Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ

365

деформації, називається границею пружності

пр . Границя пружності є

характеристикою, що не пов’язана із законом Гука, але значення між пр і

пц дуже близькі за величиною і різницею між ними часто нехтують.

На другому етапі розтягу відбувається текучість матеріалу –

зростання деформацій при майже постійному навантаженні. Цей процес на

діаграмі відображений майже горизонтальною прямою

C D

і

характеризується виникненням пластичних (залишкових) деформацій зал ,

які не зникають навіть після зняття навантаження.

Границею текучості Т називається мінімальне напруження, при якому з’являється текучість і пластична деформація матеріалу (точка С ).

За границею текучості пластична деформація матеріалу змінює його механічні властивості: збільшується міцність матеріалу (границя пружності і пропорційності) і зменшується його пластичність. Це явище носить назву наклепу. Наклеп може використовуватись для зміцнення окремих елементів конструкцій (наприклад, в ланцюгах підйомних машин,

арматурі залізобетонних конструкцій, тросах, робочих органах ріжучих і копальних агрегатів). Але наклеп приводить і до небажаних результатів – зміни форми і розмірів деталей, підвищення їх крихкості і виникнення

тріщин.

На третьому етапі розтягу після стадії текучості матеріал

ущільнюється,	тобто знову		набуває здатності опору розтягу, але
тимчасово. Напруження,		яке	відповідає на діаграмі найвищій її		точці
(точка E ), носить назву		межі		міцності або тимчасового опору	в , а
навантаження,	яке викликало			таке напруження, – навантаженням
руйнування.

Змоменту, коли досягнуто навантаження в , деформації

зосереджуються в одному місці зразка і утворюється так звана шийка. При

366

звуженні поперечного перерізу діюча сила зменшується і в		точці	K
відбувається розрив, тобто розділення зразка на дві частини.
Отримані на діаграмі розтягу матеріалу значення	пц ,	пр ,	Т

характеризують його механічні властивості і, наряду із пружними постійними E , , належать до механічних характеристик матеріалу.

При цьому за основну характеристику міцності при розтягу пластичних матеріалів, до яких відноситься сталь Ст.3, приймають границю текучості Т , так як виникнення великих залишкових деформацій розглядається як порушення міцності елементу конструкції.

Діаграми розтягу крихких матеріалів значно відрізняються від наведеної діаграми пластичного матеріалу. Крихкі матеріали руйнуються,

як правило, несподівано, без утворення шийки і при незначних подовженнях. Якщо маловуглецева сталь при розриві подовжується на

20...25%, то такі типові крихкі матеріали, як чавун, розтріскуються,

подовжуючись лише на 0,5...0,6%. Крихкі матеріали погано чинять опір розтягу, навіть при малих напруженнях в них спостерігається відхилення від закону Гука. Але в межах тих робочих напружень, за яких матеріал використовується в конструкціях і спорудах, дане відхилення незначне і в при розрахунках не враховується.

За характеристику міцності крихких матеріалів приймають найбільше напруження, що відповідає його розриву – границю міцностім ц на відміну від тимчасового опору руйнування в для пластичних матеріалів.

Таким чином, при статичному навантаженні пластичного матеріалу в якості небезпечного напруження необхідно приймати границю текучостіТ , а при тих же умовах для крихкого матеріалу – границю міцності м ц .

Як вже було відмічено, на підставі експериментально знайдених

367

граничних напружень із виразу (5.7) визначають допустимі напруження.

Для пластичних матеріалів допустиме напруження визначається як частина границі текучості:

		Т
	n

,

(

n

1,4...1,6

),

(5.17)

а для крихких – як частина границі міцності:

				( n 2,5...3,0 ).
		Т	,
		n

(5.18)

У порівнянні з розтягом, при стиску крихкі матеріали значно збільшують свої характеристики міцності, а пластичні – майже не змінюють.

§ 20.5. Розрахунки на міцність і жорсткість

при розтягу або стиску.

Виходячи із загальних умов міцності (5.6) і виразу (5.8) для напружень, що виникають в поперечних перерізах елемента конструкції,

можна отримати наступну розрахункову формулу при розтягу і стиску:

N A

,

(5.19)

де N – величина поздовжньої сили у поперечному перерізі, А – площа поперечного перерізу, – допустиме напруження розтягу (стиску) для матеріалу елемента конструкції.

Вираз (5.19) називається умовою міцності при розтягу і стиску і

формулюється так: розрахункове нормальне напруження в небезпечному перерізі не повинно перевищувати допустиме.

В залежності від форми використання умови міцності (5.19)

зустрічаються три види розрахунків елементів конструкцій на міцність.

368

1. Проектний розрахунок, при якому визначається розміри небезпечного поперечного перерізу:

А

Nmax

.

(5.20)

2. Перевірний розрахунок, при якому визначається максимальне робоче напруження і порівнюється із допустимим:

	max	N	.
		A

3. Визначення максимально допустимого навантаження:

(5.21)

N	max

A

.

(5.22)

Аналогічно умові міцності можна записати умову жорсткості при розтягу або стиску:

			l	N l		l ,	(5.23)
				E
					A
де	l	– розрахункова	абсолютна			деформація	елемента конструкції,
l – довжина елемента, E			– модуль пружності, l – допустима абсолютна

деформація матеріалу.

Умова жорсткості формулюється так: абсолютне видовження (або

скорочення) навантаженого елемента конструкції не повинно перевищувати допустимого значення.

Користуючись умовою жорсткості (5.23), можна провести ті самі три типи розрахунків, що і за умовою міцності – перевірний, проектний і допустимого (найбільшого) навантаження.

Слід відмітити, що стержневі конструкції розраховують переважно за умовою міцності, а умову жорсткості використовують як перевірний розрахунок.

369

Запитання для самоконтролю

1.Які внутрішні сили і напруження виникають при розтягу (стиску)

прямого бруса?

2.Як будуються епюри поздовжніх сил і нормальних напружень?

3.Напишіть закон Гука для розтягу (стиску).

4.Як визначити абсолютну деформацію розтягу (стиску) прямого бруса?

5.Які основні механічні характеристики можна визначити із діаграми розтягу (стиску) матеріалів?

6.Напишіть умову міцності і жорсткості при розтягу (стиску)?

7.Які основні види розрахунків дозволяє зробити умова міцності на розтяг (стиск)?

370

РОЗДІЛ 21

ЗСУВ І КРУЧЕННЯ

§ 21.1. Зсув

Зсувом називається такий вид деформації, при якому в поперечному перерізі бруса виникає лише один внутрішній силовий фактор – поперечна сила Q . Деформацію зсуву можна отримати при прикладенні до бруса двох близько розташованих і протилежно напрямлених рівних сил, які діють перпендикулярно до поздовжньої осі і викликають паралельне відносне зміщення його поперечних перерізів. Зсув спостерігається,

наприклад, при різанні ножицями металічних прутків або полос.

Розглянемо деформацію зсуву однієї частини бруса відносно другої,

під дією таких сил (рис. 5.10).

Поперечну силу Q , яка виникла від зовнішньої сили P , визначимо із

умов рівноваги однієї із частин бруса (наприклад, лівої) за допомогою методу перерізів:

n
Pky 0 ,	P Q 0 ,	Q P .
k 1

Рис. 5.10

371

Визначимо напруження в поперечних перерізах бруса. Дані напруження діють вздовж поперечного перерізу, тобто є дотичними напруженнями .

Припустимо, що напруження розподілені по перерізу рівномірно.

Тоді рівнодіючу Q внутрішніх сил можна знайти як:

Q

A

Звідки

dA dA A

		Q	.
		A

A

.

(5.24)

Слід зауважити, що наведений розрахунок дотичних напружень при зсуві лише наближений до реального, тому що лінії дії сил Р і Q точно не співпадають і являють собою в дійсності пару сил. Але момент цієї пари дуже малий і напруженням, що відповідає йому, можна знехтувати.

Таке припущення в багатьох випадках себе виправдовує і в інженерній практиці вираз (5.8) широко використовується для реальних конструкцій.

Рис. 5.11

372

Визначимо параметри, що характеризують деформацію при зсуві.

Як видно з рис. 5.11 деформація зсуву приводить до перекошування прямих кутів елементарного паралелепіпеда adcd бруса.

Тобто, на відміну від лінійних деформацій, пов’язаних із зміною лінійних розмірів елементів, при зсуві виникають кутові деформації, які викликають скривлення прямих кутів елементарних паралелепіпедів,

виділених із бруса.

Продемонструємо процес загального випадку деформації зсуву на виділеному в тілі елементарному елементі adcd , нижню грань якого dc

будемо вважати умовно нерухомою (рис. 5.12).

Такий елемент можна змістити, якщо вздовж його зовнішніх протилежних граней прикласти дві пари однакових за величиною і протилежних за напрямком елементарних зусиль (дотичних напружень ).

Рис. 5.12

								373
		При цьому	грань	ab	зміститься паралельно	на	величину
aa			називається		абсолютним зсувом.	Елемент		adcd
		bb s , яка
перекоситься і його прямі кути скривляться на величину							.	Кут
називається кутом зсуву або відносним зсувом.
		Величина відносного зсуву досить мала і визначається через
абсолютний зсув:

tg

s h

.

(5.25)

В межах пружності матеріалу між напруженнями і деформацією при зсуві спостерігається залежність, яка аналогічна залежності при деформації розтягу (стиску):

G .			(5.26)
Вираз (5.26) називається законом Гука при зсуві і формулюється так:
дотичне напруження прямо пропорційне відносному зсуву.
Коефіцієнт пропорційності	G	характеризує пружні	властивості

матеріалу при зсуві і називається модулем зсуву або модулем пружності другого роду. Модуль зсуву матеріалу знаходиться експериментальним

шляхом із діаграми зсуву

при скручуванні тонкостінної труби, коли

маємо випадок так званої деформації “чистого зсуву”, який буде розглядатись далі. Середнє значення G для ряду матеріалів, МПа: сталь –

0,8 10	5	, мідь технічна – 0,4	10	5	, деревина вздовж волокон – 0,0055			10	5	.
Між модулем пружності E і модулем зсуву G матеріалу існує
наступна залежність:
			G			E
							,	(5.27)
						2 ( 1 )

де – коефіцієнт поперечної деформації (коефіцієнт Пуасона).

374

§ 21.2. Розрахунки на зріз і зминання

Деформація зсуву, доведена до руйнування матеріалу, називається

зрізом (стосовно металічних елементів конструкцій) або сколюванням

(стосовно неметалічних).

При цьому умова міцності при зрізі або сколюванні:

Q A

,

(5.28)

де Q – поперечна сила, яка дорівнює зовнішньому навантаженню ( Q A – площа зрізу або сколювання, – допустиме напруження на зріз сколювання.

Для пластичних металів значення допустимих напружень на приймають в залежності від границі текучості Т в межах:

P ),

або

зріз

	зр	( 0,25...0,35 )	Т

.

Для деревини допустимі напруження на сколювання приймають в межах ск 0,5...1,4 МПа в залежності від сорту деревини і напрямку дії зовнішнього навантаження по відношенню до волокон.

Класичним прикладом металічних конструкцій, елементи, яких працюють на зріз є заклепочні (болтові) та зварні з’єднання.

В заклепочному з’єднанні із боку листів на заклепку передається зовнішні сили P , які можуть її зрізати по перерізу ab (рис. 5.13).

Рис. 5.13