2.2.Обработка однородного ряда данных наблюдений.

2.3.Группируем данные однородного ряда из таблицы 2 в монотонный ряд, т.е. от меньшего числа к большему, данные заносим в таблицу 4.

Таблица 2.3.. Оценка однородного ряда измерений

№ варианта	Зна-че-ния варианта аi	Кол-во одно-род-ных значений ni	Произве-дение аi ni	∆i	(∆i)^2	(∆i)^2 ni	(∆i)^3	(∆i)^3ni	(∆i)^4	(∆i)^4 ni
1	32	1	32	-12.8	163.84	163.84	-2097.15	-2097.15	26843.5	26843.5
2	34	1	34	-10.8	116.64	116.64	-1257.71	-1259.71	13604.9	13604.9
3	32	1	37	-7.8	60.84	60.84	-474.55	-474.55	3701.5	3701.5
4	38	1	38	-6.8	46.24	46.24	-314.43	-314.43	2138.1	2138.1
5	40	2	80	-4.8	23.04	46.08	-140.59	-221.18	530.8	1061.7
6	41	3	123	-3.8	14.44	43.32	-54.87	-164.62	208.5	625.5
7	42	3	126	-2.8	7.84	23.52	-21.95	-65.85	61.5	184.4
8	43	7	301	-1.8	3.24	22.68	-5.83	-40.82	10.5	73.5
9	44	5	220	-0.8	0.64	3.2	-0.512	-2.56	0.41	2.0
10	45	6	270	0.2	0.04	0.24	0.008	0.048	0.0016	0.01
11	46	6	276	1.2	1.44	8.64	1.73	10.37	2.07	12.4
12	47	5	235	2.2	4.84	24.2	10.65	53.24	23.4	117.1
13	48	3	144	3.2	10.24	30.72	32.77	98.30	104.8	314.6
14	50	2	100	5.2	27.04	54.08	140.61	281.22	731.2	1462.3
15	54	1	54	9.2	84.64	84.64	970.3	970.3	9605.9	9605.9
16	55	1	55	10.2	104.04	104.04	1061.2	1061.2	10824.3	10824.3
17	56	1	56	11.2	125.44	125.44	1404.93	1404.93	15735.2	15735.2
18	59	1	59	14.2	201.64	201.64	2863.29	2863.29	40658.7	40658.7

50 2240 1160 2102.03 126960

а_мин = 32; а_макс = 59; ∑ n_i=50

2.4 Определяем среднее значение однородного ряда данных

а=∑ а_i n_i/∑n_i=2240/50=44.8

Определяем отклонение каждого значения от среднего

∆_i=а_i-а=32-44.8=-12.8

Квадрат отклонения ( ∆_i)²=∆_i∆_i=(-12.8)²=163.84

Определяем сумму квадратов отклонения

∑( ∆_i)²n_i=163.84+116.64+…+125.44+201.64=1173.37

2.5. Определяем среднее квадратическое отклонение выборки однородного ряда

G_a=√∑(∆_i)² n_i/∑n_i=√1160/50=4.8166

2.6. Проверяем однородный ряд измерений на наличие грубой ошибки измерения

2.6.1 Наличие грубой ошибки по правилу «3 G_а»

(а_макс)=а+3G_а=44.8+3*4.8166=59.25>а_макс=59

(а_мин)= а-3G_а=44.8-3*4.8166=30.35<а_мин=32

По данному критерию все данные однородного ряда входят выбору данных.

2.6.2. Наличие грубой ошибки по критерию β

β_амин=а-а_мин/G_а=44.8-32/4.8166=2.65<( β)=2.99

β_амакс=а_макс-а/G_а=59-44.8/4.8166=2.95<( β)=2.99

Предельное значение определяется по таблице(β)=2.99 в зависимости

от n=50 и Р=0.95, и по этому критерию в однородном ряде измерений

грубые ошибки отсутствуют.

2.7. Определяем коэффициент вариации измерений

V_a=G_а/a*100=4.8166/44.8=10.75%

2.8. Ошибка среднего однородного ряда результатов измерения:

S_a=G_а/√n=4.816/√50=0.681

2.9. Точность измерения

Т_а=±S/a*100=±0.681/44.8*100=1.52%

2.10. Предельно допустимая абсолютная ошибка однородного ряда измерения

∆_а=±t_αS_а=±2.01*0.681=±1.369

где t_αопределяется по таблице в зависимости от числа данных в однородном

ряде и вероятности с которой определяется абсолютная ошибка, т. е. при n=50 иP=0.95,t_α=2.01

Предельно допустимая относительная ошибка однородного ряда измерения

∆_а/а*100=1.369/44.8*100=3.05%

2.11. Доверительный интервал однородного интервала измерений

А=а±∆_а=44.8±1.369

или

А=а±∆_а/a*100=44.8±1.369/44.8*100=44.8±3.05%

2.12. Определяем полигон рассеивания отклонений среди значений однородного ряда измерений исходя из отклонений относительно среднего значения однородного ряда измерений, которые колеблется в пределах от -12.8 до 14.2,см. табл. 5.

Количество интервалов определим по формуле

m=1+3.322log∑n_i=1+3.322log50=6.64

Принимаем 7 интервалов разбиения отклонений от среднего однородного ряда данных измерений. Величина интервала составит

d=(∆_макс+∆_мин)/m=(14.2-(-12.8))/7=3.86

Расчёт распределения отклонений представлен в табл. 5.

Графическая интерпретация отклонений от среднего однородного ряда данных измерения приведена на рис.1.

Таблица 2.4. Распределение отклонений от среднего однородного ряда

измерений по интервалам группирования.

№ п/п	Интервалы группирования однородных данных	Среднее значение интервала	Количество данных в интервале	Количество данных в интервале, в %
1	От (-12.8) до (-8.94)	-10.87	2	4
2	От (-8.94) до (-5.08)	-7.01	2	4
3	От (-5.08) до (-1.22)	-3.15	15	30
4	От (-1.22) до 2.64	0.71	22	44
5	От 2.64 до 6.5	4.57	5	10
6	От 6.5 до 10.36	8.43	2	4
7	От 10.36 до 14.2	12.28	2	4

∑=4.69 ∑= 50 ∑=100

n_i,%

40

30

20

10

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14

∆

Рис.2.1. Гистограмма распределения отклонений от среднего от среднего

однородного ряда измерений

2.13. Определяем принадлежность выбора данных однородного ряда измерений

нормальному закону распределения.

2.13.1 Определяем коэффициент ассиметрии и сравниваем его с предельно допустимым значением:

А=(1/∑n_i*G_a³)*∑(∆_i³*n_i)=(1/50*4.8166³)*2102.03=0.376

Предельно допустимое значение коэффициента ассиметрии:

S_a²=6(n-1)/(n+1)(n+3)=6(50-1)/(50+1)(50+3)=0.108

Сравниваем экспериментальные значения ассиметрии с предельно допустимыми значениями.

׀А׀ ≤ 3√S_a²; 0.376≤ 3√0.108=0.986

2.13.2 Определяем коэффициент эксцесса:

Е=(1/∑n_iG_a⁴) ∑(∆_i⁴n_i)-3=(1/50*4.8166⁴)126965.6-3=1.7179

Предельно допустимое значение коэффициента эксцесса

S²_э=(24n(n-2)(n-3))/((n+1)²(n+3)(n+5)=(24*50*48*47)/51²*53*55)=0.357

Сравниваем значения экспериментальных значений эксцесса с предельно допустимым.

׀Е׀ ≤5√S_э²1.6121≤5√0.357=2.987

Данный ряд однородных измерений соответствует нормальному закону распределения.

2.14. Построение графика экспериментального полигона распределения данных однородного ряда измерений

2.15. Определение количества интервалов разбиения данных однородного ряда

измерений

m=1+3.322log∑n_i=1+3.322log50=6.64

или

m=4/Хlog∑n_i/10=4/0.4656log50/10==6,

где Х=1/√Е+3=1/√1.6121+3=0.4656

Принимаем 7 интервалов группирования данных.

2.16. Определяем ширину интервалов группирования ряда однородных измерений

d=(a_max-a_min)/m=(59-32)/7=3.86

Величину экспериментальной ординаты определяем по формуле:

y_i^э=n_i/∑n_id*100=2/50*3.86*100=1.036%

Величину теоретической ординаты, соответствующая нормальному закону распределения определяем по формуле:

-(a_i-a)²/2G_a²

y_i^т=(1/G_a√2n)e

-(33.93-44.8)²/2*4.8166²

y_i^т=(1/4.8166√2*3.1416)2.718 =0.6489

Таблица 6. Распределение данных однородного ряда измерений по интервалам.

№ интервала	Интервалы группирования данных	Среднее значение интервала, аi	Количество данных в интервале,ni	Значение экспериментального распределения	Значение теоретического распределения
1	32-35.86	33.93	2	1.036	0.6489
2	35.86-39.72	37.79	2	1.036	2.89
3	39.72-43.58	41.65	15	7.772	6.67
4	43.58-47.44	45.51	22	11.399	8.15
5	47.44-51.3	29.37	5	2.59	6.61
6	51.3-55.16	53.23	2	1.036	1.81
7	55.16-59.0	57.08	2	1.036	0.33

Графическая интерполяция экспериментальных и теоретических данных криволинейная линия однородного ряда измерений представлена на рис.2.2

Рис. 2.2. Кривая распределения данных однородного ряда измерений

1- Экспериментальная кривая распределения

2- Теоретическая кривая распределения.