Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ

345

§ 19.3. Метод перерізів. Внутрішні силові фактори і

основні види деформацій

Зовнішні сили, що діють на тіло, як зазначалося, викликають в ньому виникнення внутрішніх сил, які намагаються протидіяти деформації. Для визначення цих внутрішніх сил в перерізах тіла використовують метод перерізів.

Тіло умовно розсікають площиною на дві частини (рис. 5.1 а). Далі одну із частин тіла відкидають, замінюють її дію на іншу внутрішніми силами, прикладеними в площині перерізу, і розглядають рівновагу частини, що лишилася під дією зовнішніх і внутрішніх сил.

Рис. 5.1

346

Таким чином, зовнішні сили, прикладені до залишеної частини тіла,

врівноважуються внутрішніми силами, діючими в площині переріза тіла

(рис. 5.1 б). Це дозволяє скласти для любої з двох частин тіла (наприклад частини А) в загальному випадку шість рівнянь рівноваги:

n
kx	0,
P
k 1
n
ky	0,
P
k 1
n
kz	0,
P
k 1

n		P
	m
	x	k
k 1
n		P
	m
	y	k
k 1
n		P
	m
	z	k
k 1

0,

0,

0.

(5.1)

Дані рівняння дозволяють визначити статичний еквівалент системи внутрішніх сил, тобто знайти головний вектор і головний момент системи внутрішніх сил (рис. 5.1 в).

Рис. 5.2

		347
В загальному випадку із шести рівнянь рівноваги в	поперечному
перерізі тіла визначаються шість складових внутрішніх сил:	три сили	N z ,

Qx , Qy	– складові головного вектора,				напрямлені вздовж координатних
осей, і	три моменти	M x ,	M y ,	M z	– складові головного моменту

внутрішніх сил (рис. 5.2).

Вказані шість складових внутрішніх сил називаються внутрішніми силовими факторами, діючими в перерізі тіла. Кожна з цих складових має

свою назву і позначення:
N x	– поздовжня (нормальна) сила	N ,
Qy	, Qz – поперечні сили Q ,
M x – крутний (скручуючий) момент М к ,

M y , M z – згинаючі (згинальні) моменти М зг .

Складові внутрішніх силових факторів залежать від характеру навантаження тіла і характеру його деформації (деформованого стану).

При різних видах деформації в поперечному перерізі будуть виникати різні внутрішні силові фактори.

Розглянемо окремі випадки простих деформацій (простого деформованого стану) тіла, коли в його поперечному перерізі виникає лише один внутрішній силовий фактор:

1. Деформація розтягу (або стиску), коли в поперечному перерізі виникає внутрішній силовий фактор – поздовжня сила N , напрямлена по поздовжній осі тіла. Такої деформації зазнають стержні, троси, штоки двигунів, навантажені зовнішніми силами вздовж їх осей (рис. 5.3 а, б).

2. Деформація зсуву або зрізу, коли в поперечному перерізі виникає внутрішній силовий фактор – поперечна сила Q , що лежить в площині перерізу. Така деформація спостерігається в болтах, клепках, зварних

348

швах, де зовнішні сили діють паралельно і протилежно напрямлено,

зміщуючи плоскі перерізи елементів з’єднання один відносно одного

(рис. 5.3 в).

3. Деформація кручення, коли в поперечному перерізі виникає внутрішній силовий фактор – крутний момент М к , який паралельний цій площині. Таку деформацію маємо, наприклад, у валах, де зовнішні сили утворюють моменти, що діють перпендикулярно до осі вала (рис. 5.3 г).

Рис. 5.3

349

4. Деформація чистого згину. При цьому в поперечному перерізі перпендикулярно до нього виникає один внутрішній силовий фактор –

згинаючий момент М зг , що врівноважує дію зовнішніх згинаючих моментів. Деформація чистого згину можна отримати від дії на стержень зовнішніх згинаючих моментів (рис. 5.3 д).

При цьому слід зауважити, що в таких конструкціях може відбуватися деформація поперечного згину, коли в поперечному перерізі виникає одночасно два внутрішніх силових фактора – згинаючий момент

М зг , і поперечна сила Q від дії зовнішніх моментів і зовнішніх сил.

Деформація згину спостерігається в балках (рис. 5.3 е), осях, зубцях зубчастих коліс, тощо. Більш докладно деформація згину буде розглянута пізніше.

Випадки одночасної дії в поперечних перерізах тіла декількох внутрішніх силових факторів відносять до складних видів деформованого стану тіла, при якому має місце поєднання основних видів деформації

(наприклад, згин з крученням, кручення і розтяг і т. ін.).

§ 19.4. Поняття про напруження

Метод перерізів дозволяє визначити внутрішні силові фактори в будь

– якому перерізі тіла при дії на нього зовнішнього навантаження. Але при цьому неможливо встановити закон розподілу внутрішніх сил в самому перерізі. Тому для визначення характеру розподілу внутрішніх сил по площині перерізу введено поняття напруження.

Напруження – це значення внутрішніх сил, що приходяться на одиницю площі перерізу тіла.

Виходячи із положення, що внутрішні сили діють безперервно по

350

всьому перерізу, виділимо в поперечному перерізі тіла площу А з

рівнодійною внутрішніх сил R . При зведенні цієї площі до точки приА 0 , елемент площі dA буде настільки малим, що внутрішні сили на ньому будуть однаковими за величиною і напрямком, їх рівнодійна dR

буде проходити через центр dA , а рівнодійний момент дорівнюватиме нулю. При цьому проекції рівнодійної dR на нормаль і дотичні напрямки координатних осей відповідно дадуть, як вже відомо, елементарні зусилля: dN , dQx , dQy (рис. 5.4).

Рис. 5.4

Тоді повне напруження в точці перерізу можна визначити як межу відношення рівнодійної внутрішніх зусиль до елементарної площі приА 0 :

p lim
	R			dR			.	(5.2)
A o A				dA

351

Повне напруження в точці являє собою векторну величину (тобто характеризується числовим значенням, точкою прикладення і напрямком) і

залежить від положення проведеного через точку перерізу. Тому не можна говорити про напруження, не вказавши положення перерізу, в якому вони виникають.

Розмірність вимірювання напруження: в системі СІ:

	p	1н		1Па .
		1м	2
	Так як одиниця 1Па дуже мала	і користуватися нею незручно, то

застосовують несистемну одиницю вимірювання напруження:

1МПа 10	6	Па 1	н
			мм	2

.

Поняттям повного напруження в опорі матеріалів користуються порівняно рідко – переважно тільки в теоретичному плані. Проте проекції вектора повного напруження на нормаль і дотичну до елементарної площі перерізу мають велике значення для практичних розрахунків.

Рис. 5.5

352

Нормальну складову повного напруження називають нормальним напруженням , а дотичну – дотичним напруженням (рис. 5.5).

Нормальне і дотичні напруження в точці перерізу будуть відповідно дорівнювати:

dN dA

,

				dQ
				y
		y		dA

,

			dQ	z
	z		dA

,

(5.3)

де

dN ,

dQy ,

dQz

– відповідно поздовжня і поперечні сили, на які

розкладається по координатним осям рівнодіюча внутрішніх сил dR .

Величина повного дотичного напруження в точці визначається як:

		2		2
		y		z

,

(5.4)

а повне напруження, що включає в себе нормальну і дотичні складові, тоді буде дорівнювати:

p	2	2	2		(5.5)
		y	z .
Для запобігання руйнування елементів конструкцій і машин,
виникаючі в них робочі (розрахункові)			напруження ,		не повинні
перевищувати допустимих напружень , :
,			.		(5.6)

Рівняння (5.6) називаються умовами міцності, де допустимі напруження – це максимальні значення напружень, що забезпечують безпечну роботу матеріалу. Допустимі напруження визначаються як деяка частина експериментально знайдених значень напружень, що визначають,

границю міцності матеріалу гр , гр :
	гр	,		гр	,	(5.7)
	n			n

де n – коефіцієнт запасу міцності.

353

Запитання для самоконтролю

1.Що вивчають в опорі матеріалів?

2.Дайте визначення поняттям міцності, жорсткості і стійкості.

3.Дайте визначення внутрішнім силам і назвіть причини їх виникнення.

4.Яка деформація називається пружною?

5.Назвіть основні гіпотези і припущення в опорі матеріалів.

6.За яким методом визначаються внутрішні сили при деформації тіла, в

чому полягає його сутність?

7.Які внутрішні сили виникають в загальному випадку деформації тіла?

8.Назвіть окремі випадки простої деформації тіла.

9.Дайте визначення напруження. На які складові можна розкласти повне напруження?

10.Що таке допустиме напруження і допустимий коефіцієнт запасу міцності?

354

РОЗДІЛ 20

РОЗТЯГ І СТИСК

§ 20.1. Поздовжні сили і напруження в поперечному перерізі

Перейдемо до розгляду простих видів деформації на прикладі деформації бруса – тіла, довжина якого більша ніж поперечні розміри.

Розтягом або стиском називається такий вид деформації, при якому в поперечному перерізі бруса виникає лише один внутрішній силовий фактор – поздовжня сила N розтягу (стиску). Найпростішу деформацію розтягу або стиску можна отримати, якщо, наприклад, до бруса прикласти по його повздовжній осі дві зовнішніх сили, однакові за величиною і протилежні за напрямком (рис. 5.3 а, б).

Бруси, що працюють на розтяг (стиск) називають стержнями.

Розглянемо випадок, коли на стержень діють дві однакові розтягуючи зовнішні сили P (рис. 5.6).

Рис. 5.6

Для визначення величини поздовжньої сили N в цьому стержні,

застосуємо метод перерізів.