Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ

		259
	Тобто сила інерції возика, що прикладена до рук людини, дорівнює
	Ф ma ,	(3.108)
m	– маса возика; a – прискорення возика; m a F	– рівнодійна усіх сил,
що діють на возик;
	Таким чином, силою інерції матеріальної точки називають вектор
Ф , який дорівнює за модулем добутку маси точки на її прискорення і

спрямований протилежно вектору прискорення “ a ”.

Сила інерції матеріальної точки до самої точки не прикладена, а

прикладена до тих тіл, які надають точці прискорення.

Якщо рух точки заданий координатним способом, то сила інерції

дорівнює:

		ma mx i	my				,
	Ф			j	mz k			(3.109)

де	x, y, z – проекції прискорення точки на відповідні осі координат.

Якщо рух точки заданий натуральним способом, то сила інерції має вираз:

				dv		v	2
					m			n
			Ф ma m
				dt
		dv							v	2
	де a		– дотична складова прискорення; an
		dt

прискорення; – радіус кривизни траєкторії точки.

,

(3.110)

– нормальна складова

Або					Ф Ф Фn ;	Ф ma ;	Фn man .
Ф				– тангенціальна складова сили інерції точки;
Фn				– нормальна складова сили інерції точки або відцентрова сила.

Припустимо, що точка М з масою m розміщена на обертовому тілі і обертається разом з тілом (рис. 3.25) на відстані r від осі О.

260

Рис. 3.25

Тоді сила інерції точки визначається:

Ф	ma mr		– тангенціальна складова сили інерції;
Фn	man m	2	r	– нормальна складова сили інерції

відцентрова сила інерції точки М.

Модуль повної сили інерції матеріальної точки дорівнює:

точки або

2

2

mr 2 4 .

Ф

Ф

Ф

n

§ 14.2. Принцип Д’Аламбера для матеріальної точки

	Нехай на матеріальну точку діє активна сила					P	і реакція в’язі R .
	Запишемо в векторній формі диференціальне рівняння руху
невільної матеріальної точки:
	m a				,
		P		R
де P	– рівнодійна активних сил, які не залежать від в’язей;							R	– рівнодійна
реакцій в’язей.

261

P

R m a P R Ф 0,

0

,

(3.111)

де

Ф

ma

.

У будь який момент руху матеріальної точки активні сили і реакції в’язей зрівноважуються силою інерції, яка умовно прикладається до даної точки.

В цьому полягає ідея метода кінетостатики. Задача динаміки зводиться по формі до задачі статики, тобто до розгляду рівноваги точки.

Але в дійсності в задачах динаміки ніякої рівноваги не існує і сила інерції врівноважує систему фіктивно.

Необхідно зауважити, що і поняття “сила інерції” є фіктивним і не пов’язане з реальними силами природи, які характеризують кількісну міру взаємодії між тілами. Сил інерції в природі не існує, а існує лише прояв інертності маси тіла. Рівність (3.111) не є умовою рівноваги, оскільки сили системи прикладені до різних тіл: активна сила і реакція в’язі прикладена до матеріальної точки або тіла, а сила інерції – до тіл, що зумовлюють прискорення точки відносно абсолютної системи координат.

Метод кінетостатики – це не закон, а формально-математичний спосіб зведення рівнянь динаміки до рівнянь статики, але він дає математично точні і прості співвідношення для розв’язання задач динаміки.

Векторному рівнянню (3.111) відповідає три аналітичних рівняння в проекціях на координатні осі:

Px Rx

P R	y
y

Pz Rz

Фx

Фy

Фz

0 ,

0

,

0 .

(3.112)

262

Приклад

Платформа з вантажем опускається до низу з прискоренням m – маса вантажу (рис.3.26).

Визначити реакцію платформи або точки вантажу на платформу N

Рис. 3.26

a

.

,

Розв’язання

Ф ma – сила інерції вантажу,

G mg – вага вантажу.

Умовно до вантажу прикладаємо його силу інерції і записуємо рівняння рівноваги, як суму проекцій сил на вісь y :

Pky 0 ; G Ф N 0 ,

N G Ф mg ma m(g a) G 1 a g .

Якщо прискорення a g , то N 0 (отримаємо умову невагомості).

263

§ 14.3. Принцип Д’Аламбера для механічної системи

Припустимо, що механічна система складається з n матеріальних точок:

m	,	m	,...,m
1		2	n

– маси точок;

r ,	r	,...,r
1	2	n

– радіус-вектори точок;

P ,
1
R1,
a ,
1
Ф
1

P	,...,P
2	n

R2 ,...,Rn

a	2	,...,a			n
m a				,
		1	1

–рівнодійні активних сил, прикладених до кожної точки,

–рівнодійні реакцій в’язей,

–прискорення кожної точки,

Ф2 m2a2 ,...,Фn mnan – сили інерції кожної точки.

де

Для k-тої точки застосовуємо принцип Д’Аламбера (3.112):

Pk Rk

Фk 0 .

(3.113)

Додавши почленно рівняння (3.113) по всіх точках, отримаємо:

P

k

R

k

Ф

k

0 ,

(3.114)

P

k

P

– головний вектор активних сил механічної системи,

R

k

R

– головний вектор реакцій в’язей механічної системи,

k

Ф

Ф

– головний вектор сил інерції механічної системи.

Тоді

				гол		гол 0 .
	P	гол	R		Ф		(3.115)

В будь який момент часу головний вектор активних сил, головний вектор реакцій в’язей і головний вектор сил інерції складають зрівноважену систему сил.

Або: активні сили і реакції в’язей механічної системи

264

зрівноважуються силами інерції, умовно прикладеними до точок системи.

Обираємо довільно полюс О за центр зведення сил, які діють на механічну систему. Кожна точка системи відносно полюса О буде мати

свій радіус-вектор:

r1, r2 ,...,rn . Рівняння (3.114) помножимо векторно на

rk , а потім просумуємо по всіх точках системи:

rk Pk rk Rk rk Фk 0,

rk Pk rk Rk r

k

Фk 0

,

де

rk

Pk M

P

- головний момент активних сил механічної системи;

0

rk

Rk M

R

- головний момент реакцій в’язей механічної системи;

0

r

Фk M

ф

- головний момент сил інерції механічної системи.

k

0

В результаті отримаємо:

P

R

ф

(3.116)

M0

M0

M0 0

В будь який момент часу сума головного моменту активних сил,

головного моменту реакцій в’язей і головного моменту сил інерції для механічної системи дорівнює нулю.

Рівнянням (3.115) і (3.116) відповідають рівняння в проекціях на

декартові осі координат:

Px Rx Фx 0			,
Py Ry Фy 0 ,
Pz Rz Фz 0			,
M P M R M ф			0 ,	(3.117)
x	x	x
M P M R M ф			0 ,
y	y	y
M P M R M ф			0 .
z	z	z

265

Слід відмітити, що всі без виключення задачі динаміки можна розв’язувати без застосування метода кінетостатики, не користуючись навіть поняттям “сила інерції”.

Проте, метод кінетостатики внаслідок своєї простоти і наочності широко застосовується в інженерній практиці для розв’язування задач динаміки. Особливо цей метод зручний при визначенні реакцій в’язей механічної системи. Цей метод, звичайно, можна використовувати також для визначення прискорень тіл механічної системи.

§ 14.4. Зведення сил інерції точок тіла, що обертається

відносно нерухомої осі

Розглянемо тіло, що обертається навколо вертикальної осі з кутовою швидкістю і кутовим прискоренням (рис. 3.27).

Рис. 3.27

При цьому довільна точка масою mk описує коло радіуса rk і має

266

тангенціальне прискорення складову сили інерції:

a k

. Кожна точка буде мати тангенціальну

Ф		m a		m r
			k
k		k		k	k

і нормальну (або відцентрову) силу інерції:

Фkn mk an mk 2rk ,

яка не дає моменту відносно осі обертання, тому що перетинає цю вісь.

Тільки тангенціальні обертання z:

M	ф				r
	z			Ф
				k	k

сили інерції

			k		k
		m		r
					2
	M	ф	I
		z			z

створюють моменти відносно осі

mk rk	I z ,
2
.	(3.118)

Момент сил інерції тіла, яке обертається навколо нерухомої осі з кутовим прискоренням, дорівнює добутку осьового моменту інерції маси тіла відносно осі обертання на кутове прискорення і спрямований у протилежний бік кутовому прискоренню.

Рис. 3.28

267

Треба відмітити, що момент сил інерції тіла виникає тільки в період розгону або гальмування (перехідні режими). В період усталеного руху

(рівномірне обертання) момент сил інерції дорівнює нулю.

Зведемо далі відцентрові сили інерції точок всього тіла (рис. 3.28).

Для кожної точки mk маємо нормальну (відцентрову) силу інерції:

Фn k

m	r
2
k	k

.

Сумарну силу інерції визначимо через проекції на осі координат:

Фn Фn 2 Фn 2

xy

,

(3.119)

Ф

n

Ф

n

m

2

r

cos

2

m x

k

x

xk

k

k

k

,

де – mk xk Mxc (значення координати xc								центра мас),
				n		2	Mxc ,
				Фx
Аналогічно визначимо проекцію на вісь y :
				n		2	Myc .
				Фy
Підставляючи (3.120) і (3.121) в (3.119), отримаємо:
Ф		M		xc	yc		M		rc M ac ,
	n		2	2	2			2	n

M – маса тіла.

(3.120)

(3.121)

(3.122)

де rc – радіус-вектор центра мас тіла, acn 2rc – нормальне, доцентрове прискорення центра мас.

Аналіз виразу відцентрової сили інерції показує, що ця сила завжди має місце при обертанні і досить небезпечна, так як вона пропорційна квадрату кутової швидкості.

Відцентрова сила буде дорівнювати нулю, коли rc 0 , тобто центр мас розміщений на осі обертання. Це досягається методом балансування.

268

r	0 a			r
		n	2
c		c		c

0 Фn

0

.

Приклад

Визначити прискорення тіл і динамічні реакції при русі механічної системи (рис. 3.29).

Рис. 3.29

Дано:

m2 m1 , m1 - маса тіла А, m2 - маса тіла В, Маса шківа розподілена по ободу радіуса r

Визначити:

a - прискорення вантажів,

N1 - натяг тросу ліворуч,

N2 - натяг тросу праворуч,

R0 - реакцію опори шківа.

m3

,

r

-маса тіла С.

-радіус шківа.