Алмаев2

−8x3 x4 . 5.41. y12 + y22 , y1 = x1 + x2 , y2 = x2 , y1 = x1 .

5.42.y12 + y22 , y1 = x1 + x2 + x3 , y2 = x3 − 2x2 , y3 = x3 .

5.43.y12 + y22 +5y32 , y1 = 2x1 − x2 , y2 = x2 −3x3 , y3 = x3 .

5.44.y12 − y22 −4 y32 , y1 = x1 − x2 + x3 , y2 = −x2 + x3 , y3 = x3 .

5.45.y12 + y22 − y32 , y1 = 0,5(x1 + x3 ), y2 = −x2 + x3 , y3 = 0,5(x3 − x1 ) .

5.46.y12 − y22 , y1 = 0,5(x1 + x2 − x3 ), y2 = 0.5(−x1 + x2 − x3 ), y3 = x3 .

5.47.y12 + y22 − y32 , y1 =, y2 = 0.5(−x1 + x2 − x3 ), y3 = x3 .

5.48.y12 − y22 − y32 − y42 , y1 =, y2 = 0.5(−x1 + x2 − x3 ), y3 = x3 .

5.49.y12 − y22 − y32 , y1 = 0,5(x1 + x2 )+ x3 , y2 = 0.5(−x1 + x2 ), y3 = x3 .

5.50.y12 + y22 − y32 , y1 = 2x1 − x2 + x3 , y2 = 0.5(x2 − x3 ), y3 = x3 .

5.51.y12 + y22 − y32 , y1 = x1 + x2 − 23 x3 , y2 = 2x2 + 16 x3 , y3 = x3 .

5.52.−y12 + y22 −12 y32 , y1 = x1 − x2 , y2 = x1 + 2x3 , y3 = x3 .

5.53. x		=	1					y +							1				y		, x			= −					1		y +						1						y	, y2				+		3y2 .
			2												2														2									2
	1							1												2			2								1												2	1							2
5.54. x		=		2			y −									3		y		, x			=			3			y +					2		y				, 4 y2 − y2 .
			5												5										5									5
	1							1										2			2								1									2						1				2
5.55. x		=	1					y +							1				y		, x			= −					1		y +						1						y	, y2				− y2 .
			2												2														2									2
	1							1												2			2								1												2	1							2
5.56. x		=	1					y +							1				y		+			1	y				, x		=			1					y −						1			y			+			1	y	,
			3												2									6													3							2										6
	1							1												2					3				2												1								2						3
x =	1	y −						2				y			, 4 y2						+ 4 y2				−2 y2 .
	3							6
3		1								3								1						2					3
5.57. x		=	1					y −							1				y		−			1	y				, x		=			1					y +						1			y			−			1	y	,
			3												2									6													3							2										6
	1							1												2					3				2											1									2						3
x =	1	y +						2				y			, 9 y2						+6 y2				+6 y2 .
	3							6
3		1								3								1						2					3
5.58. x		= −		1						y +								1			y , x				=				1		y +						1	y					+			1	y ,
																		2											2								2							2
	1							2		1											3			2							1										2							3

81

x = −			1				y +							1					y					+					1			y					, 2 y2						−				2 y2 .
													2																2
3				2			1														2															3						2							3
5.59. x				=			1					y −												1						y						−			1			y	, x				=			1						y +						1						y		−			1		y		,
							3																				2												6												3											2										6
	1												1																				2									3			2												1												2						3
x =	1				y +						2								y					, − y								2				+ 2 y				2		+ 2 y2 .
	3												6
3				1																	3										1								2						3
5.60. x				=			2		y −										1				y					−				2			y				, x			=		2		y +				2			y				−			1			y				,
							3												3												3												3							3									3
	1										1																2											3	2								1									2						3
x = −			1	y +							2		y						+							2		y					, 3y2 +									6 y2				+9 y2 .
											3													3
3	3			1			2									2			2											3		1						1					2			1			3					2									2
5.61. x				=					y +														y						−							y			, x			= −					y +									y			+						y ,
							3												3													3													3									3								3
	1										1																2											3		2								1										2									3
x =	2	y −						1			y				+					2					y					, 9 y2									+18y				2 −9 y						2 .
	3
3				1			3						2						3									3									1					2						3
5.62. x				=			1					y +												1						y						+			1			y	, x				= −							1				y +								1			y			+		1			y ,
							3																				6												2															3													6
	1												1																				2									3			2													1													2				2		3
x =	1				y −						2								y					, 3y2										+6 y2							−2 y2 .
	3												6
3				1																	2									1									2						3
5.63. (x, y)													1														−3 2										x					+(−4,0) x														+5							= 0 , гиперболический
								−3 2																						2							y													y
тип. 5.64. (x, y) 4																													2		x								+(−1,5) x															= 0 , параболический тип.
																		2											1		y																y
5.65. (x, y) 3																			−1 x																			+(2,				−1) x							−1 = 0 , эллиптический тип.
								−1														2 y																						y
5.66. (x, y)											0								1 2										x										+(−3,4) x												+3						= 0 , гиперболический тип.
								1 2																2					y																	y
5.67. (x, y) 3																				−2								x										+(3, −12) x													−7						= 0						, гиперболический тип.
								−2 −2																				y																		y
5.68. (x, y)											4										2,5									x									+(−1,9) x												−12 = 0 , эллиптический тип.
								2,5																3						y																y

82

5.69. (x, y) 1

−3

x

+(−12,36) x

+ 20 = 0 , параболический

−3

9

y

y

тип. 5.70. (x, y) 4

2

x +(−8, −4) x

−21

= 0 , параболический

2

1

y

y

тип. 5.71. (x, y) 3

−3

x

+(

−4,2) x

+1

= 0 , гиперболический

−3

2

y

y

тип. 5.72. (x, y) 6

2

x

+

(

4, −2) x

+ 2 = 0 , эллиптический тип.

2

1

y

y

5.73. (x, y) 2

5

x

+

(−7,18) x

−15

= 0 , гиперболический тип.

5

12

y

y

5.74. (x, y) 3

−4

x

+(8, −15) x

+ 20 = 0 , эллиптический тип.

−4

7

y

y

5.75.

(x′+ 2 )2

+

(y′+ 2 )2

=1. 5.76.

(x′+3 2)

2

−

(y′+1)

2

1

0,5

2

4

=1.

5.77.

(y′+1 2)2

+ (x′−3 4)2

=1 . 5.78. (y′+

2 )2

= 0 .

4

+ (y′2 +3

9

5.79.

x′2

2 10)2

=1 . 5.80.

x′2

−

(y′2 +1)2

=1.

19 20

1

19 50

3

5.81. (x

1)

2

= −(y

−1). 5.82.

(y

′

−7 25)

2

(x

′

−1 25)

2

′

−

′

−

=1 .

48 625

48 625

5.83. (y′−1 4)2

= − 23 (x′−1 24). 5.84. y′ = −2 5, y′ = −3 5 .

5.85. Положительно определенная. 5.86. Не является знакоопределенной. 5.87. Не является знакоопределенной. 5.88. Положительно определенная. 5.89. Отрицательно определенная. 5.90. Не является знакоопределенной. 5.91. Не является знакоопределенной. 5.92. Не является знакоопределенной. 5.93. Положительно определенная. 5.94. Положительно определенная. 5.95. Отрицательно определенная. 5.96. Отрицательно определенная.

83

Содержание

4. Линейные операторы …………………………………………….. 3 4.1. Определение линейного оператора, матрица линейного оператора .……............................................................... 3 4.2. Преобразование матрицы линейного оператора

при переходе к новому базису …………………………………..... 6

4.3.Ядро и область значений линейного оператора …………..... 9

4.4.Действия с линейными операторами ………………............... 12

4.5.Собственные векторы линейного оператора ……………….. 15

4.6.Оператор простой структуры ………………………………... 20

4.7.Жорданова форма …………………………………………….. 22

4.8.Сопряженный и самосопряженный операторы …………….. 25

4.9.Ортогональный оператор …………………………………….. 29

5.Квадратичные формы и их применение ………………………. 31

6.Варианты домашних заданий …………………………………... 41

Ответы ………………………………………………………………... 61

Редактор З.И. Сныкова Компьютерная верстка Е.Л. Борисенко

ЛР № 020713 от 27.04.1998

Подписано к печати

Печать ризограф.	Бумага МВ	Печ. л. 5,25
Заказ №	Тираж 50 экз.	Цена договорная

Отдел множительной техники ИАТЭ 249035, г. Обнинск, Студгородок, 1

84