Вопрос 1. Действия с матрицами: умножение на число, сложение, вычитание, умножение матриц. Свойства операций над матрицами.

Прямоугольная таблица состоящая из m строк и n столбцов, элементами которой являются действительные числа , гдеi – номер строки, j - номер столбца на пересечении которых стоит этот -элемент, называется числовой матрицей.

А=, Матрица обозначается А,В,С… .-размер матрицы.

Операции над матрицами:

Сложение матрицы. Складывать и вычитать можно матрицы только одинакового размера.

Cуммой этих матриц называется матрица С_mn того же размера, элемент которой находится по формуле

= + (1,m , j = 1,n).

Пример 1. Даны две матрицы одинакового размера.

Найти сумму А+В двух матриц.

Решение.

Рассмотрим еще один пример

Пример 2.Пусть даны матрицы:

Решение.

Вычитание матрицы = -

Умножение матрицы на число . Произведением матрицы A_mn×λ наз-ся число матрицы B_mn=A_mn× λ= λ× A_mn элементы которой = λ*Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак этой матриц

Например, пусть

Найти результат умножения матрицы  А  на число  4.

Умножение матрицы на матрицу. Произведением матрицы А_mk на матрицу B_kn называется матрица C_mn каждый элемент которой равен сумме произведений элементов і –ой (итой) строки матрицы А на соответствующие элементы j-го (житого) столбца матрицы В , т.е. C_ij= a_i1*b_1j+a_i2*b_2j+…+a_ik*b_kj ═ =a_isb_sj

Замечание: Умножать можно только согласованные матрицы. Две матрицы А и В называются согласованными, если число столбцов в первой матрице А равно числу строк во второй матрице В

Пример.

А= ; В=

23 22

А×В – не сущ-ет, т.к м-цы А и В не согласованные(3×2)

В × А – согласованные

22 23

В×А = ×==

Квадратные матрицы одного порядка всегда согласованные

Транспонирование матрицы. A_mn матрица полученная из матрицы А , заменой её строк столбцами без изменения порядка их следования наз-ся транспонированной к матрице А и обозначается А^т

А= А^т=

23 32

Замечание: Матрица А называется симметричной, если А=А,и кососимметричной, если А = –А.

Возведение матрицы в степень(только для квадратных м-ц) А^п=А*А*А*…*А

Вопрос 2. Определители 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей.

Определитель- это число, определяемое по некоторой формуле

Определитель м-цы А обозначается det A или │A│, или ∆. Понятие опред-ля имеет смысл только для квадр-х м-ц.

1. Опред-м м-цы А первого порядка А= [a_ij] наз-ся число a_ij │A│= a_ij ( А=│5│, │A│=5); (А=│-3│,│A│=-3)

2. Опред-м м-цы второго порядка А =наз-ся число опред-ое по формуле=–

свойства:

1. Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами:=.

2. Знак определителя меняется на противоположный при перестановке строк (столбцов) определителя:

= – ,= –.

3. Общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя:

=или=.

4. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

5. Определитель равен нулю, если соответствующие элементы его строк (столбцов) пропорциональны:

=0, = 0.

6. Если элементы одной строки (столбца) определителя равны сумме двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей:=+,=+.

7. Значение определителя не изменится, если к элементам его строки (столбца) прибавить (вычесть) соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число :

=+=, так как=0 по свойству 5.

3. Опред-м м-цы третьего порядка наз. число кот-е вычисляется по формуле

Δ ==+₊ ---,

Вопрос 3. Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей с помощью формул разложения.

Минором М_ij элемента a_ij наз-ся опред-ль,м-цы (n-1)-го порядка полученный из м-цы А вычеркиванием итой строки и житого столбца,

Пример: А=│ │ ;

М₂₃=│ │=1*1 - 2*7=13;а₂₃=4.

М₁₂=││= -2*(-5) - 4*7= -18; а₁₂ = 2.; М₂₂=││= -5-21=26;а₂₂=0.

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком. Алгебраическое дополнение будем обозначать, то есть=*.

(8 св-во опред-ля )Теорема Лапласа. Определитель квадратной м-цы А п-го порядка равен сумме всех произведений элементов произвольной строки (столбца) на их алгебраические дополнения

Разложение по эл-там итой строки -│А│=а_i1* А _i1+ а_i2* А _i2+…+ а_in* А _in

Разложение по элементам житого столбца - │А│= а_1j * А_1j + а_2j* А_2j +…+ а_nj *А_nj

(9 св-во определителя) Теорема аннулирования:сумма всех произведений элементов одной строки (столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю, то есть ++= 0,

Опред-ль произведения двух квадратных м-ц равен произведению определителей этих квадратных матриц:

Вопрос 4. Обратная матрица и её вычисление.

Квадратная матрица А порядка n называется новорожденной (неособенной), если её опред-ль не равен 0 ( det A ≠ 0);

в противном случае матрица наз-ся выражденной (особенной) ( det A = 0)

Обратной м-цей для квадратной м-цы А порядка n наз-ся м-ца , если выполняются равенства, гдеЕ – единичная матрица того же порядка n, что и м-ца А

Теорема: Необходимое и достаточное условие существования м-цы. Для того, чтобы квадр-я м-ца А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была выражденной.

Алгоритм нахождения обратной матрицы:

1. Вычисляем опред-ль м-цы А. Если опред-ль м-цы А = 0, то обратной м-цы не сущ-ет. Если А≠0, то сущ-ет.

2. Строим м-цу составленную из алгебраических дополнений к м-цеА : .

3) Строим присоединительную м-цу к м-це:- ()^т= .

4) Находим обратную м-цу по формуле:

Необходимо сделать проверку:

А *= Е

* А=Е

Св-ва обратной м-цы

1. ;

2. ;

3. .