8. Суммы дарбу. Интегрируемость непрерывных функций

8.1 Суммы Дарбу:

Пусть функция ограничена на отрезкеи разбиение этого отрезка точками:Обозначим через , и, соответ­ственно точную нижнюю и точную верхнюю грани этой функциина отрезке и составим следуюшие суммы:

Эти суммы называются соответственно верхней и нижней суммами или верхней и нижней суммами Дарбу функции для данного разбиения т отрезка .

Из определения нижней и верхней граней следует, что при Отсюда

т. е. любая интегральная сумма и суммы Дарбу для данного раз­биения связаны неравенствами:

. (1)

Суммы Дарбу имеют простой геометрический смысл. Рассмот­рим неотрицательную непрерывную функцию на и кри­волинейную трапецию, т. е. фигуру, ограниченную графиком функ­ции , двумя вертикальными прямыми, проведенными через

Точки и оси , и осью (рис. 2 и 3). Поскольку функция непрерывна на она непрерывна и на. По вто­рой теореме Вейерштрасса функция) достигает на своих точных граней, и, следовательно, _i и , — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на этом отрезке. По­этому сумма равна площади заштрихованной на рис. 2 ступен­чатой фигуры, «описанной» около криволинейной трапеции, а сум­ма s равна площади заштрихованной на рис. 3 ступенчатой фи­гуры, «вписанной» в данную криволинейную трапецию.

Следует особо отметить, что суммы Дарбу зависят только от разбиения отрезка в то время как интегральная суммазависит еще и от выбора точек, на частичных отрезкахПри фиксированном разбиении отрезка суммы s и S — не­которые числа, а сумма -переменная величина, так как точки , произвольны.

3. Свойства сумм Дарбу. 1°. Для любого фиксированного раз­биения и для любого точки ,на отрезках можно выбрать так, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам . Точкиможно выбрать также и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам .

Доказательство. Пусть некоторое фиксированноеразбиение отрезка Докажем, например, неравенства . Согласно свойству точной верхней грани , дляданного на можно указать такую точку что:

Умножая эти неравенства на , и затем складывая, получаем . Аналогично устанавливаются неравенства . ■

2°. От добавления к данному разбиению отрезка новых точек разбиения нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя — не увеличивается.

Доказательство. Для доказательства достаточно огра­ничиться добавлением к данному разбиению т еще одной точки разбиения х', так как добавление нескольких точек разбиения мож­но провести, добавляя их по одной. Предположим, что эта новая точка х' попала на отрезок (рис. 4). Обозначим соответ­ственно через s и s' — нижние, а через S и S' — верхние суммы Дарбу для данного разбиения т и полученного из него добавле­нием точки х' разбиения .

Проведем доказательство для нижних сумм Дарбу s и s'. Обо­значим через и , точные нижние грани функции f(x) соот­ветственно на отрезках и . В сумму s входит слагае­мое а в сумму s' вместо него слагаемые . Остальные слагаемые в суммах s и s' одинаковы. Так как (точная нижняя грань на части не меньше точной нижней грани на всем ), то

Отсюда следует, что .

Аналогично доказывается, что .

3°. Нижняя сумма Дарбу для любого разбиения не превосхо­дит верхней суммы для любого другого разбиения .

Доказательство. Пусть s' и S' , s" и S" — нижняя и верхняя суммы Дарбу соответственно для разбиений и .

Россмотрим разбиение , сос­тоящее из всех точек, вхо­дящих в разбиения и . Обозначим его суммы Дар бу через s и S. Так как разбиение может быть

получено из разбиения добавлением к нему точек разбиения , то согласно свойству 2°, учитывая очевидное неравенство, получаем

s' ≤ s ≤S ≤S'. Но разбиение может быть также получено из разбиения до­бавлением точек разбиения . Поэтому

Сравнивая установленные неравенства, получаем,

4°. Множество {S} верхних сумм Дарбу данной функции f(x) для, всевозможных разбиений отрезка ограничено снизу, а мно­жество [s] нижних сумм Дарбу ограничено сверху, причем точная верхняя грань множества (s) не превосходит точную нижнюю грань множества [S].

Доказательство. Это свойство непосредственно следует из свойства 3°. Действительно, множество всех верхних сумм Дар­бу [S] ограничено снизу, например, любой нижней суммой Дарбу s, а множество всех нижних сумм Дарбу [s] ограничено сверху, например, любой верхней суммой Дарбу S. Поэтому по теореме 1.1 множества [S] и [s] имеют точные грани. Обозначим через точ ную нижнюю грань множества {S}, а через -точную верхнююгрань множества {s}:

Покажем, что. Пусть. Обозначим их разность через е, так что. Из свойства точных гранейивытекает, что существуют числаS' и s", представляющие со­бой соответственно верхнюю и нижнюю суммы Дарбу некоторых разбиений и отрезка , такие, что и. Вычитая второе неравенство из первого, получаем. Но, поэтомуS'— s"<0, т. е. s">S', что противоречит свойству 3°. Следовательно,