Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ

375

Тоді

діаметром

умова	міцності на зріз для з’єднання, що має
d (рис.	5.14) можна записати наступним чином:

n

заклепок

	зр	Q			P	зр ,
		A		d	2
		зр			n i
				4

(5.29)

де i – кількість площин зрізу при з’єднанні більше ніж двох листів.

Рис. 5.14

Крім цього, в подібного роду елементах конструкцій виникає деформація зминання.

Зминанням називається місцевий стиск матеріалів, в контактуючих поверхнях деталей.

Виникаючі нормальні напруження зминання є місцевими і швидко зменшуються при віддаленні від поверхні контакту деталей. При цьому на поверхні контакту напруження зминання розподілені нерівномірно за невідомим законом. Тому для спрощення розрахунків за площу зминання замість поверхні половини циліндра умовно приймають проекції цієї поверхні на діаметральну площину (рис. 5.15).

376

	Рис. 5.15
	Розрахункова площа зминання для клепки буде дорівнювати:
	Aзм d min ,	(5.30)
де	min – товщина листа, яка приймається мінімальною в разі з’єднання
листів різної товщини.
	Таким чином, умова міцності на зминання для	заклепочного
(болтового) з’єднання має вигляд:

				P
		зм		A
				зм

		P
		d
		min

зм

,

(5.31)

де зм – допустиме напруження на зминання.

В інженерній практиці допустимі напруження на зминання приймають для різних матеріалів в межах значень: для маловуглецевої сталі – 100…120 МПа, для клепаних стальних з’єднань – 240…320 МПа,

для деревини (сосна, дуб) – 2,4…11 МПа в залежності від сорту і напрямку деформації волокон.

377

§ 21.1. Кручення

Крученням називається такий вид деформації, при якому в поперечному перерізі бруса виникає лише один внутрішній силовий фактор – крутний момент М к . Деформацію кручення можна отримати,

якщо до бруса в площинах, перпендикулярних його поздовжньої осі,

прикласти дві пари зовнішніх сил з обертальними моментами М , які діють

в протилежних напрямках і рівні за величиною (рис. 5.16).

Бруси, що працюють на кручення називають валами. На практиці спостерігається кручення валів двигунів, механічних передач, турбін і гребних гвинтів. Крім цього деформацію кручення можуть також зазнавати

і інші деталі – болти під час закручування, пружини тощо.

Розглянемо детальніше випадок кручення валу, коли на нього жорстко насаджені два шківи 1 і 2 , що передають енергію руху від

джерела до приймача. Наприклад, шків 1	отримує обертальний момент		M 1
від електродвигуна, а з шківа 2 знімається обертальний момент		M 2	до
робочих органів машини (рис. 5.16).

Рис. 5.16

378

Внаслідок протидії сил опору робочих органів машини рушійним силам електродвигуна, обертальні моменти на шківах M 1 і M 2 будуть протилежними за напрямком, а за законом збереження енергії (без урахування сил тертя і при рівномірному обертанні) – однакові за

величиною. В результаті дії цих моментів	M 1 і	M 2	вал і отримає
деформацію кручення.
Крутний момент M к , що виникає	при	такій	деформації в

поперечному перерізі валу, можна визначити із умови рівноваги однієї із частин вала (наприклад, лівої) за допомогою метода перерізів. Вибрана ліва частина валу перебуває в стані рівноваги під дією внутрішнього моменту M к і зовнішнього M 1 (рис. 5.17).

Рис. 5.17

Умовно приймемо за додатний напрямок обертання моментів проти годинникової стрілки при спостереженні за ними із торця перерізу розглянутої частини валу.

379

Тоді рівняння рівноваги між зовнішнім і внутрішнім моментами буде мати вигляд:

n M x

k 1

0

,

M к

M1

0

.

Звідки

M к

M1

.

Очевидно, що для	другої частини вала (правої):		M к M 2	, а з
урахуванням того, що M1	M 2	:
		M к M1 M 2 .

Тобто, на всій довжині валу, де відбувається деформація кручення,

крутнй момент в поперечних перерізах має постійне значення і зрівноважує зовнішній момент, діючий по один із боків перерізу.

Знак моменту

M к

в даному випадку буде додатний, але він

приймається умовно тільки для складання рівняння рівноваги і на розрахунки жорсткості та міцності вала не впливає. Але це правило знаків будемо використовувати і далі.

Цілком зрозуміло, що у випадку дії на відсічену частину декількох зовнішніх моментів необхідно розглядати рівновагу між внутрішнім крутним моментом і сумарною дією зовнішніх моментів.

Таким чином, для подальших розрахунків зробимо висновки.

Крутний момент, що виникає в поперечному перерізі валу,

зрівноважує його зовнішні моменти, які прикладені по один із боків перерізу, і дорівнює їх алгебраїчній сумі із урахуванням знаку.

Правило знаків приймаємо наступне.

Зовнішні моменти рахуються додатними, при обертанні проти годинникової стрілки, якщо спостерігати за ними із торця перерізу розглянутої частини валу, і від’ємними - в протилежному випадку.

380

§ 21.4. Побудова епюри крутних моментів

Коли обертання від двигуна передається за допомогою передаточного валу кільком робочим машинам, крутний момент не лишається постійним по довжині валу. Характер зміни крутного моменту в

цьому випадку зручно представити у вигляді епюри крутних моментів.

Розглянемо побудову такої епюри на прикладі (рис. 5.18).

Нехай вал обертається рівномірно, а тертя в його опорах незначне.

Тоді зовнішній момент

M 1

, що подається на шків

1

валу буде

врівноважений сумою зовнішніх моментів, які знімаються з його шківів 2 ,

3	, 4	:
		M	1	M	2	M	3	M	4

Рис. 5.18

						381
Розбиваємо вал на три ділянки	1	,	2	,	3	з межами в точках

прикладання зовнішніх моментів. Визначимо крутні моменти в поперечних перерізах вала кожної ділянки, застосувавши метод перерізів. При цьому будемо складати рівняння рівноваги для лівої частини валу, відкинувши праву, і використовувати прийняте правило знаків для зовнішніх моментів,

що діють на цю частину.

Тоді крутний момент в будь – якому перерізі першої ділянки валу дорівнює:

M	к1	M	4

200Н

м

.

На другій ділянці :

		M	к2	M		4	M		1	200 600 400Н м
На третій ділянці:
M	к3	M		4	M	1	M	2		200 600 300 100Н м
По знайденим величинам									будуємо епюру крутних моментів,

відкладаючи від нульової лінії у вибраному масштабі від’ємні значення вниз, а додатні – вгору.

Аналогічні результати можна отримати, якщо будувати епюру зліва на право, розглядаючи рівновагу правої частини валу. Звідси можна зробити висновок що, значення епюри в її крайніх точках дорівнює

зовнішнім моментам, діючих на відповідних кінцях вала.

Слід також зауважити, що досить часто в інженерній практиці

бувають задані не зовнішні обертальні моменти							М і ( н м ) , а потужності
Nі ( Вт ), що передаються на вал,				і кутова			швидкість ( рад / с )
обертання валу або його частота n			( об / хв ) . В такому випадку зовнішні
обертальні моменти можуть бути визначені із відомої залежності:
M			Ni		30 Ni	.
	i
					n

382

§ 21.5. Напруження і деформації при крученні

З’ясуємо характер деформацій і напружень при крученні. Для цього розглянемо кручення валу суцільного (або кільцевого) перерізу з жорстко закріпленим одним кінцем (рис. 5.19).

Рис. 5.19

При деформації кручення можна спостерігати наступне: поперечні перерізи валу зберігають свою плоску форму, вісь валу залишиться прямою і відстані між перерізами не зміняться, твірні на поверхні валу перетворюються у гвинтові лінії.

Таким чином, деформація кручення валу полягає у відносному повороті його поперечних перерізів навколо вісі кручення. При цьому кути повороту перерізів прямо пропорційні відстані до місця закріплення валу і називаються кутами закручування. Кути закручування визначаються в радіанах або в градусах.

Кут повороту крайнього перерізу валу від місця його закріплення називається повним кутом закручування (рис. 5.19 б).

Розглядаючи тонкий шар матеріалу на поверхні валу, можна

		383
побачити, що елементарний паралелепіпед	ABCD	при крученні

перекошується і прямі кути між його гранями змінюються на кут , який є

кутом зсуву, або відносним зсувом (рис. 5.19 в). Аналогічна картина спостерігалась при вивченні деформації зсуву.

Тобто, при крученні також виникає зсув, але не за рахунок поступального, а в результаті обертального руху одного поперечного перерізу відносно іншого. Такий зсув називається «чистим зсувом ».

На цій підставі можна зробити висновок, що при крученні в результаті відносного зсуву поперечних перерізів в них виникають тільки дотичні напруження .

Визначимо закон розподілення дотичних напружень в перерізі валу.

Двома поперечними перерізами виділимо елемент валу довжиною dx , а з нього, в свою чергу, двома циліндричними поверхнями з радіусамиі d виділимо елементарне кільце (рис. 5.20 а).

Рис. 5.20

384

	Правий переріз кільця повертається при крученні відносно лівого на
кут	d . Твірна	DC при цьому зміститься на кут зсуву	і займе
положення DC1 .

Відрізок CC1 дорівнює, з одного боку,						d , а з другого –
Тоді відносний зсув		перерізу дорівнює:
				d	,
				dx
Введемо позначення
		d	.
		dx

dx .

(5.32)

(5.33)

Величина

називається відносним кутом закручування і аналогічна

відносному видовженню стержня при розтягу (		l	).
		l
Величину відносного зсуву в такому разі можна записати у вигляді:
.				(5.34)
Напрямок деформації зсуву елементу	ABCD			визначає напрямок
виникаючих в ньому дотичних напружень	. Це буде перпендикуляр до
відповідного радіуса елементу (рис. 5.20 б).
Величина цих дотичних напружень визначається за законом Гука
для зсуву із урахуванням виразу (5.34):
G G .				(5.35)

де G – модуль зсуву.

Із співвідношення (5.35) можна зробити висновок, що дотичні напруження при крученні валу змінюються в поперечному перерізі по довжині радіуса за лінійним законом . Вони дорівнюють нулю в центрі