- •Береда н.Н. Введение. Определения курса
- •Тема I. Основы гидростатики
- •I.1. Физические свойства жидкостей
- •Удельный вес и плотность жидкостей
- •Кинематический коэффициент вязкости воды и масла при различной температуре
- •I.2. Основные понятия и уравнения гидростатики
- •Тема II. Основные понятия и уравнения гидродинамики
- •2.1. Основные определения кинематики жидкости. Неразрывность
- •2.2. Уравнения движения идеальной жидкости Эйлера
- •2.3. Уравнение д. Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости
- •2.4. Геометрический и энергетический смысл уравнения д.Бернулли
- •2.5. Уравнение д.Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости. Пьезометрический и гидравлический уклоны
- •2.6. Понятие о плавно изменяющемся (медленно изменяющемся) движении потока жидкости
- •2.7. Уравнение д.Бернулли для потока реальной жидкости. Условия применимости уравнения д.Бернулли
- •Практическое использование уравнения д.Бернулли
Тема II. Основные понятия и уравнения гидродинамики
2.1. Основные определения кинематики жидкости. Неразрывность
А. Основные определения. Из предыдущего известно, что состояние какого-либо объема покоящейся жидкости полностью определяется величинами внутренних напряжений (гидростатических давлений) в отдельных его точках, возникающих в результате воздействия на жидкость внешних сил. Для характеристики состояния движущейся жидкости недостаточно знать только распределение давлений. Необходимо знать также, с какими скоростями движется жидкость в различных точках, то есть задачей гидродинамики является определение скоростей и давлений жидкости в различных точках потока и в различные моменты времени t. В общем случае вектор скорости u и давление p являются функциями четырех переменных:
, .
Если скорость и давление в любой фиксированной точке потока остаются неизменными во времени (т. е. являются функциями только координат х, у, z), то течение называется установившимся. Пример установившегося течения – истечение жидкости из бака под постоянным напором. Если скорость и давление меняются со временем, то течение – неустановившееся. Например, если при истечении из бака убыль жидкости не восполняется, то напор, скорость и давление в любой точке постепенно уменьшаются, это течение неустановившееся.
Мгновенную картину течения наглядно представляют линии тока (рис. 6, а). В каждой точке линии тока вектор скорости направлен по касательной к ней. При установившемся течении линии тока совпадают с траекториями частиц, при неустановившемся течении они могут не совпадать.
Если провести линии тока через все точки элементарно-малого контура, то образованная ими поверхность ограничитэлементарную струйку (рис. 6, б). В элементарной струйке жидкость течет, не смешиваясь с соседними объемами, так как, по определению, векторы скорости направлены по касательной к ее поверхности. Площадь сечения струйки dS выбирают достаточно малой для того, чтобы вектор скорости u оставался в этом сечении неизменным по величине.
Объем жидкости, протекающей через сечение струйки в единицу времени, называют элементарным расходом dQ. Он равен произведению длины вектора скорости на площадь сечения струйки
. (II.1)
Размерность расхода – м3/сек.
Рассматривая поток жидкости, такой, например, как в трубе или канале, допустимо считать, что он состоит из большого числа элементарных струек. В этом случае сечение потока (в гидравлике его называют «живым сечением») равно сумме сечений элементарных струек. Расход потока есть сумма расходов струек, в пределе – интеграл по площади сечения:
. (II.2)
При известном расходе Q легко определить среднюю скорость потока V в данном сечении:
. (II.3)
Для характеристики торможения потока твердыми стенками кроме сечения S в гидравлике вводятся еще понятия смоченного периметра χ – периметр сечения в пределах соприкосновения с твердыми стенками трубы или канала, и гидравлического радиуса R, причем
. (II.4)
Размерность смоченного периметра и гидравлического радиуса – м.
Как видно из выражения (II.4), гидравлический радиус характеризует компактность сечения потока. Для круглой трубы радиуса r, например, гидравлический радиус
, если d – диаметр трубы, то .
Если в потоке между какими-нибудь двумя его сечениями количество жидкости не пополняется извне и не убывает (нет источников и стоков), то масса протекающей через эти два сечения жидкости сохраняется неизменной. Математически этот принцип выражается уравнением неразрывности (это название подчеркивает, что в рассматриваемых сечениях поток сплошной, не содержит полостей и разрывов).
Наиболее просто записывается уравнение неразрывности для установившегося одномерного течения, в котором скорость меняется только в направлении одной продольной координаты. Примерами одномерного течения являются элементарная струйка, движение в трубе и канале. Для элементарной струйки несжимаемой жидкости принцип сохранения массы выражается через постоянство объемного расхода (II. 1) в струйке (рис. 6, б):
. (II.5)
Очевидно, что для потока в трубе или канале необходимо постоянство расхода, вычисленного по средней скорости wср:
. (II.5а)
В случае одномерного течения сжимаемой жидкости принцип неразрывности требует постоянства массового расхода, который равен произведению объемного расхода на плотность ρ:
. (II.6)
Одномерное течение несжимаемой жидкости является предметом изучения гидравлики. В отличие от нее гидродинамика рассматривает более сложные двухмерные и трехмерные потоки, в которых скорость может изменяться в направлении двух дли трех координатных осей.
Б. Уравнение неразрывности для трехмерного течения несжимаемой жидкости.
Из курса математического анализа известно, что непрерывную функцию, имеющую все непрерывные производные, можно разложить в ряд Тейлора. Поэтому можем для скорости и давления записать следующие разложения
; .
Или, пренебрегая малыми величинами высшего порядка, при стремлении Δl к нулю:
; .
Здесь u и скорость и ее первая производная в точкеl;
–скорость в точке ;
p и – давление и его первая производная в точкеl;
–давление в точке .
Эти разложения мы будем пользоваться в дальнейшем при составлении указанных дифференциальных уравнений.
Выберем в потоке фиксированный в пространстве элементарный объем в форме параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz (рис. 7). Пусть у левой грани этого объема составляющая скорости в направлении оси x равна ux. По достижении правой грани эта составляющая может измениться и стать равной
.
Через левую грань за единицу времени втекает внутрь параллелепипеда объем жидкости, равный произведению нормальной составляющей скорости на площадь грани: wxdydz.
Через правую грань вытекает объем
.
Суммарное поступление жидкости через левую и правую грани равно разности:
.
Аналогично получим, что через грани, перпендикулярные оси у (задняя и передняя грани на рис. 7), Суммарное поступление жидкости внутрь параллелепипеда равно . Через грани, перпендикулярные оси z (нижняя и верхняя на рис. 7), поступает объем. Здесьuy и uz – составляющие скорости в направлении осей y и z. Если внутри параллелепипеда нет источников и стоков, т.е. объем жидкости в нем не меняется, то суммарный расход через все грани равен нулю:
.
Разделив последнее равенство на объем параллелепипеда dxdydz, получим уравнение неразрывности в дифференциальной форме
. (II.7)
При выводе уравнения неразрывности мы не учитывали сжимаемости жидкости. В наиболее общем случае неустановившегося движения сжимаемой жидкости уравнение неразрывности имеет вид (приводится без вывода):
. (II.7)