- •1. Неопределенный интеглал и его свойства
- •2. Замена переменных и интегрирование по частям
- •2.1 Замена переменных:
- •2.2 Интегрирование по частям:
- •3. Интегрирование рациональных дробей
- •4. Универсальная тригонометрическая подстановка
- •5. Интегрирование квадратных рациональных выражений
- •6. Многочлены чебышева некоторые их приложения
- •7. Определенный интеграл. Формула ньютона-лейбница
- •8. Суммы дарбу. Интегрируемость непрерывных функций
- •8.1 Суммы Дарбу:
- •8.2 Интегрируемость непрерывных функций.
- •9. Свойства определенного интеграла
- •10. Численное интегрирование. Метод симпсона
- •Список литературы
6. Многочлены чебышева некоторые их приложения
Многочлены Чебышева. Многочлены Чебышева степени п,обозначаемые Тп{х), определяются на интервале формулой(1) Несколько первых многочленов Чебышева, вычисленные по формуле (1), таковы:
Введем подстановку , тогда. Зная, что
и переходя к прежнему переменному х, получаем формулу
(2)
которую также можно принять за определение многочленов Чебышева.
Коэффициент при старшем члене многочлена Тп (х) может быть вычислен с помощью предельного перехода:
Рекуррентное соотношение, основанное на тождестве
,
позволяет последовательно вычислять многочлены Чебышева:
Нули (корни) многочленов Тп(х) на интервале определяются формулой
Они расположены неравномерно на интервале и сгущаются к его концам. Максимумы и минимумы многочленов Чебышева находятся по обычным правилам вычисления экстремумов функции одной переменной:
Из приведенных формул видно, что все максимумы равны +1, а все минимумы равны -1. В конечных точках интервала значения многочленов Чебышева также равны ±1:
(3)
Система многочленов Чебышева ортогональна на интервале ] при весе .Проверим это утверждение.
Преобразуем интеграл
положив
(4)
Многочлены можно нормировать, положив
тогда, учитывая (4),
Теорема Чебышева: Интеграл от дифференциального бинома выражается через элементарные функции только в трех следующих случаях:
; 2)3)
Подстановки Чебышева:
1) .Подстановка ,гдеs-наименьшее обшее кратное дробей m и n.
2) целое число. Подстановка гдеs-знаменатель дроби p.
3) целое число. Подстановка , гдеs-знаменатель дроби p.
Пример1:
Имеем:
Подстановка дает
7. Определенный интеграл. Формула ньютона-лейбница
Пусть в интеграле нижний предел а =const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла.
Обозначим = Ф(х). Найдем производную функции Ф(х) по переменному верхнему пределу х.
Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела.
Теорема 1: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.
Теорема 2: (Теорема Ньютона – Лейбница)
Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то:
это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.
Доказательство: Пусть F(x) – первообразная функции f(x). Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция - первообразная функция отf(x). Но т.к. функция может иметь бесконечно много первообразных, которые будут отличаться друг от друга только на какое – то постоянное число С, то
при соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при х = а:
Тогда .
А при х = b:
Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница:
Теорема доказана.
Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x).
Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.
Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов.
Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.