2.6. Понятие о плавно изменяющемся (медленно изменяющемся) движении потока жидкости
В общем случае при
установившемся движении поток жидкости
можно представить совокупностью
элементарных струек, имеющих различные
значения углов их расхождения
и
различные радиусы кривизны. Частный
случай движения потока, при котором он
испытывает слабую деформацию, так что
элементарные струйки остаются
параллельными или почти параллельными
друг другу
,
а радиусы их кривизны принимают весьма
большие значения
,
называется плавно изменяющимся или
медленно изменяющимся движением. Живые
сечения потока при плавно изменяющемся
движении, очевидно, будут весьма мало
отличаться от плоских сечений, поэтому
их приближенно можно считать плоскими.
Скорости движения всех частиц жидкости
в таких сечениях направлены параллельно
друг другу и нормально к плоскости
живого сечения. Отметим, что часто поток
жидкости имеет плавно изменяющееся
движение не на всем своем протяжении,
а лишь на некоторых участках. Так,
например поток жидкости, изображенный
на рис.II.04,
в живом сечении 1-1 имеет плавно
изменяющееся движение, а в сечении 2-2
претерпевает значительную деформацию.
Выясним, какими свойствами обладает плавно изменяющееся движение потока жидкости. Для этого запишем дифференциальные уравнения реальной капельной жидкости. Так как реальная жидкость обладает вязкостью, которая приводит к возникновению в жидкости при ее движении сил трения, необходимо к дифференциальным уравнениям движения идеальной жидкости (Л.Эйлера) добавить член, учитывающий эти силы.
Выберем оси координат так, чтобы направление х совпало с направлением вектора скорости u. В случае установившегося плавно изменяющегося движения будем иметь:
;
;
.
Рис. II.04
Силы трения
совпадают по направлению с вектором
скорости, поэтому они спроектируются
на ось х
в истинную величину, а на оси y
и z
дадут нулевые проекции. С учетом
сказанного запишем:
член,
учитывающий силы трения =
;
;
. (11.17)
Добавим уравнение неразрывности:
.
Из уравнения неразрывности следует, что
(т.к.
).
Из определения
установившегося движения следует, что
.
Но с учетом этого получим:
;
;
.
Перепишем уравнения (11.37) в следующем виде:
член,
учитывающий силы трения = 0;
;
. (11.18)
Уравнения (11.18) определяют закон распределения гидродинамического давления в потоке при плавно изменяющемся установившемся движении. Вторая и третья строчки этой системы уравнений определяют закон распределения гидродинамического давления в плоскости zoy, то есть в плоскости живого сечения потока. Легко заметить, что они ничем не отличаются от соответствующих строк дифференциального уравнения гидростатики (1.5). Отсюда можно сделать вывод, что в плоскости живого сечения потока при плавно изменяющемся движении гидродинамические давления распределяются по законам гидростатики, а это значит, что в данном живом сечении удельная потенциальная энергия любой частицы есть величина постоянная:
. (11.19)
Сразу же оговоримся, что в другом живом сечении потока жидкости, где движение будет плавно изменяющимся, все частицы жидкости также будут обладать одинаковой удельной потенциальной энергией, но эта энергия может быть отличной от энергии частиц в первом живом сечении.