- •1.Определение числовой последовательности и её предела. Св-ва сход-ся послед-ей.
- •2.Предел функции одной переменной в точке. Односторонние пределы.Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
- •3.Основные правила вычесления пределов. Замечательные пределы.
- •4Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва функции и их классификация.
- •5.Производная функция, её геометрический и экономический смысл.
- •6.Правила дифференцирования функций. Логарифмическое дефференцирование. Производные высших порядков.
- •7.Правила лопиталя для раскрытия неопределённостей вида 0/0 и бесконечность/бесконечность. Раскрытие неопределённостей вида 0*бесконечность, бесконечность-бесконечность, 1бесконечность, 00
- •8.Дифференциал функции.Связь дифференциала и производной.Использование дифференциала в приближенных вычислениях.
- •9.Исследование на монотонность функции одной переменной. Точки экстремума. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.
- •10.Исследование функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба.
- •11Асимптомы графика функции
- •12Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.Общая схема исследования функции и построения графика.
- •13Понятие функции нскольких независимых переменных. Предел функции двух переменных. Непрерывность.
- •14.Частные производные функции двух независимых переменных.Полный дифференциал. Частные производные высших порядков.
- •15.Экстремумы функции двух независимых переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.
- •16Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица основных неопределённых интегралов.
- •17.Замена переменной в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям.
- •18.Интегрирование простейших рациональных дробей.
- •19.Определённый интеграл и его свойства.Геометрический смысл определённого интеграла.
- •20.Формула Ньютона-Лейбница.Замена переменной в определённом интеграле.
- •21.Интегрирование по частям в определённом порядке.
- •22.Приложения определённого для вычисления площадей плоских фигур, длин дуг плоских кривых.
- •23.Обыкновенные дифференциальные уравнения. Общее и частное решение. Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши.
- •24.Дифференциальное уравнение с раздельными и разделяющимися переменными. Общее решение.
- •25.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.Общее решение.
- •26.Числовые ряды.Сходимость.Необходимый признак сходимости числового ряда.
- •27.Достаточные признаки сходимости для положительных числовых рядов.
- •28.Знакочередующиеся ряды.Абсолютная и условная сходимость.Достаточный признак Лейьница.
- •29.Степенные ряды.Теорема Абеля.Радиус,интервал и область сходимости степенного ряда.
- •30.Ряды Тейлора и маклорена.
24.Дифференциальное уравнение с раздельными и разделяющимися переменными. Общее решение.
Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида y’f(x)*g(y) или уравнение вида f1(x)g1(y)dx+f2(x)g2(y)ddy=0. Заметим что первое уравнение можно привести к виду второго уравнения и наоборот. Так как y’=dy/dx=f(x)*g(y), то умножив две части уравнения на dx, будем иметь: dy=f(x)g(y)dx следовательно f(x)g(y)dx-dy=0. Теперь разделим на g1(y)*f2(x) и получим (f1(x)*g1(y)/g1(y)*f2(x))dx+(f2(x)*g2(y)/g1(y)*f2(x))dy=0 следовательно( f1(x)/F2(x))dx+(g2(y)/g1(y))dy=0 отсюда получаем общий интеграл уравнения S(f1(x)/f2(x))dx+S(g2(y)/g1(y))dy=C.
25.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.Общее решение.
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y’+P(x)y=f(x). Если в этом уравнении правая часть не равна 0, то оно называется линейным неоднородным, а если равна 0, то линейным однородным. Существует несколько методов интегрирования линейных дифференцированных уравнений первого порядка:
1)Метод подстановки (метод Бернулли): y=u(x)*v(x)
2)Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа): y’+P(x)y=f(x)
26.Числовые ряды.Сходимость.Необходимый признак сходимости числового ряда.
Числовым рядом или просто рядом называется выражениет9сумма) вида а1+а2+….+аn+Man. Числа а1а2-называются членами ряда, аn-общим или n-ым членом ряда. Пусть аn=1/n, тогда ряд 1+1/2+1/3+….+1/n…=M1/n (гармонический ряд); пусть an=1/na, тогда ряд 1+1/2a+1/3a+…+1/na+…=M1/na (обобщённый гармонический ряд); пусть an=aqn-1, тогда ряд a+aq+aq2+….+aqn-1+…=Maqn-1 (ряд геометрической прогрессии). Из членов ряда 1 образуем числовую последовательность частных сумм s1,S2….Sn, где Sn=a1+a2+…an-сумма n первых членов ряда, которая называется n-й частичной суммой. Ряд 1 называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел,т.е. limSn=S. В этом случае число S называется суммой ряда 1 и пишется так:a1+a2+…an=S. Ряд 1 называется расходящимся если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела. Расходящемуся ряду не приписывают никакой суммы.
27.Достаточные признаки сходимости для положительных числовых рядов.
Положительные ряды: ряды,для которых an>=0, n=1,2,3…пусть даны два положительных ряда: 1)a1+a2+…+an+…=Man 2)b1+b2+…+bn+..=Mbn. Тогда1)из сходимости второго ряда следует сходимость первого ряда; 2)из расходимости первого ряда следует расходимость второго ряда.
28.Знакочередующиеся ряды.Абсолютная и условная сходимость.Достаточный признак Лейьница.
Знакочередующимся рядом называются ряды, у которого любые ряды стоящие члены имеют противоположные знаки. Такие ряды удобнее записывать в виде: a1-a2+a3-an+….+(-1)n-1*an+… Для определения сходимости знакочередующихся рядов существует весьма простой достаточный признак. Для того чтобы знакочередующиеся ряды сходились, достаточно, достаточно чтобы абсолютные значения его членов убывали и стремились к нулю при возрастании n. Таким образом,если a1>=a2>=a3>=…. И liman=0, то знакочередующийся ряд сходится.Ряд называется абсолютно сходящимся если сходится ряд, составленный из абсолютныхвеличин его членов. Сходящийся ряд называется условно сходящимся, если ряд расходится.