7. Основные законы булевой алгебры и преобразование переключательных функций

7.1. Основные законы булевой алгебры переключательных функций

Формулы ПФ f₁ и f₂ равносильны, если их эквиваленция f₁f₂ является тождественно истинной (тавтологией). Равносильность, как правило, обозначается , но мы будем «нестрого» использовать в дальнейшем и простое равенство =.

Равносильность – это некоторое отношение, которое обладает следующими свойствами:

а) оно рефлексивно, т.е. ff, всякая формула f равносильна самой себе;

б) оно симметрично: если f₁f₂, то f₂f₁;

в) оно транзитивно: если f₁f₂ и f₂f₃, то f₁f₃.

Равносильности формул алгебры логики часто называют законами. Они подобны законам алгебры множеств. Говорят, что булева алгебра логических (переключательных) функций изоморфна булевой алгебре множеств.

Законы булевой алгебры:

1) хх – закон тождества. Закон тождества означает, что мысль, заключенная в некотором высказывании, соответствующем двоичной переключательной функции остается (считается) неизменной на протяжении всего рассуждения.

2) – закон противоречия. Закон противоречия гласит, что никакое предложение не может быть истинным одновременно со своим отрицанием.

3) – закон исключенного третьего. Закон исключенного третьего говорит о том, что для каждого высказывания имеется лишь две возможности: быть либо истинным, либо ложным. Третьего не дано.

4) – закон двойного отрицания.

5) ххх; ххх – закон идемпотентности (от латинского idem – то же, potentio – сила). Этот закон рассматривается относительно операций конъюнкции и дизъюнкции. В силу закона идемпотентности в алгебре логики, как и в алгебре множеств, нет показателей степеней, коэффициентов. Оказывается, основные законы алгебры логики двойственны (справедливы относительно конъюнкции и дизъюнкции).

6) хyyх; xyyх – закон коммутативности (переместительности).

7) х(yz)(xy)z; x(yz)(xy)z – закон ассоциативности (сочетательности).

8) х(yz)xyхz; xyz)(xy)(хz) – закон дистрибутивности (распределительности). Закон дистрибутивности относительно дизъюнкции не имеет аналога в обычной алгебре.

9) ;закон Де Моргана. Отрицание конъюнкции высказываний равносильно дизъюнкции отрицаний этих высказываний. Отрицание дизъюнкции высказываний равносильно конъюнкции отрицаний этих высказываний.

10) xхyх; х(xy)х – закон поглощения. Короткий член конъюнкции (дизъюнкции) поглощает длинный член, содержащий короткий в качестве составной части.

11) – закон склеивания. Здесь склеивание производится по переменнойy; она исключается, если входит в члены дизъюнкции (конъюнкции) с разными знаками, а остальные элементы в конъюнкции (дизъюнкции) с ней одинаковы.

12) – закон обобщенного склеивания, т.е. в дизъюнкции конъюнкций «лишней» является конъюнкция, полученная в результате конъюнкции членов перед инверсной и неинверсной переменной в двух других конъюнкциях. То же можно сказать и о конъюнкции дизъюнкций, в которых имеются дизъюнкции с такими переменными.

Еще раз отметим двойственность законов алгебры логики: они действуют как относительно дизъюнкции, так и относительно конъюнкции.

Кроме перечисленных законов, которые можно доказать, например, построив соответствующие таблицы истинности (соответствия), большое значение имеют так называемые соотношения 0 и 1, полученные на основании законов алгебры логики:

причем два последних соотношения – это закон исключенного третьего и закон противоречия. Так, например:

10=1; 10=0;

01=1; 01=0.

Здесь мы стали применять простое равенство (=).

Рассмотренные законы применимы не только к отдельным переменным, но и к группам переменных, объединенных операциями алгебры логики, т.е. х, например, может быть в свою очередь конъюнкцией а.

В алгебре переключательных функций установлен порядок выполнения действий. При отсутствии в выражении скобок первыми выполняются операции отрицания (инверсии), затем операции конъюнкции и последними – дизъюнкции.

При наличии в выражении скобок в первую очередь выполняются операции внутри скобок.