Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ

355

1. Розріжемо стержень уявним перерізом

m

n

.

2.Відкинемо одну з частин, наприклад, праву.

3.Замінемо дію відкинутої частини внутрішньою силою.

4.Складемо рівняння рівноваги частини, що залишилася.

Із усіх шести рівнянь рівноваги (5.1) можна використати тільки одне, з

якого і визначається внутрішнє зусилля

N :

n

Pkx k 1

0

,

P N

0

,

N

P

.

Аналогічно можна розрахувати поздовжню силу N	при	дії	на
стержень двох стискуючих сил. Але в цьому випадку значення			N
приймаємо від’ємним:
N P .
Таким чином, при осьовому розтягу або стиску стержня зовнішніми
навантаженнями P , прикладеними до його торців, поздовжня сила N у
всіх його поперечних перерізах чисельно дорівнює зовнішній силі	P .
При розтягу поздовжня сила N приймається додатною,		а	при
стиску – від’ємною.

Визначимо напруження, що виникають в поперечних перерізах даного стержня. Дані напруження перпендикулярні до поперечного перерізу, тобто є нормальними напруженнями .

У відповідності до гіпотези плоских перерізів і, як показують досліди, при достатньо точному збігу зовнішніх сил з віссю стержня його поздовжні волокна зазнають однакового зміщення. Звідси можемо

припустити, що напруження розподілені по перерізу стержня рівномірно.

Отже, рівнодіючу N	внутрішніх сил можна знайти як:
	N dA dA A .
	A	A

Звідки

356

		N	.	(5.8)
		A
де N – позовжня сила, що виникає в поперечному перерізі стержня від дії
зовнішніх осьових сил,	А – площа даного поперечного перерізу.

§ 20.2. Епюри поздовжніх сил і нормальних напружень

В попередньому випадку деформації стержня поздовжня сила N в

його поперечних перерізах мала постійне значення на всій довжині стержня. Це пояснюється тим, що N зрівноважувала дію однієї із двох однакових зовнішніх сил P , прикладених до торця стержня по один із боків перерізу.

Але у випадку дії системи зовнішніх сил, прикладених, не тільки до торців стержня, а і в інших точках його осі, поздовжня сила може змінювати своє значення в перерізах, залежно від їх розташування на осі стержня. При цьому величина N дорівнює алгебраїчній сумі зовнішніх сил, діючих з одного боку перерізу стержня, і має додатне значення у випадку його розтягу та від’ємне – у випадку стиску.

Всвою чергу, нормальні напруження розтягу і стиску, що виникають

впоперечних перерізах стержня залежать як від величини поздовжньої сили N , так і від самої площі перерізу.

Для наглядного відображення розподілу по осі стержня поздовжніх сил і нормальних напружень будують графіки цього розподілу, які називаються епюрами поздовжніх сил і нормальних напружень.

При побудові епюр поздовжніх сил і нормальних напружень

спочатку послідовно визначаються значення

N

в кожному характерному

перерізі стержня. Для цього використовується метод перерізів і

357

розглядається рівновага однієї із частин стержня. Потім за виразом (5.8)

визначаються напруження в цих перерізах.

Більш докладно розглянемо побудову епюр на прикладі закріпленого одним кінцем ступінчастого стержня з площею поперечних перерізів А1 і

А2 , на який діє система зовнішніх сил P1 , P2 і P3 (рис. 5.7).

Рис. 5.7

358

Розіб’ємо стержень на ділянки, починаючи з вільного кінця стержня.

Межі ділянок визначаються перерізами, де прикладені зовнішні сили або де змінюються розміри самого поперечного перерізу. Всього по довжині стержня маємо чотири ділянки довжиною l1 , l2 , l3 і l4 .

При застосуванні метода перерізів нема різниці, яку із відсічених частин стержня розглядати у рівновазі. Але в даному випадку зручніше лишати праву частину і відкидати ліву, так як при цьому не треба попередньо знаходити опорну реакцію R , яка нам невідома.

Проведемо довільний поперечний переріз 1 1 в межах першої ділянки і із умови рівноваги правої частини стержня знаходимо невідому поздовжню силу N1 через зовнішнє навантаження P1 , прикладене до цієї частини:

N1

P1

10Кн

.

Значення N1 додатне, тому що під дією зовнішньої сили P1 стержень має деформацію розтягу. Неважко побачити, що для всіх інших перерізів ділянки l1 значення N1 не зміниться.

Аналогічно в межах другої ділянки в довільному перерізі 2 2 :

N2 P1 P2 10 20 10Кн .

На цій ділянці відбудеться стиск із результуючою від дії двох зовнішніх сил ( P1 розтягує стержень, а P2 , його стискає).

В довільному перерізі 3 3 в межах третьої ділянки значення N3 не зміниться, тому що на праву відсічену частину діють ті самі зовнішні сили:

N3 N2 P1 P2 10Кн .

В межах четвертої ділянки в довільному перерізі 4 4 :

N4 P1 P2 P3 10 20 40 30Кн .

На цій ділянці відбудеться розтяг із результуючою від дії трьох зовнішніх

359

сил ( P1 і P3 розтягують стержень, а P2 , його стискає).

Аналогічні результати можна отримати, якщо будувати епюру зліва на право, розглядаючи рівновагу лівої частини стержня. Але в цьому випадку, як вже було відмічено, необхідно спочатку визначити реакцію опори R із умови рівноваги всього стержня:

n

Pkx k 1

0

,

R P	P
3	2

P1

0

,

R P	P
3	2

P1

30Кн

.

Як бачимо, значення епюри N на відповідних крайніх зовнішніх сил.

Визначимо нормальні напруження характерних ділянках.

Для першої ділянки (площа перерізу

їїкінцях дорівнює значенням

вперерізах стержня, на його

A1 100 мм	2	):

				N	1		10 103	100	Н	100
		1		A			100		мм2
				1

МПа

.

Для другої ділянки (площа перерізу A1								100 мм			2	):
			N			10 10	3	Н
				2			100			100
	2		A			100		мм	2
				1

МПа

.

Для третьої ділянки (площа перерізу

A1

400 мм	2

):

			N			10 10	3	Н
				2			25			25
	3		A			400		мм	2
			2

МПа

.

Для четвертої ділянки (площа перерізу A1 400 мм2 ):

			N	3		30 103	75	Н	75
	3		A			400		мм2
			2

МПа

.

По знайденим величинам будуємо епюри поздовжніх сил N

і

нормальних напружень , відкладаючи від нульової лінії у вибраному масштабі від’ємні значення вниз, а додатні – вгору.

360

§ 20.3. Деформації при розтягу або стиску

Визначимо параметри деформацій і встановимо закономірності, по

яким стержень змінює свої розміри при розтягу (стиску).
Розглянемо розтяг стержня (рис. 5.8), в якому перерізи	m n ,
лишаючись плоскими, переміщуються в деяке положення	m n ,

початкова довжина	l	збільшується до	l1	і стержень одержує абсолютну
деформацію:

l l1

l

.

(5.9)

Рис. 5.8

При цьому відносна деформація всіх волокон стержня буде

	дорівнювати:
		l	,	(5.10)
		l

абсолютне поперечне скорочення (зменшення поперечних розмірів):

b b1 b ,

(5.11)

Співвідношення (5.13) встановлює відносним подовженням:

E .

361

відносне поперечне скорочення:

	1	b	.
		b

(5.12)

При стиску довжина стержня зменшується, а поперечні розміри збільшуються.

Перейдемо до розгляду фізичної сторони явища розтяг-стиск, яке вивчається за допомогою експериментальних дослідів над зразками з різних матеріалів.

Поки напруження розтягу (або стиску) (5.8) не досягло деякої певної для кожного матеріалу межі, стержень залишається пружним і його деформації зникають після усунення зовнішніх сил розтягу (стиску).

В цих межах подовження і напруження перебувають в постійному відношенні, цілком визначеному для кожного матеріалу:



E const

.

(5.13)

залежність між напруженням і

(5.14)

Вираз (5.14) носить назву закона Гука, який відкрив дослідним шляхом англійський фізик Роберт Гук у 1660 році: нормальне напруження

прямо пропорційне відносному подовженню.

Коефіцієнт пропорційності

E

має різні значення для різних

матеріалів і характеризує їх пружні властивості (можливість протистояти дії зовнішніх сил). Величина E називається модулем поздовжньої пружності або модулем пружності першого роду.

Середнє значення E для ряду матеріалів, МПа: сталь – 2 105 , мідь

362

технічна –	1 10			5	, бетон –	( 0,15...0,3 ) 10
( 0,1...0,16 ) 10		5	, деревина поперек волокон

Формулу (5.10) з урахуванням (5.8)

5	, деревина вздовж волокон –
( 0,005...0,01 ) 10		5	.

і (5.10) можна перетворити до

виду:

l

N l E A

.

(5.15)

Із (2.11) видно, що чим більший знаменник, тим менша податливість або тим більша жорсткість стержня, тому добуток знаменника E A

називають жорсткістю стержня при розтягу (стиску).

При розтягу-стиску стержня одночасно виникають не тільки поздовжні, але і поперечні деформації. Досліди показують, що для багатьох матеріалів поперечна деформація в 3....4 рази менша, ніж

поздовжня.

Абсолютна величина відношення відносної поперечної деформації

1 , до відносної поздовжньої				називається				коефіцієнтом поперечної
деформації:
					1	.		(5.16)
Вперше коефіцієнт		теоретично встановив французький математик
і механік Симеон Пуассон.		Тому число					називається ще коефіцієнтом
Пуассона.
Величина – це	стала		матеріалу,				яка	також характеризує його

пружні властивості. Для реальних матеріалів він набуває значення 0...0,5.

Середнє значення його для металів – 0,3.

Таким чином, для ізотропних матеріалів коефіцієнти E і повністю визначають їх пружні властивості.

363

§ 20.4. Діаграма розтягу.

Механічні характеристики матеріалів

При розрахунках на міцність необхідно знати механічні властивості матеріалів, які визначаються експериментально. Всі конструкційні матеріали з точки зору різниці механічних властивостей при простому розтягу-стиску і при звичайній температурі поділяють на крихкі і пластичні. Крихкі матеріали руйнуються при досить малих залишкових деформаціях. Руйнування пластичних матеріалів наступає після значної залишкової деформації. До крихких матеріалів відносять чавун, бетон,

камінь та інші; до пластичних – мідь, сталь, сплави кольорових металів,

полімери і композити. Поведінку різних типів матеріалів, як при розтягу

так і стиску, з'ясовують дослідним шляхом аж до їх руйнування.

При дослідженні металів на розтяг виготовляють зразки циліндричної або призматичної форми, які розтягують на розривних машинах. Такі машини мають пристрої, які автоматично викреслюють залежність між силою розтягу P і абсолютним подовженням l . Ця

залежність називається діаграмою розтягу.
Діаграма розтягу може бути представлена	також в координатах
, якщо по осі ординат відкласти напруження	, а по осі абсцис –

відносне подовження E . Такий вид представлення діаграми більш зручний для відображення фізичних властивостей матеріалу, тому що не залежить від геометрії зразка (його довжини і поперечного поперечних розмірів).

Приклад діаграми розтягу дослідного зразка із маловуглецевої сталі типу Ст 3 показаний на рис. 5.9.

Визначимо на цій діаграмі характерні точки. На першому етапі розтягу матеріалу, доки напруження не досягло певної величини, діаграма зображується прямою лінією ОА . Найбільше напруження (точка А ), для

364

якого справедливий ще закон Гука, називається границею пропорційності і

позначається через пц . До тих пір, доки	не досягне	значення пц
модуль пружності E – величина постійна.
Із діаграми видно, що нахил її прямолінійної ділянки		ОА залежить
від значення модуля пружності E :

	tg

E

const

.

Тобто,

пружності E

чим більший кут ділянки ОА

і тим жорсткіше буде матеріал.

, тим більшим буде модуль

Рис. 5.9

За точкою А відбувається скривлення діаграми. Максимальне напруження (точка В ), при якому в матеріалі ще не виникають залишкові