- •1.Определение числовой последовательности и её предела. Св-ва сход-ся послед-ей.
- •2.Предел функции одной переменной в точке. Односторонние пределы.Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
- •3.Основные правила вычесления пределов. Замечательные пределы.
- •4Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва функции и их классификация.
- •5.Производная функция, её геометрический и экономический смысл.
- •6.Правила дифференцирования функций. Логарифмическое дефференцирование. Производные высших порядков.
- •7.Правила лопиталя для раскрытия неопределённостей вида 0/0 и бесконечность/бесконечность. Раскрытие неопределённостей вида 0*бесконечность, бесконечность-бесконечность, 1бесконечность, 00
- •8.Дифференциал функции.Связь дифференциала и производной.Использование дифференциала в приближенных вычислениях.
- •9.Исследование на монотонность функции одной переменной. Точки экстремума. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.
- •10.Исследование функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба.
- •11Асимптомы графика функции
- •12Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.Общая схема исследования функции и построения графика.
- •13Понятие функции нскольких независимых переменных. Предел функции двух переменных. Непрерывность.
- •14.Частные производные функции двух независимых переменных.Полный дифференциал. Частные производные высших порядков.
- •15.Экстремумы функции двух независимых переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.
- •16Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица основных неопределённых интегралов.
- •17.Замена переменной в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям.
- •18.Интегрирование простейших рациональных дробей.
- •19.Определённый интеграл и его свойства.Геометрический смысл определённого интеграла.
- •20.Формула Ньютона-Лейбница.Замена переменной в определённом интеграле.
- •21.Интегрирование по частям в определённом порядке.
- •22.Приложения определённого для вычисления площадей плоских фигур, длин дуг плоских кривых.
- •23.Обыкновенные дифференциальные уравнения. Общее и частное решение. Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши.
- •24.Дифференциальное уравнение с раздельными и разделяющимися переменными. Общее решение.
- •25.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.Общее решение.
- •26.Числовые ряды.Сходимость.Необходимый признак сходимости числового ряда.
- •27.Достаточные признаки сходимости для положительных числовых рядов.
- •28.Знакочередующиеся ряды.Абсолютная и условная сходимость.Достаточный признак Лейьница.
- •29.Степенные ряды.Теорема Абеля.Радиус,интервал и область сходимости степенного ряда.
- •30.Ряды Тейлора и маклорена.
3.Основные правила вычесления пределов. Замечательные пределы.
Первый замечательный предел-
lim sinx/x=1 или lim x/sinx=1. Учитывая что cos0=1 имеем также что lim tgx/x=1 или lim x/tgx=1
второй замечательный предел-
lim(1+1/x)x=e или lim(1+x)1/x=e
Примеры: a)lim sin4x/x=(0/0)=lim sin4x/4x*4=1*4,т.к. lim sin4x/4x=1
б) lim sin6x/sin4x-(0/0)=lim sin6x/6x*6x*4x/sin4x*1/4x=6/4=3/2 т.к. lim sin6x/6x=1, lim4x/sin4x=1
в) lim (1+3x)1/x= lim(1+3x)1/3x*3=e3 т.к. lim(1+3x)1/3x=e
г)lim(3x-1/3x+1)3x=(1бесконечность)=lim ((3x+1)-2/3x+1)3x= lim(1+(-2)/3x+1)3x=lim(1+9-2)/3x+1)3x+1/-2 * -2/3x+1 *3=elim-6x/3x+1=e-2
первый замечательный предел функции
lim sinx/х=1
lim x/sinx=1
пример: lim sin6x/x=lim 6*sin6x/6x= 6*1=6 (т.к. sin6x/6x=1)
второй замечательный предел функции:
lin(1+1/x)x=e
lim (1+x)1/x=e
Пример: lim (1+5x)7/x=(1бесконечность)= (1+5х/1)7/х= (1+5х/1)1/5х * 5х/1 * 7/х =e35 (т.к. (1+5х/1)1/5х= е)
4Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва функции и их классификация.
Непрерывность функции в точке
1)Функция у=f (х) называется непрерывной в точке хо, если выполнены следующие три условия: 1)функция определена в точке хо и её окрестности. 2)существует конечный предел функции в точке хо. 3)этот предел равен значению функции в точке хо, т.е. lim f(x)= f(x0)
2) Функция у=f (х) называется непрерывной в точке хо, если выполнены следующие условия: 1)функция определена в точке хо и её окрестности. 2)существуют конечные односторонние пределы lim f(x)=f(x0-0) и lim f(x)=f(x0+0). 3)эти пределы равны между собой и равны значению функции в точке х0, т.е. lim f(x)-lim f(x)=f(x0)
3) Функция у=f (х) называется непрерывной в точке хо, если выполнены следующие три условия: 1)функция определена в точке хо и её окрестности.2) бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: lim y= lim (f(x0+x)-f(x0))=0
Свойства:
Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке хо, то функции f(x)+-g(x), c*f(x) (с-постоянная), f(x)*g(x) и f(x)/g(x) (при условии что g(x0) не = 0) также непрерывна в точке хо
Если функция u=q (x) непрерывна в точке хо, а функция у=f(u) непрерывна в точке u0=q(x0), то сложная функция у=f(q(x)) непрерывна в точке хо
Непрерывнасть функции на отрезке
Функция у=f(x) наз-ся непрерывной на отрезке [a;b] , если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (в точке а непрерывна справа, т.е. lim f(x)=f(a), а в точке b непрерывна слева, т.е. lim f(x)=f(b))
Свойства функций, непрерывных на отрезке:
1.если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке (первая теорема Вейерштрасса)
2.если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке она достигает достигает своего наименьшего значения m и наибольшего значения М (вторая теорема Вейерштрасса)
3.если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на его концах принимает значения разных знаков то внутри отрезка существует хотя бы одна точка такая что функция=0 (теорема Больцано-коши)
Точки разрыва функции и их классификация: точки в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. Если хо-точка разрыва функции y=f(x) то в ней не выполняется хотя бы одно из трёх условий непрерывности функции.
Классификация: 1)точка хо наз-ся точкой разрыва первого рода функции y=f(x) , если в этой точке существуют конечные пределы f(x0-0) и f(x0+0), но они не равны между собой f(x0-0) не= f(x0+0). Величина |f(x0+0)-f(x0-0)| называется при этом скачком функции y=f(x) в точке х0.
2) Точка х0 называется точкой устранимого разрыва функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы f(x0-0) и f(x0+0), они равны между собой: f(x0-0)=f(x0+0) но сама функция y=f(x) не определена в точке х0 или определена но f(x0-0)=f(x0+0)не=f(x0)
3)Точка х0 называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x) если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов (f(x0-0)не=f(x0+0)) не существует или равен бесконечности.