2.2 Интегрирование по частям:
Пусть u
и v
две дифференцируемые функции от х.
Тогда, как известно, дифференциал
произведения uv
вычисляется по следующей формуле
d(uv)=udv+vdu.Отсюда,
интегрируя, получаем
или
.
(3)
Последняя формула
называется формула интегрирования по
частям. Эта формула чаще всего применяется
к интегрированию выражений которые
можно так представить в виде произведения
двух сомножителей u
и dv,
чтобы отыскать функцию v
по её
дифференциалу dv
и вычисления интеграла
составляли в совокупности задачу более
простую, чем непосредственное вычисление
интеграла
.
Умение разбивать разумным образом
данное подынтегральное выражение на
множителиu
и dv
вырабатывается в процессе решения
задачи , и мы покажем на ряде примеров,
как это делается.
Пример 4.
?
Положимu=x,
dv=sinxdx;
тогда du=dx
v=
-cosx.
Следовательно,
.
Замечание. При определении функции v по дифференциалу dv мы можем брать любую произвольную постоянную, так как в конечный результат она не входит (что легко проверить, подставив в равенство(1) вместо v выражение v+C). Поэтому удобно считать эту постоянную равной нулю.
Правило интегрирования по частям применяется во многих случаях. Так, например, интегралы вида
некоторые интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции, вычисляются с помощью интегрирования по частям.
Пример 5. Требуется
вычислить
.
Положимu=
arctg
x,
dv=dx;
тогда
.
Следовательно,
Пример 6. Требуется
вычислить
.
Положим
тогда
.
Последний интеграл снова интегрируем по частям, полагая
Тогда
.
Окончательно будем иметь
.
3. Интегрирование рациональных дробей
Пусть требуется
вычислить интеграл от рациональной
дроби
Если
данная дробь неправильная, то мы
представляем ее в виде суммы многочлена
M(x) и правильной рациональной дроби
.
Последнюю же представляем по формуле
в виде суммы простейших дробей. Таким
образом, интегрирование всякой
рациональной дроби сводится к
интегрированию многочлена и нескольких
простейших дробей.
Вид простейших дробей определяется корнями знаменателя f(x). Здесь возможны следующие случаи.
1.Случай.
Корни знаменателя действительны и различны, т. е.
F(x)=(x-a)(x-b)…(x-d).
В этом случае дробь
разлагается на простейшие дроби 1типа:
и тогда
2. Случай.
Корни знаменателя действительные, причем некоторые из них кратные:
В этом случае дробь
разлагается на простейшие дроби 1и 2
типов.
Пример 1.
3. Случай.
Среди корней знаменателя есть комплексные неповторяющиеся(т.е. различные):
В этом случае
дробь
разлагается на простейшие дроби 1,2 и 3
типов.
Пример 2.Требуется вычислить интеграл
.Разложим
подынтегральную дробь на простейшие:
Следовательно,
.
Полагая х=1, получим 1=2С, С= ½; полагая х=0, получим 0= -B+C, B=1/2.
Приравнивая
коэффициенты при
,
получим 0=А+С, откуда А= - ½. Таким образом
,
4. Случай.
Среди корней знаменателя есть комплексные кратные:
В этом случае
разложение дроби
будет
содержать и простейшие дроби 4 типа.
Пример 3. Требуется вычислить интеграл
.
Решение. Разлагаем дробь на простейшие:
откуда
Комбинируя указанные выше методы определения коэффициентов, находим А=1, В= - 1, С=0, D=0, Е=1.
Таким образом, получаем
Из всего изложенного следует, что интеграл от любой рациональной функции может быть выражен через элементарные функции в конечном виде, а именно:
через логарифмы- в случаях простейших дробей 1 типа;
через рациональные функции- в случае простейших дробей 2 типа
через логарифмы и арктангенсы- в случае простейших дробей 3 типа
через рациональные функции и арктангенсы- в случае простейших дробей 4 типа.