Алмаев2

				Ответы
1.1. 15. 1.2. а) (−1)3+4		3	4	−7		= 214 ; б) (−1)4+2		3	−7	1		=101 .
		2	1	5				2	5	2
		−7	0	5				3	4	6

1.3. –1 и 4. 1.4. –3. 1.5. 0 и 3. 1.6. 0. 1.7. 0. 1.8. –40400. 1.9. 0. 1.10. –2. 1.11. 110. 1.12. 140. 1.13. 300. 1.14. 18. 1.15. –16. 1.16. –3. 1.17. –8. 1.18. –9. 1.19. 18. 1.20. 4. 1.21. 90. 1.22. 17. 1.23. –6. 1.24. –10. 1.25. 27. 1.26. 150. 1.27. 100. 1.28. 10. 1.29. 1. 1.30. 52. 1.31. 5. 1.32. 1. 1.33. –65.

	n(n−1)
1.34. 0. 1.35. 100. 1.36. –2. 1.37. (−1)	2	a	a	... a	. 1.38. 2n +1.
		1 n	2 n−2	n 1

n(n−1)

1.39. n!. 1.40. (−1) 2

n . 1.41. (x −1)(x − 2) ... (x −n +1) .

1.42. (−1)n (x −1)(x −2) ... (x −n) . 1.43.							a (x −a )(x −a ) ... (x −a ) .
							0	1		2					n
1.44. (x2 −1)(x2 − 4) . 1.45. n +1. 1.46.							2n+1 −1. 1.47.			(5n+1 −2n+1 )					3 .
		1	4	3			7 6 7				1		2 −3
1.48. 9 −2	n+1					−3 11			; б)			7	−2	5
		. 1.49.		. 1.50.	а)			21							.
		5	9	5								0	20	2
						12 −11 −1

		3			−13		2 1 3							−5					−1 −4 6
			−2		0											; б)							;
1.51. а)						; б)			−4	. 1.52.		а)		6					42 45 80
			−3				1 3
					−1
									7		−6		16						8		9
											−8		18		BA =
в) не существует. 1.53. AB = 11														,							.
											−12		34						24	25
									13
	aα +bγ					aβ+bδ				5 2											11
1.54.												. 1.56. (–4). 1.57.
							. 1.55.														8 .
	cα + d γ					cβ+ dδ				7 0
																					30
	8 11 1							1 5 −5									−1
1.58.		9		6		−8			3	10	0		. 1.60.				−8
							. 1.59.											.
		−6		−9		−8			2 9		−7
																	−1

61

			39	−14		−1							0		2	3
			48 −8 38								−5 −3
1.61.								. 1.62. а)						4	0	9		;
			37	22		149						; б)
											2	−6		0	0	1
			112	−32		32
в)	1		n		λn	nλn−1			; д)	cos nα		−sin nα		. 1.64.		а)		16		−10		;
			;	г)	0	λ	n					cos nα							0	6
	0		1							sin nα

0 6 −2										21 −23 15								−9		0	0	0
																			0 9 0			0
б)	0 −2 4						; в)			−13			4		10	;	г)						.
																			0	0 −3 0
	0			−4 −2						−9 22 25
																			0	0	0	−5
1.65. Матрица D . 1.66. а) При λ ≠ 3 ; б) ни при каких; в) при любых.
				1		d			−b					1	4 −3					7 −4
1.67.										. 1.68.								. 1.69.				.
			ad −bc											5
						−c a									1	−2					−5 3
		1 2 0 0									1	1 2 2								−8 29 −11
1.71.				0 2			0		. 1.72.				2		1	−2		. 1.73.		−5		18	−7	.
											9
				0 0 3									2	−2 1							1	−3 1

			1		−1	1			1	1 2		−5
	1.74. Не существует.
		1.75.		−38	41	−34		. 1.76.		1	−3 3		.
									7
				27	−29 24						1	2
										1

		1	3	0		0					1 0 0 0
		0	1	0		0						1		1	0 0
1.77.							.	1.78.									. 1.79. Не существует.
		0	0	1		−1						0	1 1 0
		0	0	−1 2								0	0 1 1
1.80.	−1 −1							3 −2			. 1.82.				1 2		. 1.83.		2 1
		2	3	. 1.81.				5 −4													.
															3 4				3	−1
	−1 0 2							6 4 5									−1 3
1.84.		1	3	0					2	1			2				1 −1		. 1.87.		а) Ранг 2,
						. 1.85.								. 1.86.
		2							3 3 3								2 4
			4 −1

62

базисный минор	1	0	; б) ранг 1, базисный минор (-2); в) ранг 3,
	0	−1
	1	3	0										−6	0
базисный минор	2	4	0			; г) ранг 2, базисный минор									;
	0	0	2										9	−3
								0	1	0		. 1.88. а) 2; б) 2; в) 2; г) 3; д) 3;
д) ранг 3, базисный минор
								0	0	1
								1	0	0
е) 2. 1.89. а) 3;б) 0 и 2; в)							λ ≠17 . 1.90. а) При λ =3 ранг равен 2,

при λ ≠ 3 ранг равен 3; б) при λ = 0 ранг равен 2, при λ ≠ 0 ранг равен 3; в) при λ = −3 ранг равен 2, при λ ≠ −3 ранг равен 3; г) при любом λ ранг равен 2. 2.1. x1 = −1, x2 =3, x3 = −2, x4 = 2 . 2.2. x1 = 2,

x2	=1, x3 = −3, x4 =1. 2.3. x1 = −2, x2																		=1, x3 = 4, x4			= 3 . 2.4. x1 = 0,
x2	= 2, x3 =1 3, x4									= −3 2 . 2.5. x1 =1 2, x2 = −2 3, x3 = 2, x4 = −3 .
2.6. Система неопределенная. Общее решение																							x1 = 6 − 26x3 +17x4 ,
x2	= −1+ 7x3 −5x4 . 2.7. Система неопределенная. Общее решение
x1 =		1		(6 −15x2 − x4 ),								x3 =			1	(1+ 4x4 ). 2.8. Система несовместная.
		10													5
2.9. Система несовместная. 2.10. x																			=104	6	, x =	7	4	, x = −10, x	=1 .
																		1	7		2		7	3	4
2.11. x1					=1, x2			=1, x3 = −1, x4							= −1 . 2.12. x1 = −2, x2								= 0, x3 =1, x4		= −1.
2.13. x1					=1, x2			= 2, x3 = 2,					x4		= 0 . 2.14. x1 = 2, x2							= −2, x3 =1, x4 = −1 .
2.15.			x		= −0,4, x					= −	1	, x	= 3				2	, x	=1 .
			1						2	2		3			5			4
						2							3
2.16.			x		=		, x		= −1, x =					, x				= 0 .
								2
			1		3							3	2		4

2.17.x1 = −3, x2 = 0, x3 = −12 , x4 = 23 .

2.18.x1 = 2, x2 = −3, x3 = − 32 , x4 = 12 .

2.19.Система несовместная. 2.20. Система несовместная.

63

2.21.Общее решение x1 = 111 (−2 + x3 −9x4 ), x2 = 111 (10 −5x3 + x4 ),

частное решение x1 = −1, x2 =1, x3 = 0, x4 =1.

2.22.Общее решение x3 = −11−22x1 −33x2 , x4 =8 −16x1 + 24x2 ,

частное решение x1 = 2, x2 =1, x3 = 0, x4 = 0 . 2.23. Общее решение

x3 =1−3x1 −4x2 , x4 =1 , частное решение x1 = −1, x2 =1, x3 = 0, x4 =1.

2.24.Система несовместная.

2.25.Общее решение x3 = 6 −15x1 +10x2 , x4 = −7 +18x1 −12x2 , частное решение x1 = x2 = x3 =1, x4 = −1 . 2.26. Общее решение

x3 = 15 (−29 +34x1 −17x2 ), x4 = 15 (−16 +16x1 −8x2 ), частное решение

x1 = 2, x2 =1, x3 = 22 5, x4 =8 5 . 2.27. Система имеет единственное решение x1 =3, x2 = 2, x3 =1 . 2.28. Система несовместная.

2.29.Общее решение x3 = −1−8x1 + 4x2 , x4 = 0, x5 =1+ 2x1 − x2 , частное решение x1 =1, x2 = 2, x3 = −1, x4 = 0, x5 =1 .

2.30.Общее решение x1 = 2 +13x3 +19x4 , x2 = −1−10x3 −15x4 , частное решение x1 =8, x2 = −6, x3 = −1, x4 =1 . 2.31. Общее решение

x1 =8x3 −7x4 , x2 = −6x3 +5x4 , фундаментальная совокупность ре-

шений: 1) x1 =8, x2 = −6, x3 =1, x4								= 0 , 2)			x1 = −7, x2 = 5, x3 = 0, x4											=1
2.32. Общее решение x	= −		5		x +5x					, x	=	7		x −7x			, фундамен-
												2
3		2				1			2	4				1	2
тальная совокупность решений: 1) x1 =1, x2													= 0, x3 = −5 2, x4								= 7 2 ,
2) x1 = 0, x2 =1, x3 = 5, x4 = −7 .
2.33. Общее решение x	= −	1		(9x +6x +							8x		), x =			1	(3x + 2x				+	4x ) ,
4		4				1				2		3		5	4				1	2		3
фундаментальная совокупность решений:
1) x1 =1, x2 = 0, x3 = 0, x4 = −9 4, x5 = 3 4 , 2) x1 = 0, x2 =1,
x3 = 0, x4 = −3 2, x5 =1 2 ,3)			x1 = 0, x2							= 0, x3 =1, x4						= −2, x5 =1 .
2.34. Общее решение x	= x	−				8	x		, x	= 0, x			= −2x		+			4	x , фундамен-
						3											3
1	4							5	2		3			4					5
тальная совокупность решений: 1) x1 =1, x2 = 0, x3 = −2, x4																				=1, x5 = 0 ,

64

2) x1 = −8, x2									= 0, x3 = 4, x4											= 0, x5 = 3 . 2.35. Общее решение
x	= −		1			(−9x +3x								−10x						),					x							=	1					(−3x + x													+ 4x								)	, фундаментальная
4	11							1					2						3									5				11																1		2				3
совокупностьрешений: 1) x1 =1, x2																																					= 0, x3 = 0, x4																	= −9 11,							x5			= −3 11 ,
2)	x1 = 0, x2							=1, x3 = 0, x4											= 3 11, x5																	=1 11,
3)	x1 = 0, x2							= 0, x3 =1, x4											= −10 11, x5																							= 4 11 . 2.36. Имеет единствен-
ное решение. 2.37. Общее решение x																																																= 0, x				=			1			(x −2x ), x = 0 ,
																																										1								2				3						3	5			4
фундаментальная совокупность решений:
1) x1 = 0, x2 =1 3, x3 =1, x4 = 0, x5 = 0 ,
2)	x1 = 0, x2							= −2 3, x3 = 0, x4																				= 0, x5 =1 . 2.38. Общее решение
x	= −	3			x +				3		x	,	x	=		1		x −							1				x			, фундаментальная совокупность ре-
								8
3	4						1				2		4	4					1				8								2																															3				1
шений: 1) x									=1, x				= 0, x							= −								3				, x				=					1				, 2) x =0, x														=1, x		=			, x	=−		.
							1					2		3														4				4									4									1				2						3	8			4	8
																						3
2.39. Общеерешение x =−																											x					− x							+4x ,											x	= −3x									, фундаменталь-
														2						2								1							4													5		3									5
ная совокупность решений: 1) x1 =1, x2																																																= −3 2, x3 = 0, x4													= 0, x5				= 0 ,
2) x1 = 0, x2 = −1, x3 = 0, x4 =1, x5 = 0 ,
3) x1 = 0, x2 = 4, x3 = −3, x4																				= 0, x5 =1. 2.40. Общее решение
x = −				3			x +				1	x +			3		x , x = −																	4			x +											4		x −			5			x ,
														14																																21
4	14						1	14					2						3				5									7							1											2		21						3
фундаментальная совокупность решений:
1) x =1, x = 0, x = 0, x = −																								3							, x = −												4					,
	1						2					3		4									14									5										7
2) x = 0, x =1, x = 0, x =																					1					, x =											4					,
	1						2					3		4						14												5				21
3) x1 = 0, x2 = 0, x3 =1, x4																			= −				3								, x5				=						5					. 2.41.						−1								−1
																																																												.
																							14																21
																																																				2								3
2.42. Решения не существует.																															2.43.										3							−2
																																																		.
																																									5							−4

65

		1		(2 +3c1 )					1		(3 +3c2 )
2.44.								2
	2													, где c1 и c2 −произвольные числа.
				c1								c2
				1		(2 −3c1 )
	c1
				4
2.45.												, где c1			и c2 −произвольные числа.
				1
						(9 −3c2 )
	c2
				4
	1			2							7 −3c 5 −3c 7 −3c
2.46.												c1		1	c2		2		2
						. 2.47.											c3			, где c1 , c2 и c3 −
		3 4									5c		−9 5c −				3 5c	−7
												1			2		3
произвольные числа.														1 2 3
	6 4 5																		1 1 1
2.48.		2		1		2		.2.49.						4 5	6		. 2.50.		1	2 3
																					.
		3 3 3												7 8 9					2 3 1
	1			1		1 ...						1
		0		1		1 ...						1
2.51.		0		0		1 ...						1		. 3.4. а) Нет; б) нет; в) да; г) нет; д) да;
												...
	... ... ... ...
		0		0		0 ...						1

е) нет. 3.7. а) Нет; б) нет; в) нет.3.8. а) –1 и 4; б) 0 и3;в) при любых; г) ни при каких.3.9. Да. 3.10. Нет. 3.11.При любых. 3.12. 3.13. а) нет; б) нет. 3.14. а) нет; б) нет; в) да. 3.15. а) да; б) нет; в) да; г) да. 3.19. а) да; б) нет; в) нет. 3.20. а) Размерность 1, базис (1,7,5,) ; б) базис

(0,2,1,0) , (0,1,0,1) ; в) размерность 0, базиса нет; г) размерность 2,

базис (4,0,3,5) , (2,1,3,5) ; д) размерность 4, базис (1, −1,0,0,0) , (1,0, −1,0,0) , (1,0,0, −1,0) , (1,0,0,0, −1) .3.21. а) Размерность 1, базис (1,9,7) ; б) размерность 2, базис (1,0,3) , (0,1,0) ; в) размерность 2,

базис (2, −1,0) , (3,0,1) ; г) размерность 1, базис (−2,1,4) .

3.22. xG = 7 5aG1 −3 5aG2 . 3.23. а) x = aG1 −aG2 ; б) x = 2aG1 +aG2 −aG3 .

3.24. а) (0,0,1) ; б) (0,0,0,1) ; в) (0,0,1,0) , (0,0,0,1) . 3.25. а) λ ≠ −17 ;

б) ни при каких; в) при любых. 3.26. а) Размерность n +1; б) раз-

66

мерность n2 ; в) размерность m n ; г) размерность n(n +1) / 2 ;

д) размерность n . 3.28. Размерность 1, базис – любое положительное число, не равное 1. 3.29. а) (–7,–2);

б) (3,4,–1). 3.30. а) (11/7,–1/7); б) (3,–1,4).3.31. а) Te→a																						=	−1	0		;
																							2	3
		−1				0	б) T				2		0 3						1	−1 9 3
T	=									=		0	−1 0				, T	=			0		−4 0		.
			2 / 3 1/ 3
a→e									e→a			2	3 1				a→e	4			2		−6 2
			0		1 0 0					1 2				0
3.32. а)				0	0	1	0		; б)		−3	4		3
				1	0	0	0								. 3.33. а) (2,1); б) (0,–7);
											2 1			0
				0	0 0		1

в) (1,3); г) (1/7,3/7); д) (–8/7,3/7); е) (1,–2). 3.34. а) (–1,1); б) (1,0,–1).

			1 16						−25		0		1	4
3.35. а)													−21	−12 .
										; б)		0
			7 −1 2									1 14		6
3.36. Ta→b								1 32 −3					Tb→a =	1		1 3
					= −					−27 1		,					.
								7						7 27 32
	1				−1				1
3.37.		0				1		−2 3.38. 6 + 7(x − 2) +3(x − 2)2 . 3.39. Размерность 4,
		0				0		1
			, xG																, xG
базис	xG					, xG		, xG		. 3.40. Размерность 3, базис x , xG										. 3.41. а) да, если
		1	2				3	5									1	2	3

только эта прямая проходит через начало координат; б) да; в) нет;

г) да; д) нет; е) да. 3.43. а) Размерность 2, базис (2,5,3,0), (1,–5,0,3); б) размерность 3, базис (3,–6,1,0,0), (–3,5,0,1,0), (0,–1,0,0,1); в) раз-

мерность 1, базис (3,–2,1). 3.45. Размерность суммы 3, размерность пересечения 1, сумма не является прямой. 3.46. Размерность суммы 3, размерность пересечения 2, сумма не является прямой. 3.47. а) Ба-

зис суммы, например, aG1, aG2 ,b1 , базис пересечения 2a1 + aG2 = (3,5,1) ;

б) базис суммы, например, aG1, aG2 , aG3,b2 , базис пересечения b1 ,bG3 . 3.48. а) Базис суммы a1 , aG2 , базис пересечения a1 , aG2 , сумма не яв-

ляется прямой; б) базис суммы aG1, aG2 , aG3 ,b2 , базис пересечения

67

aG

+ aG

+ aG

= (1, 2, 2,1) , a + aG

= (1,1,1,1) сумма не является прямой.

1

2

3

1

3

3.49.а)

xG

=

5,

yG

=3,(xG, yG) =3, cos ϕ =1/ 5 ; б)

xG

= 10,

yG

=

5,

(xG, yG) =

2,

cos ϕ =

2 / 5 ; в)

xG

=13,

yG

=

14,

(xG, yG)= −15,

cos ϕ = −15/13

14 .

3.50. AB = BC = AC = 6, A = B = C = 60D .

3.51. а) (1

10,3

10 ),(3

10, −1 10 ); б) (1,0,0),(0,–1,0),(0,0,1);

в) (1/2,1/2,–1/2,– 1/2), (1/2,1/2,1/2,1/2), (–1/2,1/2,1/2,–1/2).

3.52. а) (1,2),(–2,1); б) (0,1,1),(–1,1,–1),(2,1,–1); в) (1,1,0,0), (1,–1,2,2),

(–1,1,3,–2). 3.53. а) (1

14,−2

14,3

14 )

; б) (1,0,0),

(0,1

2,1 2 );

в) (1 2,1

2 ,0,0), (−1

2,1

2,0,0), (0,0,1

2,1

2 ).

3.54. а) (–5,4); б) (1,1,1); в) (25,4,–17,–6), г) (2,2,1,0), (–5,2,6,1).

3.55.а)

(

3 2,0,1 2),

(0,1,0); б) (−2 3,2 3,1 3);

в) (1/2,1/2,–1/2,–1/2,), (1/2,–1/2,–1/2,1/2,).

3.56. Неравенство треугольника

∫b ( f (x) + g(x))2 dx ≤ ∫b ( f (x))2 dx + ∫b (g(x))2 dx ;

a

a

a

неравенство Коши-Буняковского

∫b

f (x)g(x)dx

≤ ∫b ( f (x))2 dx ∫b (g(x))2 dx .

a

a

a

3.57. а)

π

2π 3 ; б)

2π ; в) 0; г)

eπ (π−1) +e−π (π+1) ; д)

π 2 ;

е)

arccos(

5 3). 3.58.

1

,

sin x

,

cos x

,

sin 2x

,

cos 2x

,...,

2π

π

π

π

π

sin nx

cos nx

10

1

2

−1

2

4

−2

. 3.59. а)

; б)

−1

,

5

0

; в)

.

π

π

1 5

2 0 5

−2 14

3.60. а) –11; б) –39. 3.61. а)

xG

=

5,

yG

=

17,ϕ = arccos(6 85 );

б)

xG

=

58,

yG

= 26,ϕ = arccos(−11

377 ); в)

xG

=

62,

68

yG

= 3,ϕ = arccos(−7

3

62 ). 3.62. а) 4; б)

195 ; в) 2

14 .

3.63. а)

7 2 ; б)

5 ; в)

10 3 .3.64. а) 6; б) 8. 3.65. 5

17 .

3.66. Объем 14, высота 4, угол 45о. 3.67. а)

2n−1 ; б) при нечетном n

ортогональных диагоналей нет, при

n = 2k

искомое число равно

1

Cnk

= C2kk−−11 ; в) длина диагонали

n ; г) ϕn

= arccos

1

,

2

n

lim ϕ

n

=

π

. 3.68. а) 10 +10i ; б) 7 + 2i ; в) 1; г)

n(n +1) / 2 .

n→+∞

2

3.69. а) Нет; б) да; в) нет.3.70. а) 5; б) 3; в) 2; г)

30 .

3.71. а)

4 −2i

2

3 0

G

2i

2

2i ; б)

. 3.72. а)

(aG,b )= 6i −1,(b, aG)=1+6i ;

2

−2i

2

0 6

G

G

G

G

G

G

G

= 157 ;

б) (a,b )= 2 −4i,(b, a )=

2 + 4i . 3.73. а) (x, y)= 91+63i,

x

G G

G

1

1

i −1

1−i

б) (x, y)= 4 −4i,

x

=

6 .

3.74. а)

,

,

,

;

2

2

2 2 2

2

2i

2

i

i

2

б)

,

,

, 0,

,

. 3.76. а) Размерность 1, базис (1,0,–1);

3

3

5

5

3

б) размерность 2, базис (2,–2,–1,0),(1,1,0,–1); в) размерность 1, ба-

зис (3,–2,2,3). 3.77. а) Размерность 3, базис (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1);

б) размерность 1, базис (3,–2,1,–1); в) размерность 2, базис (5,7,4,3),

(4,5,5,3). 3.78. а) y = (1, −1, −1,5), z = (3,0, −2, −1) ; б)				y = (3,1, −1, −2),
zG = (2,1, −1,4) . 3.79. y = (5, −5, −2, −1), z = (2,1,1,3) .
3.80. yG = (2,4, −2, −1), z = (2, −2,0, −4) . 3.81. 14 , arccos(1					3).
3.82.	10 , 45D .3.83. а)	60D ; б) 30D . 3.84. Объем 4, длина перпенди-
куляра 0,5. 3.85. arccos		k n . 4.1. а) Да; б) нет; в) да; г) нет; д) нет.
			c	0	−1	0		;
4.2. а) Нет; б) нет; в) нет; г) да; д) да; е) да. 4.3. а)				; б)		1
			0	c	0
в) −1	0 ; г) если a = 0, то 1		0 , если a ≠ 0, то не является ли-
0	−1	0	1

69

1 2	1 2		. 4.4.	а) Нет; б) да; в) нет; г) да; д) да.
нейным; д)	1 2
1 2

			cosα −sin α																	0			0	1
4.5.														4.6.									0	0					если			i			переходит							в j,		и
						sin α			cosα			.								1					,
																							1	0
																				0
0 1 0																										1	0 0											1 0 0
			0																							0			0	0								0			1	0
0						1 , если j переходит в i. 4.7.																										. 4.8.											.
																										0	0 0											0 0 0
1 0 0
			1 3 1 3 1 3													1			8 −2 2														1			2 1 1
4.9.												. 4.10.									−2								. 4.11.
			1 3				1 3		1 3														5			4											1	2			−1 .
																9																	3
																					2 4 7																1
			1 3 1 3 1 3																																			−1 2
				1			2 −2 1									1				−7 −6 6													−1 3 2 3 1 3
4.12.												. 4.13.																	. 4.14.
							−2	−1		2										−6			9			2										1 6		−1 3				−1 6		.
				3			1 2 2									11						6 2 9													−1 6 1 3 1 6
				1			−7 4 4														0 1 1
4.15.							4	−1		8 . 4.16. а)												2	0			1			; б) не является линейным;
				9
							4 8 −1														3		−1 1
																		1				−1		1									1				1	1			1
																																	1				1	1			1
в) не является линейным; г)																					0		0	1			.4.17. а)
																																					1	1			;
																					0		1	0									1								1
																																					1	1
																																	1								1
	4 −6 8 −2																				−1 2 0 0
		−6 9 −12 3																				3 4 0 0																1			7 1
б)														. 4.18.																. 4.19. а)														;
			8 −12 16								−4											0 0 −1 2																11
																																									−3 −2
		−2 3							−4 1													0 0 3 4
	1		9 3						.4.20. а)					1	−1 1									27 14
б)				−3																			; б)												;
	2													2
							−1									−1 5								−41 −21

70