- •1.Определение числовой последовательности и её предела. Св-ва сход-ся послед-ей.
- •2.Предел функции одной переменной в точке. Односторонние пределы.Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
- •3.Основные правила вычесления пределов. Замечательные пределы.
- •4Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва функции и их классификация.
- •5.Производная функция, её геометрический и экономический смысл.
- •6.Правила дифференцирования функций. Логарифмическое дефференцирование. Производные высших порядков.
- •7.Правила лопиталя для раскрытия неопределённостей вида 0/0 и бесконечность/бесконечность. Раскрытие неопределённостей вида 0*бесконечность, бесконечность-бесконечность, 1бесконечность, 00
- •8.Дифференциал функции.Связь дифференциала и производной.Использование дифференциала в приближенных вычислениях.
- •9.Исследование на монотонность функции одной переменной. Точки экстремума. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.
- •10.Исследование функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба.
- •11Асимптомы графика функции
- •12Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.Общая схема исследования функции и построения графика.
- •13Понятие функции нскольких независимых переменных. Предел функции двух переменных. Непрерывность.
- •14.Частные производные функции двух независимых переменных.Полный дифференциал. Частные производные высших порядков.
- •15.Экстремумы функции двух независимых переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.
- •16Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица основных неопределённых интегралов.
- •17.Замена переменной в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям.
- •18.Интегрирование простейших рациональных дробей.
- •19.Определённый интеграл и его свойства.Геометрический смысл определённого интеграла.
- •20.Формула Ньютона-Лейбница.Замена переменной в определённом интеграле.
- •21.Интегрирование по частям в определённом порядке.
- •22.Приложения определённого для вычисления площадей плоских фигур, длин дуг плоских кривых.
- •23.Обыкновенные дифференциальные уравнения. Общее и частное решение. Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши.
- •24.Дифференциальное уравнение с раздельными и разделяющимися переменными. Общее решение.
- •25.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.Общее решение.
- •26.Числовые ряды.Сходимость.Необходимый признак сходимости числового ряда.
- •27.Достаточные признаки сходимости для положительных числовых рядов.
- •28.Знакочередующиеся ряды.Абсолютная и условная сходимость.Достаточный признак Лейьница.
- •29.Степенные ряды.Теорема Абеля.Радиус,интервал и область сходимости степенного ряда.
- •30.Ряды Тейлора и маклорена.
14.Частные производные функции двух независимых переменных.Полный дифференциал. Частные производные высших порядков.
Частной производной функции двух переменных- по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю (если этот предел существует). Обозначсается частная производная так: zx’,zy’ или f’x(x,y), f’y(x,y).
Полным дифференциаломффункции z=f(x,y) называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных,т.е. dz=z’xx+z’yy. При нефиксированных х,у,: dx=x, dy=y,а формулу полного дифференциала можно записать в виде: dz=z’xdx+z’ydy или dz=(dz/dx)*dx+(dz/dy)*dy
Частными производными второго порядка функции z=f(x,y) называются частные производные от частных производных первого порядка. Частные производные второго порядка четыре. Они обозначаются следующим образом:
1)Z’’xx=(zx’)’x или d2z/dx2=d/dx*(dz/dx)
2)z’’xy=(zx’)’y или d2z/dydx=d/dy8(dz/dx)
3)z’’yx=(z’y)’x или d2z/dxdy=d/dx*(dz/dy)
4)z’’yy=(z’y)’y или d2z/dy2=d/dy(dz/dy)
Аналогично определяются частные производные 3-го , 4-го и более высоких порядков. Частные производные второго или более высокого порядка,взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными.
15.Экстремумы функции двух независимых переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.
Точка М0(х0,у0) называется точкой минимума (максимума) функции z=f(x,y) если существует такая окрестность точки М0, что для всех точек М(х,у) из этой окрестности выполняется неравенство f(x0,у0)<f(x,y),(f(x0,у0)>f(x,y). Точки минимума и максимума функции z=f(x,y) называются точками экстремума,а значения функции в точке М0 сравнивается с её значениями в точках, достаточно близких к М0.
1)Необходимые условия экстремума-если М0(х0,у0)- точка экстремума дифференцируемой функции z=f(x,y), то уё частные производные zx’ и zy’ в этой точке равны нулю: zx’(x0,у0)=0 zy’(x0,у0)=0 Точки в которых частные производные первого порядка равны нулю, наз-ся критическими или стационарными. В критических точках функция z=f(x,y) может иметь экстремум а может и не иметь его.
2)Достаточное условие экстремума- пусть функция z=f(x,y) : а)определена в некоторой окрестности критической точки М0(х0,у0), в которой zx’(x0,у0)=0 и zy’(x0, y0)=0 б)имеет непрерывные частные производные второго порядка zxx’’(x0, y0)=A; zxy’’(x0, y0)=B; zyy’’(x0, y0)=C. Тогда если дельта= АС-В2>0 ,то функция z=f(x,y) в точке М0(х0,у0) экстремума не имеет. В случае дельта=АС-В2=0 вопрос о наличии экстремума остаётся открытым.
16Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица основных неопределённых интегралов.
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b) и для любого x принадлежащего (a,b) выполняется равенство F’(x)=f(x)
Если функция F(x) является первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), то множество всех первообразных для f(x) задаётся формулой F(x)+C, где С-произвольная постоянная.
Множество всех первообразных функций F(x)+C для функции f(x) на интервале (a,b) называется неопределённым интегралом от функции f(x) на этом интервале и обозначается символом S f(x)dx, где S-знак интеграла; f(x)-подынтегральная функция; f(x)dx- подынтегральное выражение; х-переменная интегральная. Таким образом S f(x)dx=F(x)+C,где F(x)-некоторая первообразная для f(x) на интервале (a,b). С-произвольная постоянная.
СВОЙСТВА: 1)производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению: (S f(x)dx)’=f(x); d(S f(x)dx)=f(x)dx. 2)неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: S dF(x)=F(x)+C. 3)постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла: S cf(x)dx=с S f(x)dx, c-const. неопределённых интегралов: S (f(x)+-g(x)dx= S f(x)dx+-S g(x)dx. 5)если S f(x)dx=F(x)+C, а u=f(x)- произвольная функция, имеющая непрерывную производную , то S f(u)du=F(u)+c.
ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ:
1)S0*dx=C; 2)S18dx=Sdx=x+C;3)Sxadx=xa+1/a+1 +C; 4)S dx/x=ln|x|+C; 5)S axdx=ax/lna +C; 6)Sexdx= ex+C; 7)S sinxdx=-cosx+Сж8)S cos xdx= sinx+С 9) S dx/cos2x=tg+C; 10)S dx/sin2x=-сtgx+C; 11)S dx/корень 1-x2= arcsinx+C; 12)Sdx/корень a2-x2=arcsinx/a+C; 13)S dx/корень x2+-a2=ln|x+корень x2+-a2|+c; 14) S dx/1+x2=arctgx+C; 15) S dx/a2+x2=1/a arctgx/a+C; 16)S dx/x2-a2=1/2a ln |x-a/x+a|+C.