- •Глава 3
- •2. Закон распределения вероятностей дискретной
- •3. Интегральная функция распределения
- •3. 4.
- •4. Вероятность попадания случайной точки
- •5. Плотность совместного распределения вероятностей
- •6. Интегральная функция распределения и связь с функцией плотности
- •7. Зависимость и независимость двух случайных величин
- •8. Условные законы распределения составляющих
- •9. Условные законы распределения составляющих
- •Тема12. Числовые характеристики двумерной случайной величины
- •1. Математическое ожидание и дисперсия
- •2. Корреляционный момент, коэффициент корреляции
- •3. Двумерное нормальное распределение
- •4. Линейная регрессия, прямые линии
- •5. Условное математическое ожидание, линейная
2. Закон распределения вероятностей дискретной
двумерной случайной величины
Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины (т.е. пар чисели их вероятностей (i= 1, 2, ...,n;j= 1, 2, ..., m)). Обычно закон распределения задают в виде таблицы с двойным входом.
X Y |
|
|
… |
|
… |
|
|
|
|
… |
|
|
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|
|
|
… |
|
… |
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|
|
|
… |
|
… |
|
Первая строка таблицы содержит все возможные значения первой с.в. X, а первый столбец – все возможные значения второй с.в.Y. В клетке, стоящей на пересечении «столбца» и «строки», указана вероятность =того, что двумерная случайная величина примет данное значение (xi, yj).
Так как события , (i= 1, 2, ...,n;j= 1, 2, ...,m) с вероятностьюобразуют полную группу, то сумма вероятностей, помещенных во всех клетках таблицы, равна единице, т.е.
(1) .
Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих. Действительно, например события:
...,
несовместны, поэтому вероятность того, что X примет значение , по теореме сложения такова:
.
Следовательно, вероятность того, что X примет значение , равна сумме вероятностей «столбца». В общем случае для того, чтобы найти вероятности столбца, следует воспользоваться формулой
(2) ;
Аналогично сложив вероятности «строки », получим вероятность
(3) ;
На рис.38 приведён примерный график распределения двумерной случайной величины
Рис. 38 (стр. 106 Письменный)
Пример 2. Найти законы распределения составляющих двумерной случайной величины, заданной таблицей распределения.
-
X
Y
0,10
0,30
0,20
0,06
0,18
0,16
Решение. Сложив вероятности по столбцам, по формуле (2) получим вероятности возможных значений
Напишем закон распределения составляющей X:
P : 0,16 0,48 0,36.
Контроль: 0,16+ 0,48+ 0,36=1.
Сложив вероятности по строкам, получим вероятности возможных значений
Напишем закон распределения составляющей Y:
Y:
p: 0,60 0,40.
Контроль: 0,60+ 0,40=1.