Obrazec LR3 ZSU

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ДОНБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра АУТПТЭК

ОТЧЕТ

по лабораторной работе 3

Анализ временных и частотных характеристик

По курсу «Цифровые системы управления»

Выполнил: ст.гр. АКТ-XX-X Иванов А.Б.

Принял: асс.каф. Литвинов А.И.

Алчевск, 2010

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

2

ВВЕДЕНИЕ

Целью данной лабораторной работы является изучение методов построения временных и частотных характеристик цифровой системы управления.

1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1Задания для самостоятельной работы

Для своего варианта аналоговой передаточной функции

W ( p) =	1
	(0,25 р + 1)(5 р + 1)
при периоде дискретизации T 0 = 0.05c	определить дискретную передаточную
функцию объекта управления.

Определить дискретную передаточную функцию замкнутой системы управления, учитывая, что коэффициент передачи вычислительного устройства в соответствии с вариантом Kr = 15 .

Вычислить реакцию замкнутой импульсной системы управления на единичное ступенчатое воздействие способом разложения на простейшие дроби.

Вычислить реакцию замкнутой импульсной системы управления на единичное ступенчатое воздействие способом разложения в ряд Лорана по отрицательным степеням z.

Построить АФХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ разомкнутой импульсной системы.

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

3

1.2 Подготовка к выполнению лабораторной работы 1.2.1 Определение дискретной передаточной функции замкнутой системы

Цифро-аналоговый преобразователь на выходе вычислительного устройства

является экстраполятором нулевого порядка с передаточной функцией

	Wэ0( z, p ) =				1	×	( z -1)		.
					p
								z
	Дискретная передаточная функция объекта управления с учетом
	экстраполятора определяется выражением
	*		z -1			ìWоб ( p)ü					,
	Wоб (z)	=			×ξ í					ý
			z					p
						î				þ

где ξ ìWоб ( p)ü - z-преобразование для выражения в фигурных скобках.

í ý î p þ

Для того, чтобы осуществить z-преобразование для данного выражения по таблице z-преобразований, необходимо соотношение в фигурных скобках привести к сумме слагаемых, представляющих собой табличные выражения. Таким образом, эквивалентный объект будет иметь параллельно включенные звенья.

Wоб ( p)	=	1	=	A	+	B		+	C		=
p		p(0,25 p +1)(5p +1)		p		0,25p +1			5p +1

= A × (0,25p +1)(5 p +1) + B × р(5p +1) + C × р(0,25 p +1) . p(0,25 p +1)(5 p +1)

При равенстве дробей, если знаменатели равны, то равны и числители. После

приведения подобных в числителе

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

4

1 = p2 (1.25× A + 5 × B + 0.25×C) + p(5.25× A + 43A + B + C) + A.

Приравниваем коэффициенты при операторе в левой и правой частях.

При p0	A = 1.
При p1	5,25A + B + C = 0 .
При p2	1,25× A + 5× B + 0,25×C = 0 .

В результате решения этой системы уравнений

A = 1 ,

C = − 5 .3 ,

B = 0.05 .

Тогда

Wоб

=

1

+

0.05

−

5.3

=

1

−

0.05/ 0.25

+

5.3/ 5

=

1

+

0.2

−

1.06

p

p

0.25p +1

5 p +1

p

p +1/ 0.25

p +1/ 5

p

p + 4

p + 0.2 .

Дискретная передаточная функция эквивалентного объекта

z -1

ìW

( p)ü

z -1

ì

1

0.2

1.06

ü

*(z) =

ï

об

ï

,

W

ξ í

ý

=

ξ í

+

-

ý

z

p

z

p + 4

p + 0.2

об

ï

ï

î p

þ

î

þ

W*

z -1

é

z

0.2× z

1.06× z

ù

(z) =

ê

+

-

ú .

z - e- 4T

об

z

ë z

-1

z - e- 0.2T û

Дискретная передаточная функция разомкнутой системы

Wрзм (z) = Wву (z)×Wоб* (z) .

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

5

Дискретная передаточная функция замкнутой системы

Wзам (z) =

Wрзм (z)

1+ Wрзм (z) .

С учетом периода

дискретизации

T 0 = 0.05c

и

коэффициента передачи

вычислительного устройства Kr = 15

z -1

æ

z

0.2 × z

1.06 × z

ö

15 ×

ç

+

-

÷

z

ç

-1 z

- e- 4 × 0.05

z

- e- 0.2 × 0.05

÷

Wзам(z) =

è z

ø

.

z -1

æ

1.06 × z

ö

z

0.2 × z

1+15×

ç

+

-

÷

z

ç

z - e- 4 ×0.05

z - e- 0.2 ×0.05

÷

è z -1

ø

Упростив выражение получим передаточную функцию замкнутой системы следующего вида

Wзам(z) = 15 × z 2 -13.16 × z -1.02 . 16 × z2 -13.98× z -1.004

1.2.2 Вычисление реакции замкнутой импульсной системы управления на

единичное ступенчатое воздействие способом разложения на простейшие дроби

Метод основан на разложении функции Y( z ) на простые множители, чтобы обратное z-преобразование каждого из членов, находилось из таблицы z- преобразований.

Изображение входной величины равно:

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

6

X (z) = z z-1 .

Изображение выходной величины принимает вид:

	Y (z) = X (z) ×W (z) =	z		×		15× z2 -13.16× z -1.02	.
		z -1			16× z2 -13.98× z -1.004
	зам

Поскольку корни характеристического уравнения z1 = -0,069, z2 = 0,94, то

изображение выходной величины принимает вид

	Y (z) =	z		×	15× z2 -13.16× z -1.02	.
		z -1			(z + 0.069)(z - 0.94)

Представим выражение в виде суммы дробей

Y (z) =	Аz		+	Вz	+	Сz	.
	z -1			z + 0,069
						z - 0,94

Нахождение коэффициентов разложения на простые дроби дает А=0,948, В=0,577, С=-1,52. В результате имеем

Y (z)=	0,948z	+	0,577z	-	1,52z	.
	z -1		z + 0,069		z - 0,94

Для приведения к табличному виду положим

d1 = eα1T = z1 = 0,069 ,

d2 = eα2T = z2 = 0,94 .

Отсюда находим

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

7

α

1

=

1

ln

1

= 0.45,

0,069

T

α2 =

1

ln

1

= 0.17 .

T

0,94

Y (z)=

0,948z

+

0,577z

-

1,52z

.

z -1

z - е−0,45

z - е−0,17

Определив обратное z-преобразование от выражения получим временную

характеристику

y(nT ) = 0,948 + 0,577 × 0.069n -1,52 × 0,94n .

1.2.3 Вычисление реакции замкнутой импульсной системы управления на

единичное ступенчатое воздействие способом разложения в ряд Лорана

Изображение выходного сигнала

	Y (z) = X (z) ×W (z) =	z		×		15× z2 -13.16× z -1.02	.
		z -1			16× z2 -13.98× z -1.004
	зам

Найденное выражение выходной величины разложим в ряд Лорана делением числителя на знаменатель. Для этого необходимо перейти к степеням z-i:

	15 -13,16z−1 -1,02z−2
Y (z) =		.
	15 - 29,98z−1 +12,976z−2 +1,004z−3

Коэффициенты при частного являются значениями выходной величины

.

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

8

1.2.4 Построение АФХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ разомкнутой импульсной системы

управления

Дискретная передаточная функция разомкнутой системы

Wрзм (z) = Wву (z)×Wоб* (z) ,

Wрзм (z) = 15 +	3×(z -1)		−	15.9×(z -1)
						.
	z − e	− 4T		z − e	− 0.2T

Для построения АФХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ разомкнутой импульсной системы управления необходимо перейти к псевдочастоте. Переход к псевдочастоте основан на ω - преобразовании (билинейном преобразовании).

z= ω +1 1- ω .

Таким образом

		(z -1)	eiωT -1		ωT
	ω =			= i × tg		= i ×λ ,
			= eiωT +1		2
		(z +1)

где λ - относительная псевдочастота.

Тогда

	Wрзм (ω) =15 +			6 ×ω	-		31.5×ω	.
		1		+ ω - e−4T + e−4T ×ω		1+ ω - e−0,2T ×e−0.2T ×ω

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

9

Поскольку для большинства импульсных и цифровых систем частота дискретизации выбирается в 6...10 раз больше частоты среза целесообразно использовать абсолютную псевдочастоту λ. При выполнении условия ωT < 2 (условие теоремы Котельникова) абсолютная псевдочастота λ и круговая частота ω практически совпадают. Поэтому

ω = i × tg ω2T » i × ω2T = i ×λ = i Т2 λ .

Следовательно

	Wрзм (λ) =15 +		0.4 ×iTλ	-	2,12×iTλ	.
		2	+ iTλ - 2 × e−4T + e−4T ×iTλ		2 + iTλ - 2× e−0.2T × e−0.2T ×iTλ

Для построения графиков АФХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ разомкнутой импульсной системы управления по полученной передаточной функции при Т=0,05c в командном окне MatLab выполним следующие процедуры.

lambda=0:0.01:10;

Re=real(f); Im=imag(f); plot(Re,Im); lambda=logspace(4,6,10000); Re=real(f);Im=imag(f); A=20*log*(sqrt(Re.^2+Im.^2); plot(lambda,A); clear A;

phase=atan(Im/Re);

for k = 1:1:length(phase) if Re(k)<=0 phase(k)=phase(k)-pi; end;

end; plot(lambda,phase).

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

10

2 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Временная характеристика, полученная в результате вычисления реакции

замкнутой импульсной системы управления на единичное ступенчатое воздействие способом разложения на простейшие дроби имеет вид

y(nT ) = 0,948 + 0,577×0.069n -1,52×0,94n .

Подставляя различные значения n в данное выражение, получим таблицу 2.1 функции y(nT )

Таблица 2.1 – Результаты вычислений y(nT )

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
y(nT)	0	0,03	0,1	0,184	0,273	0,359	0,44	0,51	0,575	0,63
nT, c	0	0.05	0.1	0.15	0.2	0.25	0.3	0.35	0.4	0.45

По полученным значениям построим график, переходного процесса замкнутой системы, который приведен на рисунке 2.1.

Для полученного ранее выражения

Y (z) =	15 -13,16z−1 -1,02z−2
	15 - 29,98z−1 +12,976z−2 +1,004z−3

получим частное, коэффициенты при z–i у которого являются значениями выходной величины y(nT) при соответствующих n. Они в точности совпадают со значениями, полученными способом разложения на простейшие дроби и приведены, также, в таблице 2.1. График, переходного процесса замкнутой системы, полученный по этим значениям совпадает с графиком, приведенным на рисунке 2.1.

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com