Internet: www.Georec.Spb.Ru

225 МЕХАНИКА ГРУНТОВ

А. Г. Шашкин, К. Г. Шашкин

от пористости и модуля сжатия воды; {du} – вектор приращения перемещений; {dp} и {p} – приращение и величина порового давления; {df} – приращение внешней нагрузки.

При использовании разностной схемы для шага по времени i можно записать

_ì K { u}+ C {p_i}= { f }+ C {p_i−1} _ï C] Du}− Dt K {p }− ⁿ E {p }=

í ^{w (8)}

î= − _KwE {p_i−1 .

Реализации моделей, основанные на вы-ражениях (8), успешно применяются при решении плоских задач с небольшим количе-ством узлов [5]. Однако при решении слож-ных задач большой размерности запись урав-нений в виде (8) отличается негативными математическими свойствами. Матрица сис-темы для такой задачи не является положи-тельно определенной и содержит отрицатель-ные элементы на главной диагонали, что ограничивает возможность применения эф-фективных алгоритмов линейной алгебры. Кроме того, матрица объединяет в одно реше-ние неизвестные перемещения и давления, т. е. реализует фактически смешанный метод решения. Элементы матрицы могут разли-чаться по величине на несколько порядков, что ухудшает обусловленность системы.

Поэтому для решения задач большой размерности целесообразно раздельное реше-ние уравнений равновесия и неразрывности потока с последующим объединением в ите-рационном процессе по следующей схеме:

^ì(K]+ D_w ) Du}= Df}− C](p_{i 1}}− p_i^* })+ ^ï+[ _w]Du^* ,

_í ^æDt K ]− ⁿ E] {p }= C] Du}+ ⁽⁹⁾ è ^w ø

_ï + _KwE {p_i− ,

где звездочкой обозначены векторы переме-щений и поровых давлений на предыдущей итерации.

При решении упругопластической задачи такие итерации могут выполняться параллель-но с итерациями метода начальных напряже-

ний. Для схем большой размерности решение задачи фильтрационной консолидации по итерационной схеме (9) оказывается более выгодным по времени, чем решение плохо обусловленных задач по схеме (8).

Для корректного описания деформирования грунта во времени необходимо, кроме задачи фильтрационной консолидации, описать про-цесс развития во времени сдвиговых деформа-ций. Наиболее простой моделью для такого описания является модель Бингама–Шведова.

При решении методом начальных напря-жений вязкопластическое поведение модели грунта может быть реализовано по следую-щему принципу:

t = t − ^GDt (t −t ), (10) T

где t _Т – «теоретический» девиатор напряже-ний на данном шаге по времени; t – «упру-

гие» напряжения, полученные при решении линейной задачи; t – «теоретические» напря-жения, соответствующие уровню деформаций без учета фактора времени; h – вязкость на стадии установившейся ползучести.

В общем случае вязкость не является по-стоянной величиной: стадия установившейся ползучести рано или поздно переходит в стадию прогрессирующей ползучести, для которой характерны значительно большие скорости деформаций и, соответственно, меньшая вязкость. Согласно предложению Н. Н. Маслова, изменение вязкости во време-ни можно записать уравнением

(t) = h_¥ +(h₀ −h_¥ )exp(−mt) . (11)

Зависимость вязкости от времени в вы-ражении (11), очевидно, определяется конкрет-ными условиями эксперимента (величиной напряжений и т. д.). Физически оправданной представляется запись зависимости изменения вязкости от работы пластических деформаций W, которая приводит к разрушению структур-ных связей и расструктуриванию грунта:

(t) = h_¥ +(h₀ −h_¥ )exp(−kW) . (12)

При этом параметр k подбирается таким образом, что при совершении некоторой

«работы расструктуривания» W_str вязкость снижается до величины h_¥.

Internet: www.georec.spb.ru 226

РЕКОНСТРУКЦИЯ ГОРОДОВ И ГЕОТЕХНИЧЕСКОЕ СТРОИТЕЛЬСТВО, №9/2005

Упруго-вязко-пластическая модель структурно-неустойчивого глинистого грунта

Если упрощенно представить функцию изменения вязкости ступенчатой (описываю-щей резкий переход от начальной вязкости к вязкости расструктуренного грунта), то де-формация будет происходить с постоянной скоростью

_{g =} t−c

0

до момента совершения работы

W_str = tg= t^t−c t . 0

Рис. 7. Характер зависимости t–g при постоянной скорости сдвиговой деформации и моделировании

(13) ^{переменной вязкости по выражению (12)}

Тогда величина временного сопротивле-ния в зависимости от времени будет описы-ваться выражением

_t= ¹ ç_{c+ c}² ₊₄^Wstrh0 ÷ _{. (14)} è ø

Характер зависимости величины времен-ного сопротивления от времени (рис. 6) соот-ветствует опытным данным С. С. Вялова и Н. К. Пекарской [6], а также многих других исследователей.

Рис. 6. Зависимость временного сопротивления от времени по выражению (14)

При учете переменной вязкости грунта, зависящей от работы пластических деформа-ций, характер зависимости t–g при постоян-ной скорости деформаций и характер зависи-мости деформаций от времени при постоян-ных напряжениях хорошо согласуется с опытными данными (рис. 7, 8).

Таким образом, описание нелинейной вязкости в соответствии с выражением (12) позволяет моделировать основные эффекты, характерные для поведения глинистых грун-тов при сдвиговом деформировании. Пара-метр W_str в выражении (12) может быть при-ближенно получен из величины временного сопротивления по формуле (13).

Рис. 8. Характер зависимости g-t при постоянном напряжении сдвига и моделировании переменной вязкости по выражению (12)

В целом модель, объединяющая решение упруго-вязко-пластической задачи и задачи фильтрационной консолидации, является достаточно универсальной и позволяет решать широкий спектр задач геомеханики. При назначении нулевых начальных и конечных вязкостей задача сводится к обычной упруго-пластической задаче без рассмотрения пове-дения во времени. При назначении нулевого коэффициента фильтрации для глинистых грунтов модель позволяет решать задачи, связанные с деформированием грунта в тече-ние короткого промежутка времени, в преде-лах которого процессы фильтрационной консолидации не успевают проявиться. На-оборот, при назначении близкого к нулю модуля сжимаемости поровой жидкости можно получить модель, описывающую конечную стадию деформации после заверше-ния процессов консолидации.

Нелинейные функции t–g и p–e_v, аппрок-симирующие испытания грунта на сдвиг и компрессионное сжатие, позволяют добиться