 0															x −4x + 2x +3x = 5
		1			2				3		4		5					1			2				3				5
2.17.	−x1 −2x2 +3x3 +10x4 + x5													= 0		2x1 −7x2 + 4x3 + x4														= 9
	x + 6x					−9x				+30x		−3x = 0				x −					3x	+			2x		− 2x = 4
		1		2				3			4		5					1			2				3				4
		2x + x − x +7x +5x = 0																x + 2x − 2x −3x = 4
		1			2			3			4		5					1				2				3				5
2.18.	x1 −2x2 +3x3 −5x4 −7x5 = 0																	2x1 +5x2 − x3 − 4x4													= 9
	3x1 − x2 + 2x3 + 2x4 − 2x5 = 0														x1 +3x2 + x3 − 4x4 −3x5 = 5
	2x − 2x −3x −7x + 2x = 0															x −5x +3x + 4x = 4
		1				2				3	4		5					1			2				3				4
2.19.		x1 +11x2 +34x4 −5x5 = 0														2x1 −9x2 + 2x3 + x4														= 7
	x −		5x			−2x				−16x		+3x = 0				x − 4x						2		− x		−3x				= 3
		1		2				3			4		5					1							3			4
	3x + x −8x + 2x + x = 0																x + 2x −3x − 4x =1
		1		2				3			4	5						1			2				3				4
2.20.		x1 +11x2 −12x3 −5x5											= 0			3x1 +7x2 −2x3 + x5														= 4
	x −		5x			+	2x			+ x +3x			=	0 2x				+	5x + x +							4x + x = 3
		1		2				3			4	5				1					2				3			4			5
		x +3x −5x +9x − x = 0														x + x + 4x + 2x = 0
		1				2				3	4		5					1			2				3			4
2.21.	2x1 + 7x2 −3x3 −7x4 + 2x5													= 0		3x1 + 4x2 + x3 +3x4														=1
	x +		4x		2	+ 2x				−16x		+3x = 0				2x				+3x				−3x				+ x	4	=1
		1						3			4		5					1				2				3
		5x + 2x − x +3x + 4x = 0																			x +3x − x −2x =1
		1				2			3		4		5								1				2			3			5
2.22.		3x1 + x2 −3x3 +3x4 +5x5 = 0																2x1 +7x2 − 4x3 −3x4 = 3
	6x +3x					−2x					+ 4x	+5x = 0				x +					4x		−		3x		−3x			+ 2x = 2
		1			2					3	4		5					1			2				3			4			5
	3x + 2x −2x − x + 4x = 0														x − x + 4x +3x = 0
		1				2				3	4		5				1				2				3			4
2.23.	7x1 +5x2 −3x3 − 2x4 + x5 = 0														3x1 −2x2 + x3 + 2x4														=1
			x + x				2	+ x			−7x = 0				2x					− x		−3x				− x =1
				1						3	5							1			2				3			4
	x + x + x + 2x + x = 0															x + 4x −2x −3x = 2
		1		2				3			4	5				1					2				3			5
2.24.	x1 −2x2 −3x3 + x4 − x5 = 0															2x1 +9x2 − x3 −4x4													= 5
		2x		− x			−2x				+3x	= 0		x		+	5x		2		+ x			−4x				+3x			= 3
		1				2				3	4			1							3				4				5

44

	3x −5x + 2x +5x = 0 x −3x + 4x +3x = 2
		1		2	3		4				1		2	3	4
2.25.		7x1 −4x2 + x3 +3x4						= 0			3x1 −8x2 + x3 + 2x4					= 5
									0
	5x1 +7x2 − 4x3 −9x4 =										2x1 −5x2 −3x3 − x4 = 3
	x + x +3x − 2x +3x = 0											x −2x + 2x +3x = 0
		1	2	3		4			5					1	2	3	5
2.26.	2x1 + 2x2 +5x3 − x4 +3x5										= 0		3x1 −5x2 + x3 + 4x4 =1
	x		+ x	+ 4x	−5x	4	+6x			= 0		2x		−3x	− x + 4x −3x =1
		1	2	3					5				1	2	3	4	5
	x + 2x +3x −2x + x = 0											x − x +3x + 4x = 0
		1		2	3		4		5				1	2	3	4
2.27.	x1 + 2x2 +7x3 −4x4 + x5 = 0											4x1 −3x2 + x3 + 2x4 =1
														−2x2 −2x3 −2x4 =1
	x1 + 2x2 +11x3 −6x4 + x5 = 0											3x1
	6x +3x + 2x +3x + 4x = 0													x −3x + x + 2x = 4
		1		2	3		4				5			1	2	3	4
2.28.		4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 +3x5 = 0												2x1 −5x2 + 4x3 +3x5 = 7
			2x + x + x + x					+ x		= 0		x		−2x	+3x	−2x	+3x =	3
			1	2	3	4		5					1	2	3	4	5
		3x + 2x + 4x + x + 2x = 0										x −2x +3x + 4x =1
			1	2	3		4			5			1	2	3	4
2.29.			3x1 + 2x2 −2x3 + x4						= 0			2x1 −7x2 + 2x3 + x4					= 3
	3x1 + 2x2 +16x3 + x4 +6x5 = 0											3x1 −5x2 − x3 −3x4 = 2
	x − x + x − 2x + x = 0											x + x −3x −4x =1
		1	2	3	4			5				1		2	3	4
2.30.	x1 + x2 −2x3 − x4 + 2x5								=		0 4x1 +5x2 − 2x3 − x4 = 3
		x1 −3x2 + 4x3 −3x4 =							0
											3x1 + 4x2 + x3 +3x4 = 2

Задача 3. Найти координаты вектора x в базисе (e1′, e2′, e3′) , если

он задан в базисе (e1, e2 , e3 )								x = (1,2,4)
	x = (6, −1,3)
								e′ = e			+e			+3e
	e′ = e +e				+ 2e
				2					1	1			2		3
3.1.		1	1			3	3.2.				3
			e2′ = 2e1 −e2						e2′ =			e1 −e2
											2
						+ e3									+e
	e3′ = −e1 +e2							e′		= −e +e				2
									3		1				3

45

x= (1,3,6)

e1′ = e1 +e2 + 4e3

e′ = 4 e −e

2 3 1 2

e′ = −e +e + e

3 1 2 3

		x = (6,3,1)
							4
	3.5.	e1′		= e1 +e2	+					e3
							3
				e2′ = 4e1 −e2
			′
				= −e1 + e2 + e3
		e3
		x = (8,4,1)
							5
	3.7.	e1′		= e1 +e2	+					e3
							4
				e2′ = 5e1 −e2
		e′		= −e + e		2	+ e				3
			3	1
		x = (10,5,1)
							6
	3.9.	e1′		= e1 +e2	+					e3
							5
				e2′ = 6e1 −e2
			′
				= −e1 +e2 + e3
		e3
			x = (−12,6,1)
									7
	3.11.		e1′ = e1 +e2 +								e3
									6
				e2′ = 7e1 −e2
				′					+ e3
			e3 = −e1 + e2

		x = (2, 4,1)
							3
	3.4.	e1′		= e1 +e2 +				e3
							2
				e2′ = 3e1 −e2
		e′		= −e	+ e	2	+ e
			3	1				3

x= (1,4,8)

e1′ = e1 + e2 +5e3

e2′ = 5 e1 −e2

e′

3 4= −e1 +e2 +e3

x= (2,5,10)

e1′ = e1 +e2 + 6e3

e2′ = 6 e1 −e2

e′

3 5= −e1 +e2 + e3

	x = (1,6,12)
	e1′ = e1 +e2 +7e3
3.10.			7
		e2′ =		e1	−e2
			6
				+ e		+ e
	e′ = -e				2
		3	1			3

x= (−1,7,14)

e1′ = e1 +e2 +8e3

e′ = 8 e −e

2 7 1 2

e′ = −e +e + e

3 1 2 3

46

	x = (−3,2,4)
	e′ = e					+ e		2	−e
3.13.			1	1						3
			e2′	=	1		e1	−e2
					2
							+e			+ e
	e′		= −e						2		3
		3			1

x= (2,6, −3)

e1′ = e1 +e2 − 2e3

e2′ = 2 e1 −e2

e′

3 3= −e1 +e2 + e3

x= (1, −4,8)

e1′ = e1 +e2 −3e3

e2′ = 3 e1 −e2

e′

3 4= −e1 +e2 + e3

x= (6, −1,3)

3.19.e1′ = e1 + e2 + 2e3e2′ = 2e1 −e2e3′ = −e1 +e2 + e3

x= (1, −6,6)

e1′ = e1 +e2 −5e3

e′ = 5 e −e

2 6 1 2

e′

3 = −e1 +e2 + e3

		x = (2,4,3)
							1
	3.14.	e1′		= e1 +e2 +				e3
							2
				e2′ = −e1 −e2
		e′		= −e	+ e	2	+ e
			3	1				3
		x = (12,3, −1)
							2
	3.16.	e1′		= e1 +e2 +				e3
							3
			e2′ = −2e1 −e2
			′	= −e1 + e2 + e3
		e3

x= (1,4, −8)

e1′ = e1 +e2 −3e3

e′ = 3 e −e

2 4 1 2

e′ = −e +e + e

3 1 2 3

x = (5, −5,4)

		e1′	= e1 +e2 +	4		e3
	3.20.			5
		e2′ = −4e1 −e2
		′	= −e1 + e2	+ e3
		e3
		x = (6,6,2)
		e1′	= e1 +e2 +	5	e3
	3.22.			6
		e2′ = −5e1 −e2
		′	= −e1 +e2	+ e3
		e3

47

x= (1,7, −7)

e1′ = e1 + e2 −6e3

e′ = 6 e −e

2 7 1 2

e′

3 = −e1 +e2 + e3

x= (3, −8,8)

e1′ = e1 +e2 −7e3

e′ = 7 e −e

2 8 1 2

e′

3 = −e1 +e2 + e3

		x =	(9,9,2)
		e1′	= e1 +e2 +		8	e3
	3.27.			9
		e2′ = −8e1 −e2
		′	= −e1 +e2	+ e3
		e3
		x =	(10,10,7)
		e1′	= e1 +e2 +		9		e3
	3.29.			10
		e2′ = −9e1 −e2
		′	= −e1 + e2		+ e3
		e3

		x = (7,7,2)
		e1′	= e1 +e2 +							6	e3
	3.24.									7
		e2′ = −6e1 −e2
		′	= −e1 + e2 + e3
		e3
		x = (1, −9,9)
		e′	= e	+e			2	+ −8e
	3.26.	1	1		8					3
			e2′ =			e1 −e2
				9
										+ e
		e′	= −e +e						2
		3		1						3

x= (3, −10,10)

e1′ = e1 +e2 −9e3

e′ = 9 e −e

2 10 1 2

e′ = −e +e + e

3 1 2 3

		x = (1,9,18)
		e′		= e	+ e		2	+10e
	3.30.		1	1	10					3
			e2′ =			e1 −e2
					9
										+ e
		e′		= −e +e					2
			3		1					3

Задача 4. Пусть x = (x1 , x2 , x3 ) , Ax = (x2 − x3 , x1 , x1 + x3 ) ,

Bx = (x2 , 2x3 , x1 ) . Найти образ вектора

4.1. ABx , 4.2. A2 x , 4.3. ( A2 − B) x , 4.4. B4 x , 4.5. B2 x , 4.6. (2A +3B2 ) x , 4.7. ( A2 + B2 ) x , 4.8. ( A + B2 ) x , 4.9. BAx , 4.10. B(2A − B) x , 4.11. A(2B − A) x , 4.12. 2( AB + 2A) x ,

4.13. ( A − B)2 x , 4.14. (B −2A2 ) x , 4.15. BA2 x , 4.16. (3A2 + B) x , 4.17. ( A2 + B) x , 4.18. ( A2 − B2 ) x , 4.19. (2B − A2 ) x , 4.20. B3 x ,

48

4.21. (B2 −2A) x , 4.22. ( A(B + A)) x , 4.23. ( AB2 ) x ,

4.24. ( A(B − A)) x , 4.25. 2(B + 2A2 + B2 ) x , 4.26. (B( A − B)) x , 4.27. (B − A + B2 ) x , 4.28. (B( A + B)) x , 4.29. ( A + BA − B) x , 4.30. (3B + 2A2 ) x .

Задача 5. Найти матрицу линейного оператора в базисе
(e1′,e2′,e3′) , где e1′ = e1 −e2 + e3 ,									e2′ = −e1 +e2 −2e3 , e3′						= −e1 + 2e2 + e3 ,
если она задана в базисе e1,e2 ,e3
		1 0 2						2	1 0						0	2	3
5.1.		3	−1	0		5.2.		3	0	4			5.3.		4	1	0
		1 1 −2						1	−1 2						2	−1 −2
		1	2	0				2 0 1							0	3	2
5.4.		3	0			5.5.		3	0	2			5.6.		2	1
				−1													−1
		2	1					−1 1 2							0	−1 2
				−1
		1	3	0				2	1 2						0 1 2
5.7.		2	1			5.8.		3	0	2			5.9.		4	0	1
				−1
		0	2					1	0 1						−1 −2 1
				1

		1	1 0						2	1	1					3	0 1
5.10.		0	−1	1			5.11.		0	0	2			5.12.		1	−1		0
		2	3 1						1							2
										3 −1							1 −1
		1 2 1							1	1 2						1	1 1
5.13.		0	2	0			5.14.		0	2	1			5.15.		2	0
																		1
		−1 1 1							1	−1 0						0
																	1 1
		1	1 3						1	0 1						1 0 2
5.16.		1	0 1				5.17.		0	−1		2		5.18.		3	0
																			−1
		2	0 1						3	−1 1						1 −2 1
		2 0 0							1	1	0					0	1 1
5.19.		1	−1	1			5.20.		1	1	1			5.21.		1	1	0
		−1 2 1							0	2	1					2	1 1

49

		0 0 1							0	1 1				0 2 1
5.22.		2	1				5.23.		0	2		5.24.		0	3
				−1							1					2
		−1 1 1
									−1 2 1					1 1 −1
		2	0 1						2 0 1					2	1	−1
5.25.		0	1				5.26.		1	1		5.27.		−1	3	1
				−1							1
		1												0	1 0
			1 −1						0 2 −1
		2	1 0						2	1 0				2	−1 0
5.28.		1	0	1			5.29.		0	1		5.30.		−1	0	1
											−1
		1	−1 1											1
									−1 1 1						1 −1

Задача 6. Доказать линейность, найти матрицу (в базисе (i , Gj, k ) ), образ и ядро оператора

6.1.Проектирования на ось Ox .

6.2.Проектирования на плоскость z = 0 .

6.3.Проектирования на ось Oz .

6.4.Зеркального отражения относительно плоскости Oyz .

6.5.Проектирования на ось Oy .

6.6.Проектирования на плоскость y = 0 .

6.7.Зеркального отражения относительно плоскости x − y = 0 .

6.8.Зеркального отражения относительно плоскости y + z = 0 .

6.9.Проектирования на плоскость y − z = 0 .

6.10. Проектирования на плоскость y = 3x .

6.11.Проектирования на плоскость Oyz .

6.12.Зеркального отражения относительно плоскости x − z = 0 .

6.13.Зеркального отражения относительно плоскости Oxy .

6.14.Поворота относительно оси Ox на угол π2 в положитель-

ном направлении.

6.15.Проектирования на плоскость x − y = 0 .

6.16.Проектирования на плоскость y + z = 0 .

6.17.Зеркального отражения относительно плоскости x + y = 0 .

6.18.Зеркального отражения относительно плоскости y − z = 0 .

50