- •Содержание
- •6. Элементарные двоичные переключательные функции
- •7. Основные законы булевой алгебры и преобразование
- •Приложение 2. Варианты контрольных заданий по дисциплине
- •Предисловие
- •Дискретная математика
- •1. Множества и алгебраические системы. Булевы алгебры
- •1.1. Основные понятия теории множеств
- •1.2. Основные операции над множествами
- •1.3. Декартово произведение множеств
- •1.4. Соответствия и функции
- •1.5. Отношения
- •1.6. Использование множеств в языке Паскаль
- •2. Элементы общей алгебры
- •2.1. Операции на множествах
- •2.2. Группа подстановок Галуа
- •2.3. Алгебра множеств (алгебра Кантора)
- •2.4. Алгебраические системы. Решетки
- •2.5. Задание множеств конституентами
- •2.6. Решение уравнений в алгебре множеств.
- •3. Элементы комбинаторики
- •3.1. Комбинаторные вычисления
- •3.2. Основные понятия комбинаторики
- •3.3. Размещения
- •3.4. Перестановки
- •3.5. Сочетания
- •3.6. Треугольник Паскаля.
- •3.7. Бином Ньютона
- •3.8. Решение комбинаторных уравнений
- •4. Основные понятия теории графов
- •4.1. Способы задания графов
- •4.2. Характеристики графов
- •4.3. Понятие о задачах на графах
- •4.4. Задача о Ханойской башне
- •5. Переключательные функции и способы их задания
- •5.1. Понятие о переключательных функциях
- •5.2. Двоичные переключательные функции и способы их задания
- •5.3. Основные бинарные логические операции
- •5.4. Понятие о переключательных схемах и технической реализации переключательных функций
- •5.5. Использование логических операций в теории графов
- •6. Элементарные двоичные переключательные функции и функциональная полнота систем переключательных функций
- •6.1. Элементарные переключательные функции одной переменной
- •6.2. Элементарные переключательные (логические) функции двух переменных
- •6.3. Функциональная полнота систем переключательных функций
- •6.4. Базисы представления переключательных функций
- •6.5. Пример анализа и определения свойств пф, заданной десятичным номером
- •7. Основные законы булевой алгебры и преобразование переключательных функций
- •7.1. Основные законы булевой алгебры переключательных функций
- •7.2. Равносильные преобразования. Упрощение формул алгебры переключательных функций
- •7.3. Преобразование форм представления переключательных функций
- •8. Минимизация переключательных функций
- •8.1. Цель минимизации переключательных функций
- •8.2. Основные понятия и определения, используемые при минимизации
- •8.3. Аналитические методы минимизации переключательных функций
- •8.4. Минимизация переключательных функций по картам Карно
- •8.5. Метод поразрядного сравнения рабочих и запрещенных наборов
- •Минимизация переключательных функций на основе поразрядного сравнения рабочих и запрещенных восьмеричных наборов.
- •8.6. Минимизация переключательных функций, заданных в базисе {, и, не}
- •8.7. Минимизация систем переключательных функций
- •8.8. Минимизация переключательных функций методом неопределенных коэффициентов
- •9. Понятие об автомате и его математическом описании
- •9.1. Основные определения теории конечных автоматов
- •9.2. Описание конечных детерминированных автоматов
- •9.3. Понятие о технической интерпретации конечных автоматов
- •9.4. Синтез комбинационных автоматов в заданном базисе
- •9.5. Булева производная
- •9.6. Элементарные автоматы памяти на основе комбинационного автомата и задержки
- •9.7. Синтез автомата – распознавателя последовательности
- •10. Элементы теории кодирования
- •10.1. Понятие о кодировании
- •10.2. Системы счисления, как основа различных кодов
- •10.3. Понятие о помехоустойчивом кодировании
- •10.4. Кодирование по Хэммингу
- •10.5. Кодирование с использованием циклических кодов и математического аппарата умножения и деления полиномов. Сигнатурный анализ
- •10.6. Понятие о криптографической защите информации
- •10.7. Понятие о сжатии информации
8. Минимизация переключательных функций
8.1. Цель минимизации переключательных функций
При технической реализации переключательных функций, широко используемых в вычислительной технике, системах автоматического (автоматизированного) управления и контроля, возникает задача нахождения наиболее экономичного представления соответствующих переключательных функций. По существу решается задача оптимизации, причем минимизируется стоимость реализации. Понятие стоимости устройства, реализующего переключательную функцию – дискретного устройства – относительно. Для переключательных схем, реализуемых в виде релейно-контактных схем, для схем из корпусных транзисторов и резисторов, из микросхем логических элементов малой степени интеграции, минимизация числа реле, контактов, транзисторов, числа микросхем и означает снижение стоимости [28]. Это было особенно актуально на ранних этапах развития дискретной, цифровой техники. Для современных цифровых автоматов на больших и сверхбольших интегральных схемах (БИС и СБИС) стоимость определяется площадью схемы на кристалле кремния и непосредственно не связана с числом микротранзисторов и других элементов. Нередко схема с большим числом элементов, но обладающая высокой регулярностью, занимает небольшую площадь, кроме того, она выгодна с точки зрения проектирования, ведь стоимость проектирования, как и стоимость изготовления, входит в суммарную стоимость устройства [28].
При построении устройства из дискретных компонентов в целях повышения надежности наряду с уменьшением их числа (что увеличивает вероятность безотказной работы) большое значение придается уменьшению числа соединений между компонентами (это также увеличивает вероятность безотказной работы). Кстати, эта задача решается на соответствующем графе – он разбивается на подграфы, минимально связанные между собой. Однако, для БИС надежность соединений внутри кристалла достаточно высока по сравнению с надежностью соединений между кристаллами. В связи с этим большое значение приобретает деление системы на БИС таким образом, чтобы уменьшить число точек соединений между ними.
Ограничимся в дальнейшем целью нахождения наиболее простого представления переключательной функции в смысле наименьшего числа входящих в нее символов (букв). Процесс получения такого представления будем называть минимизацией. Под различными символами (буквами) будем понимать вхождения одной и той же переменной в различные дизъюнктивные (конъюнктивные) члены функции. Так, функция z1(аbс)=аb aс bс содержит шесть букв, а функция z2(аbс)=аb aс – четыре буквы, хотя обе функции зависят от трех переменных а,b,с (закон обобщенного склеивания z1=z2).
Методы минимизации разрабатываются применительно к каждой отдельной функциональной полной системе элементных переключательных функций. Наиболее детально такие методы разработаны для систем из дизъюнкции, конъюнкции и инверсии.
При этом задача минимизации переключательной функции сводится к нахождению такой ее формы, которая содержит наименьшее число дизъюнкций, конъюнкций и инверсий.
Нахождение минимального представления функции в виде ДНФ или КНФ связано с решением двух основных задач [17]. Во-первых, это определение конъюнкций (дизъюнкций) входящих в ДНФ (КНФ), каждая из которых содержит минимальное число букв. Во-вторых, это определение ДНФ (КНФ), содержащей минимальное число различных элементарных конъюнкций (дизъюнкций).
Будем рассматривать в основном минимизацию переключательных функций в классе ДНФ, не требуя минимизации числа инверсий.