Алмаев2

6.19.Проектирования на плоскость x + y = 0 .

6.20.Проектирования на плоскость x − z = 0 .

6.21.Зеркального отражения относительно плоскости x + z = 0 .

6.22.Поворота относительно оси Oz на угол π2 в положитель-

ном направлении.

6.23. Проектирования на плоскость 3y + z = 0 .

6.24.Зеркального отражения относительно плоскости Oxz .

6.25.Поворота относительно оси Oy на угол π2 в положитель-

ном направлении.

6.26. Проектирования на плоскость x + z = 0 .
6.27. Проектирования на плоскость y + 3z .
6.28. Проектирования на плоскость	3x + y = 0 .
6.29. Проектирования на плоскость	3x + y = 0 .
6.30. Поворота относительно оси Oz на угол		π	4	в положитель-
ном направлении.

Задача 7. Найти собственные значения и собственные векторы

оператора, заданного матрицей																			−1	−1
		4 −2 −1						2 −1 0									3
7.1.		−1		3			7.2.		−1	2	0				7.3.		0		2
					−1															−1
		1 −2 2							1	−1 1
																	0 −1 2
		5 −1 −1						6		−2		−1					3 1			−1
7.4.		0		4			7.5.		−1	5					7.6.		2		2
					−1							−1								−1
									1								−2 1 4
		0 −1 4								−2 4
		2 0 −1						2 1 0									4 1 0
7.7.		1		1			7.8.		1	2	0				7.9.		1		4	0
					−1
									−1 1 3								−1 1 5
		−1 0 2
		5 1			−1					5 −4 4							3 −2 2
7.10.			2	4						2	1		2		7.12.			2	−1		2
					−1		7.11.
			−2 1 6							2 0 3								2	−2 3

51

		3	−2 2							5	−2 2							7		−4 4
7.13.		0	3	0				7.14.		0	5	0				7.15.		2		3	2
		0	2 1							0	2 3							2		0 5
		7	−6 6							7	−6 6						13 2				−2
7.16.		4	−1	4				7.17.		2	3	2				7.18.			6	9	−6
		4	−2 5							2	2 3								2 −2 5
		7	2	−2						9	0 0						15 0 0
7.19.		4	5	−2				7.20.		2	7	−4				7.21.			2	13	−4
		0	0 3							2	−2 5								2 −2 11
	19 2			−2						4	1	−1						2		1	−1
7.22.		6	15	−6				7.23.		2	3	−2				7.24.		1		2
																					−1
		2 −2 11								1	−1 2							0		0 1
		3	0 0							5	0 0							6		1	−1
7.25.		1	2					7.26.		1	4					7.27.		2		5	−2
				−1								−1
										1								1		−1 4
		1 −1 2									−1 4
		9	−6		−6					5 −2 −4							7 −4					−2
7.28.		−2	5		−2			7.29.		0	3		0			7.30.			−2 5
																						−2
		−2 2 −13								−2 2 7									0 0 9

Задача 8. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа и записать соответствующее преобразование

8.1.x12 + 4x1 x2 + 4x1 x3 + 4x2 x3 + 4x32 .

8.2.4x12 + 4x1 x2 +8x1 x3 −3x22 + 4x32 .

8.3.4x12 +8x1 x2 + 4x1 x3 + x32 .

8.4.4x12 +8x1 x2 + 4x1 x3 +3x22 − 4x32 .

8.5.x12 + 4x1 x2 + 4x1 x3 +3x22 + 4x2 x3 + x32 .

8.6.x12 + 4x1 x2 + 4x2 x3 + x32 .

8.7.x12 + 2x1 x2 + 2x1 x3 −3x22 −6x2 x3 − 2x32 .

8.8.x12 + 4x1 x2 + 2x1 x3 +3x22 + 2x2 x3 + x32 .

52

8.9.x12 + 4x1x3 − x22 −2x2 x3 + 4x32 .

8.10.x12 + 2x1x2 + 2x1 x3 + x32 .

8.11.x12 + 4x1x2 + 4x1 x3 +8x22 +12x2 x3 + 4x32 .

8.12.4x12 + 4x1x2 +8x1x3 +5x22 +8x2 x3 + 4x32 .

8.13.4x12 +8x1x2 + 4x1x3 +8x22 +8x2 x3 + x32 .

8.14.4x12 +5x22 + 4x32 +8x1 x2 + 4x1 x3 +8x2 x3 .

8.15.x12 + 4x1x2 + 4x1 x3 +5x22 +12x2 x3 +7x32 .

8.16.x12 + 4x1x2 + 4x1 x3 +8x22 +16x2 x3 +7x32 .

8.17.x12 + 2x1x2 + 2x1 x3 +5x22 +10x2 x3 + 4x32 .

8.18.x12 + 4x1x2 + 2x1 x3 +5x22 +6x2 x3 + x32 .

8.19.x12 + 4x1x3 + x22 + 2x2 x3 + 4x32 .

8.20.x12 + 2x1x2 + 2x1 x3 + 2x22 + 4x2 x3 + x32 .

8.21.x12 + 4x1x2 + 4x1 x3 + 4x2 x3 + 2x32 .

8.22.4x12 + 4x1x2 + 4x1 x3 −3x22 + 2x32 .

8.23.4x12 +8x1x2 + 4x1 x3 + x32 .

8.24.4x12 +8x1x2 + 4x1 x3 +3x22 − 4x32 .

8.25.x12 + 4x1x2 + 4x1 x3 +3x22 + 4x2 x3 − x32 .

8.26.x12 + 4x1x2 + 4x1 x3 − x32 .

8.27.x12 + 2x1x2 + 2x1 x3 −3x22 −6x2 x3 − 4x32 .

8.28.x12 + 4x1x2 + 2x1 x3 +3x22 + 2x2 x3 − x32 .

8.29.x12 + 4x1x3 − x22 −2x2 x3 + 2x32 .

8.30.x12 + 2x1x2 + 2x1 x3 − x32 .

Задача 9. Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием и записать соответствующее преобразование

9.1. 4x22 −3x32 −4x1x2 −4x1 x3 +8x2 x3 .

9.2.	4x 2	+ 4x	2 + x 2	−2x x		+ 2		3x x .
	1	2	3	1	2				2	3
9.3.	2x 2	+ 2x	2 + 2x	2 +8x x		2	+8x x			−8x x .
	1	2	3		1			1	3	2	3

53

9.4.2x12 +9x22 + 2x32 −4x1x2 + 4x2 x3 .

9.5.−4x12 − 4x22 + 2x32 −4x1x2 +8x1 x3 −8x2 x3 .

9.6.	x 2	+ x 2		+ 4x			2	+ 2x x		−2			3x x .
	1		2		3			1	2					2	3
9.7. 4x		2	+ 4x		2 + x			2 + 2x x		2	− 4x x				+ 4x x .
	1			2			3		1				1	3	2	3
9.8. 3x 2			+ x	2	−	3	x	2 + 2	3x x				− x x +			3x x .
	1		2		2		3				1	2		1	3	2	3

9.9.−x12 − x22 −3x32 − 2x1x2 −6x1 x3 + 6x2 x3 .

9.10.x12 −7x22 + x32 − 4x1 x2 −2x1 x3 − 4x2 x3 ;

9.11.	5	2		x 2	+	5	2	x 2			+	3		2			x	2 +				2	x x			+ x x			+ x x .
4			1		4				2				2				3				2			1	2		1	3	2	3
9.12. 3x		2	−7x 2 +3x						2 +8x x					2		−8x x					−8x x .
1					2		3					1						1		3					2	3
9.13. x 2		+5x			2 + x 2 −4x x								+5					2x x				+			2x x .
1			2				3				1	2						1		3						2	3
9.14. x 2		+ x 2			+ x		2 −		4	x x			−	8				2	x x .
									3								3
1			2		3						1	2						2			3
9.15. −2x			2 + 2x 2				−2x 2				− 4x x						+5			2x x					+		2x x .
		1			2				3				1				2					1		3				2	3

9.16.−(1 2)x12 +5x22 −(1 2)x32 − 4x1 x2 +3x1 x3 + 4x2 x3 .

9.17.x12 + x22 − x32 − 4x1 x3 + 4x2 x3 .

9.18.−2x12 + 2x22 − 2x32 + 4x1 x2 −6x1 x3 + 4x2 x3 .

9.19.	2x	2	+3x 2		+ 2x 2 −8x x									2		−4					2x x				+ 2		2x x .
	1			2			3					1											1	3				2	3
9.20. −4x			2 + x 2		− 4x 2					+ 4x x						−4x x								+ 4x x .
		1		2			3					1		2						1		3				2	3
9.21. 10x 2 +14x 2 + 7x										2 −10x x										−		2x x				−5		2x x .
		1			2		3									1		2						1	3				2	3
9.22. (3 2)x 2				−5x 2		+ (3 2)x								2		+ 4x x						2	− x x				− 4x x .
			1		2								3							1					1	3		2	3
9.23.	x 2	+ x 2		+ 2x 2		+ 4x x						2	+ 2						2x x					−2		2x x .
	1		2		3					1										1		3					2	3
9.24.	2x	2	−3x 2		− 2			3x x			2	−4x x								+ 4				3x x .
	2			3						1							1		3						2	3
9.25.	x 2	+ x 2		+ x 2 +				4	x x			+			8				2		x x .
							3										3
	1		2		3					1	2									2			3
9.26. x 2		+ x 2		+8x x		2	+ 4				2x x							− 2				2x x .
	1		3		1								1			3								2	3
9.27. 5x		2	+13x 2 +5x 2							+ 4x x								+8x x .
	1			2			3						1	2						2			3

54

9.28.	2x 2	+ 2x	2 + 2x 2	+	2	x x			+	4	2	x x .
					3						3
	1	2	3				1	2					2	3
9.29.	5x 2	+ 4x	2 + 2x 2	−4x x				− 2			2x x			+ 4 2x x .
	1	2	3		1		2				1		3	2	3

9.30. −2x12 +5x22 − 2x32 + 4x1 x2 + 4x2 x3 .

Задача 10. Исследовать кривую второго порядка и построить ее

10.1.−x2 − y2 + 4xy + 2x − 4 y +1 = 0;

10.2.2x2 + 2 y2 − 2xy − 2x − 2 y +1 = 0;

10.3.4xy + 4x − 4 y = 0;

10.4.−2x2 −2 y2 + 2xy −6x +6 y +3 = 0;

10.5.−3x2 −3y2 + 4xy −6x + 4 y + 2 = 0;

10.6.−2xy − 2x − 2 y +1 = 0;

10.7.−x2 − y2 − 4xy − 4x −2 y + 2 = 0;

10.8.−4x2 −4 y2 + 2xy +10x −10 y +1 = 0;

10.9.4xy + 4x − 4 y − 2 = 0;

10.10.x2 + y2 + 2xy −8x −8y +1 = 0;

10.11.x2 + y2 + 4xy −8x −4 y +1 = 0;

10.12.x2 + y2 − 2xy − 2x + 2 y −7 = 0;

10.13.2xy + 2x + 2 y −3 = 0;

10.14.4x2 + 4 y2 + 2xy +12x +12 y +1 = 0;

10.15.3x2 +3y2 + 4xy +8x +12 y +1 = 0;

10.16.x2 + y2 −8xy − 20x + 20 y +1 = 0;

10.17.3x2 +3y2 − 2xy −6x + 2 y +1 = 0;

10.18.4xy + 4x + 4 y +1 = 0;

10.19.3x2 +3y2 − 4xy + 6x − 4 y −7 = 0;

10.20.−4xy − 4x + 4 y + 6 = 0;

10.21.5x2 +5y2 − 2xy +10x −2 y +1 = 0;

10.22.2x2 + 2 y2 + 4xy +8x +8y +1 = 0;

10.23.−x2 − y2 + 2xy + 2x −2 y +1 = 0;

55

10.24.2x2 + 2 y2 −4xy −8x +8y +1 = 0;

10.25.3x2 +3y2 + 2xy −12x − 4 y +1 = 0;

10.26.−4xy +8x +8y +1 = 0;

10.27.2x2 + 2 y2 −2xy +6x −6 y −6 = 0;

10.28.x2 + y2 + 4xy + 4x + 2 y −5 = 0;

10.29.4xy + 4x −4 y + 4 = 0;

10.30.3x2 +3y2 − 4xy + 4x + 4 y +1 = 0 .

Задача 11. Ортогонализировать систему векторов e ,eG							,eG
11.1. eG1 = (2,1, −1,0), 11.2. eG1 = (1,1, −1, −1),					1	2	3
				11.3. eG1 = (3,1, −1,1),
eG2	= (2, −1,2,1),	e2	= (−4, −5,6,0),	e2	= (−10, −4,5,0),
eG3 =(3,0,1,1).		eG3 = (−3, −3,4,1).		eG3 = (−6, −3,4,0).
11.4. eG1 = (2,2,3,1),		11.5. eG1 = (1, −4, −3,1), 11.6. eG1 = (3, −10, −6,0),
eG2	= (1, −1,0,2),	e2	= (1, −5, −3,0),	e2	= (1, −4, −3,1),
eG3 =(−1,2,1,1).		eG3 =(−1,6,4, −1).		eG3 =(−1,5,4, −1).
11.7. eG1 = (1,0,0,2),		11.8. eG1 = (1,0,0,3),		11.9. eG1 = (1,0,0,3),
eG2	= (2,1,0,3),	e2	= (−2,1,0,2),	e2	= (11,0,2),
eG3	=(−3,2,1,1).	eG3	= (7, −2,1,0).	eG3	= (−2,0,1,2).

11.10. eG1		= (1,2, −3,1), 11.11. eG1 = (1, −2,7,0), 11.12. eG1 = (2,6,5,0),
eG2 = (0,1,2,3),			e2	= (0,1, −2,2),	e2	= (5,3, −2,1),
eG3 =(0,0,1,5).			eG3 = (0,0,1,4).		eG3 = (7,4, −3,0).
11.13. eG1		= (2,5,7,0), 11.14. eG1 = (3,2,3,1), 11.15. eG1 = (3, −4,5,0),
eG2	= (6,3,4,1),		e2	= (−4, −3,−5,0),	e2	= (2, −3,1,2),
eG3	= (5, −2, −3,1).		eG3 = (5,1, −1,2).		eG3 = (3, −5, −1,1).
11.16. eG1		= (1,0,1,2),	11.17. eG1 = (−1,1, −1,3),		11.18. eG1 = (2,0,1,3),
eG2	= (2,1,1,2),		e2	= (0,0,1,4),	e2	= (0,1,0,2),
eG3	= (0,1,0,3).		eG3	= (2, −1,1,2).	eG3	=(−1,0,0,4).

56

11.19. eG1 = (1,2,0,2),		11.20. eG1 = (−1,0,2,3), 11.21. eG1 = (2,0, −1,1),
eG2 = (0,1,1,3),		e2	= (1,0, −1,2),	e2 = (0,1,0,3),
eG3 = (1,1,0, 2).		eG3 =(−1,1,1,1).		eG3 =(1,0,0,3).
11.22. eG1 = (2,3,5,0),		11.23. eG1 = (0,0,1,3),		11.24. eG1 = (2,0,1,2),
eG2 = (0,1,2,2),		e2	= (2, −5, −4,0),	e2 =(3,1,0,1),
eG3 = (1,0,0,3).		eG3 =(−1,3,2,1).		eG3 = (5,2,0,1).
11.25. eG1 = (0,2, −1,2), 11.26. eG1 = (−3, −1, −9,0), 11.27. eG1 = (2,2,3,1),
eG2	= (0,5,3,1),	e2	=(0, −2,1,1),	e2	= (1, −1,0,2),
eG3	= (1, −4,2,1).	eG3 = (1,2,2,1).		eG3	=(−1,2,1,1).
11.28. eG1 = (2,1,3,1), 11.29. eG1 = (1, −4, −3,1), 1.30. eG1 = (3, −10, −6,0),
eG2	= (0,1,2,3),	e2	=(2, −5, −3,0),	e2	= (1, −4, −3,1),
eG3	=(0,3,1,5).	eG3 = (−1,6,4,1).		eG3	=(−2,5,4, −1).

	Задача 12. Найти проекцию вектора xG на подпространство, по-
	рожденное векторами		a , aG		, aG , и ортогональную составляющую
	вектора xG		1	2	3
			12.2. aG1 = (3,0,2,2),			12.3. aG1 = (−1,5,1,1),
	12.1. aG1 = (1,1,1,1),
	aG2	= (2, −1,1,1),	a2	= (1, −2,0,0),		a2	= (0,3,1,1),
	aG3	= (2, −7, −1, −1),	aG3 = (03,1,1),			aG3	= (1,1,1,1),
	xG = (−3,5,9,3).		xG =(−3,5,9,3).			xG =(4, −4, −8, −4).
	12.4. aG1 = (4, −5,1,1),		12.5. aG1 = (1, −5, −1, −1),			12.6. aG1 = (0,3,1,1),
	aG2	= (3,0,2,2),	a2	= (2,5,3,3),		a2	= (1, −5, −1, −1),
	aG3	= (1, −2,0,0),	aG3	= (3,0,2,2),		aG3	= (2,5,3,3),
	xG = (2, −6, −10,−4).		xG = (3, −5, −9, −3).			xG = (−4,4,8,4).

57

12.7. aG1 = (2, −1,1,1),		12.8. aG1 = (1, −14, −4, −4), 12.9. aG1 = (3,0,2,2),
aG2	= (4, −5,1,1),	a2	= (1, −2,0,0),	a2	= (1, −14, −4, −4),
aG3	= (−1,5,1,1),	aG3	= (1,1,1,1),	aG3	= (0,3,1,1),
xG = (−2,6,10,4).		xG = (−4,1,7,1).		xG = (−5,0,6.0).

12.10. aG1 =(1, −2,0,0), 12.11. aG1 =(1,10,4,4), 12.12. aG1 =(2, −7, −1, −1),
aG2	= (2, −7, −1,1),	a2 = (1,1,1,1),		a2 = (4,1,3,3),
aG3 = (1, −14, −4, −4),		aG3 = (4,1,3,3),		aG3 = (2, −1,1,1),
xG = (4, −1, −7, −1).		xG = (3, −2, −8, −2).		xG = (−1,7,11,5).
12.13. aG1 = (2, −1,1,1),		2.14. aG1 = (3,0,2,2),		12.15. aG1 = (2, −1,1,1),
aG2 = (1,10,4,4),		a2	= (−1,14,4,4),	a2	= (2, −7, −1, −1),
aG3	= (4, −5,1,1),	aG3	=(1,10,4,4),	aG3	= (1,1,1,1),
xG = (−3,2,8,2).		xG = (−3,5,9,3).		xG = (1, −1, −2,−1).
12.16. aG1 = (1, −2,0,0),		12.17. aG1 = (0,3,1,1),		12.18. aG1 = (3,0,2,2),
aG2	= (0,3,1,1),	a2	= (1,1,1,1),	a2	= (4, −5,1,1),
aG3	= (3,0,2,2),	aG3	= (−1,5,1,1),	aG3	= (1, −2,0,0),
xG = (1, −3, −5,−2).		xG = (2, −2, −4, −2).		xG = (3, −5, −9, −3).

12.19. aG1 = (2,5,3,3), 12.20. aG1 = (4, −5,1,1), 12.21. aG1 = (−1,2,0,0),
aG2	= (3,0,2,2),	a2	=(−1,5,1,1),		aG2	= (1,11,1),
aG3	= (1, −5, −1, −1),	aG3	= (2, −1,1,1),		aG3	=(−1,14,4,4),
xG = (−1,1,2,1).		xG =(−1,3,5,2).			xG = (5,0, −6,0).
12.22. aG1 = (−2,7,1,1),				12.23. aG1 = (1,1,1,1),			12.24. aG1 = (4,1,3,3),
aG2	= (1, −14,−4,−4),		a2	= (4,1,3,3),			a2	= (2, −11,1),
aG3	= (1, −2,0,0),		aG3	= (1,10,4,4),			aG3	= (−2,7,1,1),
xG = (−4,1,7,1).			xG = (4, −1, −7, −1).				xG = (3, −2, −8, −2).

58

12.25. aG1 = (1,10,4,4), 12.26. aG1 = (−1,14,4,4), 2.27. aG1 = (−2,7,1,1),
aG2 = (1, −14, −4,−4),										a2	= (4, −5,1,1),								a2 = (1,10,4,4),
aG3 = (1, −2,0,0),										aG3 = (2, −1,1,1),									aG3 = (3,0,2,2),
xG = (−4,1,7,1).										xG = (−1,7,11,5).									xG = (−3,2,8,2).
12.28. aG1 = (4, −5,1,1), 12.29. aG1 = (1, −5, −1, −1),																			12.30. aG1 = (0,3,1,1),
aG2 = (3,0,2,2),										a2 = (2,5,3,3),									a2 = (1, −5, −1, −1),
aG3 = (1, −2,0,0),										aG3 = (3,0,2,2),									aG3 = (2,5,3,3),
xG = (2, −6, −10,−4).										xG = (3, −5, −9, −3).									xG = (−4,4,8,4).
Задача 13. Найти жорданову форму матрицы
	−1			1 −2							2 −1				−1						0 1 0
13.1.		4		1	0					13.2.		2		−1	−2				13.3.			−4		4	0
		2 1										−1 1 2										0 0 2
					−1
	0 1 1										−2 1 2										0 1				−1
13.4.		1		1	0					13.5.		−1		0	2				13.6.			1	0
																									−1
		−1 0 1										−2 0 3										2 2 −3
	4 2 −2										2 0				−1						2 1				−1
13.7.		1	3		−1					13.8.		1	−1						13.9.			0	3
															0										−1
		3 3			−1							3 −1										0 1 1
															−1
		3 2					−3					4 5 −2											0 1 0
13.10.			4	10	−12					13.11.			−2	−2		1			13.12.				−4	4		0
			3 6				−7						−1	−1 1									−2 1 1
		0 1 2										1 1 −1											4 −1 0
13.13.			0	0	0					13.14.			−1	2					13.15.				3	1
																−1										−1
			0 0 0										2	−1 4
																							1 0 1
		1 0 0								5 −1					−4				10				−3		−9
13.16.			−1	1		2					−12			5	12					−18			7		18
								13.17.										13.18.
			3 0 1								10 −3				−9					18
																							−6 −17

59

		13 16 16							3 0 8										−4 2 10
13.19.		−5	−7	−6				13.20.		3		−1		6		13.21.				−4 3			7
		−6 −8 −7								−2 0										−3 1 7
													−5
		0	3	3						−4 2 10							−1 1							1
13.22.		−1	8	6							−4 3			7							21		17
								13.23.								3.24. −5
		2 −14 −10									−3 1 7								6		−26
																							−21
		4 5		−2					−1 0 1								13 16 16
13.25.		−2	−2	1				13.26.		0		2	0		13.27.			−5			−7	−6
		−1 −1 1																−6			−8	−7
									−1 0 −3
		3 0 8							−2 8 6									−2 1 2
13.28.		3	−1	6			13.29.					10	6			13.30.			−1		0	2
									−4
		−2 0 −5								4 −8			−4						−2 0 3

60