3.Регрессионный анализ результатов измерения

.

Исходные данные для проведения регрессионного анализа результатов измерения принимаем среднее значение по 5 вариантам, согласно задания, приведённого в табл. 1.

3.1 Определяем величину коэффициентов линии регрессии по методу наименьших квадратов.

Уравнение линии регрессии представляет собой уравнение прямой вида

y^т=a+bN

где b=(n∑N_iy_i-∑N_i∑y_i)/n∑(Ni)² –(∑N_i)²иa=(∑y_i/n)-(b*∑N_i/n)

Расчёт составных частей коэффициентов линии регрессии приведём в табличной форме

Таблица 7. Расчёт составных частей линии регрессии

№ из-мере-ния	Результат измерения, Ni	F yi	Niyi	(Ni)^2	yi^2	∆yi=yi-y	(∆yi)^2
1	42.6	1	42.6	1814.76	1	-4.5	20.25
2	86.4	2	172.8	7464.96	4	-3.5	12.25
3	132	3	396	17424	9	-2.5	6.25
4	178.8	4	712.8	31755.24	16	-1.5	2.25
5	220.8	5	1104	48752.64	25	-0.5	0.25
6	268.6	6	1611.6	72145.96	36	0.5	0.25
7	308	7	2156	94864	49	1.5	2.25
8	352	8	2856	127449	64	2.5	6.25
9	398.8	9	3589.2	159041.44	81	3.5	12.25
10	448	10	4480	200704	100	4.5	20.25

∑ 2440.4 ∑55∑17120.8∑761416∑385∑82.5

b=(10*17.1208-2440.4*55)/(10*761416-(2440.4)²)=0.0223

а=(55/10)-(0.0223*(2440.4/10))=0.0579

y_i^т=0.0579+0.0223N_i

Например при N₂=86.4,y₂^т=1.9846,y₂^э=2, ∆y₂=0.7749%

y^'₂^т=1.9846,y^'₂^э=2, ∆y^'₂=0.8268%

Различия между 2-мя уравнениями незначительны.

Среднее значение y:

y=∑y_i/n=55/10=5.5

Среднее квадратическое отклонение

G_y=√∑(∆y_i)²/(n-1)=√82.5/9=3.0276

3.2. Проверка сходимости теоретических и экспериментальных значений.

	42.6	86.4	132	178.2	220.8	268.6	308	357	398.8	448
y^э	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
y^т	1.0079	1.9846	3.0015	4.0317	4.9817	6.0477	6.9263	8.019	8.9511	10.0483
∆y	-0.0079	0.0154	-0.0015	-0.0317	0.0183	-0.0477	0.0737	-0.019	0.0489	-0.0483
%	-0.78	0.77	-0.05	-0.78	0.37	-0.79	1.064	-0.23	0.546	-0.48

3.3. Определяем коэффициент корреляции между рассматриваемыми парными данными:

r= (n∑N_iy_i-∑N_i∑y_i)/(√(n∑N_i²-(∑N_i )²)(n∑y_i²-(∑y_i )²))=

=(10*17120.3-2440.4*55)/(√(10*761416-2440.4²)(10*385-55²))=0.9998

3.3.1 Ошибка коэффициента корреляции:

m_r=±(1-r²)/√n=±(1-0.9998²)/√10=1.26*10^-4

3.3.2 Надёжность коэффициента корреляции:

H=(r√n)/(1-r²)=(0.9998√10)/(1-0.9998²)=7904.9

3.3.3 Достоверность коэффициента корреляции:

r/m_r>H; 0.9998/1.26*10^-4=7934.9

3.4 Определяем коэффициенты прямой уравнения вида

N=a₁+b₁y-уравнение прямой обратной регрессии

Коэффициенты a₁иb₁ определяем по следующим формулам

b₁=(n∑N_iy_i-∑N_i∑y_i)/(n∑(y_i)² –(∑y_i)²) иa₁=(∑N_i/n)-(b*∑y_i/n)

b₁=(10*17120.8-2440.4*55)/(10*385-55²)=44.83

a₁=2440.4/10-44.83*55/10=-2.525

Получаем уравнение обратной регрессии:

N_i=-2.525+44.83y_i

N_i=(y_i-0.0579)/0.0223

3.5 Доверительный интервал линии регрессии:

∆y_i=±G_y√1-r²=±3.0276√1-0.9998²=±0.0605

Погрешность измерения составит :

∆y_i/y*100%; 0.0605/5.5*100=1.1%

Уравнение линии регрессии с доверительным интервалом представлены на рис.3

3.5..Определяем угол между линиями прямой и обратной регрессии.

Уравнение вида y_i=а+bN_i=0.0579+0.0223N_i

где b=tgαα=arctgα=1.2775'

Уравнение вида y_i=а₁+b₁y_i=-2.525+44.83y_i

где b₁=tgα₁α₁=arctgα₁=88.722'

Угол между линиями прямой и обратной регрессии определяется

β=90-(α+α₁)=90-(1.2775+88.722)=0.0005

Рис . 3.1. Линии прямой регрессии результатов измерения.