385
переріза і мають максимальне значення на поверхні валу (рис. 5.20 б):
min 0 |
при 0 , |
|
max Gr |
при r . |
Таким чином, дотичні напруження |
|
в кожній точці поперечного |
перерізу валу напрямлені перпендикулярно до відповідного радіусу точки перерізу і по величині змінюються пропорційно радіусу від нульового значення в центрі перерізу до максимального на поверхні валу
З іншого боку, знаючи закон розподілення дотичних напружень,
можна визначити їх значення в залежності від внутрішнього моменту, що виникає в даному поперечному перерізі.
Якщо dA – елементарна площа, то елементарна внутрішня дотична сила, що діє на цій площі, дорівнює:
dP dA G dA.
що утворює елементарна сила
dP G 2 dA .
Сума таких елементарних моментів, взята по всій площі поперечного перерізу валу, дорівнює внутрішньому крутному моменту М к , що діє в цьому перерізі, і в даному конкретному випадку дорівнює зовнішньому моменту М :
Величина 2 dA J p , як відомо з розділу динаміки, називається
полярним моментом інерції. Тоді
М к
Звідки
останній вираз запишемо як:G J p .
Повний кут закручування в радіанах:
Добуток G J p називається жорсткістю валу при крученні.
Знайдемо залежність напруження від крутного моменту. Для цього у співвідношення (5.35) замість підставимо його значення із (5.38):
В точках, найбільше віддалених від центру перерізу валу (при напруження будуть максимальними:
max M к r ,
J p
або
max M к , (5.43)
Wp
де Wp J p / r – полярний момент опору поперечного перерізу валу.
387
Полярний момент опору перерізу є його геометричною характеристикою (як і полярний момент інерції).
Для суцільного перерізу валу діаметром d :
Для валу кільцевого перерізу із зовнішнім D і внутрішнім діаметрами:
§ 21.6. Умови міцності і жорсткості при крученні.
Міцність при крученні вала визначається умовою:
|
|
M |
к , |
|
|
|
к |
(5.46) |
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
де М к |
– максимальне значення крутного моменту в поперечних перерізах |
валу, |
яке визначається із епюри |
крутних моментів, |
к – допустиме |
дотичне напруження при крученні, яке для сталей дорівнює 30 50МПа .
Умова жорсткості валу при крученні має вигляд:
– допустимий кут закручування,
Аналогічно розтягу (стиску) при крученні за умовами (5.46) і (5.47)
можна виконати три види розрахунків: проектний, перевірний і на визначення допустимого навантаження.
Запитання для самоконтролю
1.Дайте визначення деформації зсуву. Як її можна отримати?
2.Які внутрішні сили і напруження виникають при деформації зсуву?
3.Сформулюйте закон Гука для зсуву.
4.Напишіть умову міцності на зріз.
5.Напишіть умову міцності на зминання.
6.Дайте визначення деформації кручення. Як її можна отримати?
7.Як визначити крутний момент при крученні валів?
8.Як будується епюра крутних моментів?
9.Які напруження виникають при крученні?
10.Що таке “чистий зсув”?
11.Напишіть умову міцності при крученні.
12.Напишіть умову жорсткості при крученні.
389
РОЗДІЛ 22
ЗГИН
§ 22.1. Види деформації згину
Чистим згином називається такий вид деформації, при якому в поперечному перерізі бруса виникає тільки один внутрішній силовий фактор – згинаючий момент М зг . Деформацію чистого згину можна отримати, наприклад, якщо до бруса в площинах, що проходять через його вісь, прикласти дві пари зовнішніх сил, які діють в протилежних напрямках і рівні за величиною (рис. 5.3 д).
В більшості практичних задач до бруса, крім зовнішніх моментів,
прикладені також поперечні сили, що приводить до виникнення в його поперечних перерізах відповідно двох внутрішніх силових факторів – згинаючого моменту М зг і поперечної сили Q . Такий згин називається
поперечним (рис. 5.3 е).
Але в любому випадку деформація згину бруса, пов’язана із скривленням його осі під дією пар сил або поперечних навантажень.
Бруси, що працюють на згин, називають балками.
За розташуванням прикладених навантажень на балку розрізняють
плоский згин, коли всі зовнішні поперечні сили і пари сил розміщені в одній площині (така площина називається силовою), причому ця площина збігається з однією із головних площин перерізу. Головними називають площини, які проходять через вісь балки і одну із головних центральних осей поперечного перерізу. Випадки плоского чистого і плоского поперечного згину консольної балки показані відповідно на рис. 5.21 а, б.
Якщо сили і пари сил діють в повздовжній площині, що проходить через вісь балки, але не співпадає ні з однією із головних площин, має
місце косий згин (рис. 5.21 в).
Рис. 5.21
В інженерній практиці існують багато елементів конструкцій, які працюють на згин і можна розглядати як балку. Це не тільки будівельна балка, але також вали та осі машин, гвинти, болти та зуби зубчастих коліс шатун кривошипно – шатунного механізму та інші. При цьому в багатьох випадках балки задовольняють таким умовам: переріз балки має хоча б одну вісь симетрії, всі зовнішні сили, враховуючи і реакції опор, лежать в площині симетрії. Тобто, маємо випадок плоского згину балки, який викликає практичний інтерес і буде розглянутий далі.
391
§ 22.2. Внутрішні силові фактори при плоскому згині балок
При плоскому згині прямолінійної балки, як вже відмічалось, в
загальному випадку виникають два внутрішніх силових фактори –
згинаючий момент |
М зг |
і поперечна |
сила |
Q . Для їх |
визначення |
застосовують метод перерізів. |
|
|
|
Умовно балку |
розрізають на дві |
частини поперечним |
перерізом. |
Відкидають одну із частин балки, замінюють її дію на іншу внутрішніми силовими факторами, прикладеними до площини перерізу, і розглядають рівновагу частини, що лишилася під дією зовнішніх (в тому числі і реакцій опор) і внутрішніх навантажень (рис. 5.22).
При цьому в розглянутому випадку плоского поперечного згину поперечна сила Q і згинаючий момент М зг , як і зовнішні навантаження,
розташовані у вертикальній площині, що проходить через вісь x балки.
Позначимо їх відповідно до напрямку дії через Qy , і М z .
Для отриманої системи
частини балки, із загальних використати тільки два, з яких
сил, прикладених для правої або лівої шести рівнянь рівноваги (5.1) можна і визначаються внутрішні силові фактори
В результаті поперчна сила Qy , яка виникає в поперечному перерізі,
чисельно буде дорівнювати алгебраїчній сумі проекцій на вісь y усіх зовнішніх сил, розміщених по один бік від перерізу. Знак поперечної сили
Qy визначається за таким правилом.
Поперечна сила в перерізі вважається додатною, якщо зовнішня сила намагається зсунути ліву від перерізу частину балки відносно правої вгору, або праву відносно лівої вниз, і від’ємною, коли навпаки (рис. 5.23 а).
Рис. 5.23
Згинаючий момент М z в перерізі чисельно буде дорівнювати алгебраїчній сумі моментів усіх зовнішніх сил і зовнішніх моментів пар сил, розташованих по один бік перерізу, відносно головної центральної осі z цього перерізу.
393
Знак згинаючого моменту М z визначають за наступним правилом.
Згинаючий момент вважається додатним, якщо зовнішня сила чи момент, що спричиняють згин, згинають балку так, що стиснуті волокна знаходяться вгорі балки, і від’ємним, якщо стиснуті нижні волокна балки
(рис. 5.23 б).
Слід нагадати, що величина згинаючого моменту М z в довільному поперечному перерізі від окремої зовнішньої сили визначається як добуток цієї сили на найкоротшу відстань від лінії дії сили до перерізу (плече сили):
М z P x ,
а від окремого зовнішнього моменту М – самому моменту:
М z М .
При цьому необхідно враховувати вищенаведене правило знаків.
§ 22.3. Побудова епюр поперечних сил і згинаючих моментів
Для відображення закономірностей зміни величин
осі балки і визначення їх максимальних і мінімальних значень будують епюри поперечних сил і згинаючих моментів. При цьому використовують метод перерізів і послідовно знаходять величини Qy і М z в кожному
характерному перерізі балки. До характерних відносяться ті перерізи, в
яких прикладені зосереджені сили або моменти, а також перерізи, де починається або закінчується розподілене навантаження.
В загальному випадку послідовність побудови епюр наступна:
1.Складають рівняння рівноваги балки і визначають її опорні реакції, які відносять до зовнішніх сил.
2.Характерними перерізами балку розбивають на окремі ділянки, в
змінюються за одним законом. Першу
ділянку вибирають або з правого, або з лівого боку балки, але так, щоб на відсічену частину балки діяла мінімальна кількість зовнішніх навантажень.
3. На кожній ділянці беруть довільний переріз на відстані |
x від |
початку побудови епюри і складають рівняння для поперечних сил |
Qy і |
Мz f ( x ) .
4.За отриманими виразами обчислюють ординати епюр для характерних перерізів (характерних точок).
5. Відповідно отриманим значенням
вибраному масштабі, відкладаючи від базової лінії, що паралельна балки, додатні величини вгору, а від’ємні – вниз.
6. Визначають перерізи, в яких діють максимальні |
Qy |
і |
М |
вираховують значення цих величин, якщо вони ще обчислені.
Розглянемо деякі характерні приклади побудови епюр поперечних сил і згинаючих моментів.
Розглянемо спочатку жорстко защіплені одним кінцем консольні балки. Характерною особливістю таких балок є те, що для них відпадає необхідність знаходити опорні реакції, якщо починати будувати епюри з вільного кінця балки.
|
Приклад |
|
|
Консольна балка навантажена зосередженою парою сил, з моментом |
М |
(рис. 5.24). |
|
|
Балка має одну ділянку |
АВ довжиною l . Будуємо епюри зправа |
наліво від точки В , розглядаючи рівновагу правої частини балки.
