10 Клас

1. Розв’яжіть нерівність (х²-х-12) ≤ 0.

2. При якому значенні а сума квадратів коренів рівняння

х²–ах+а–1=0 буде найменшою?

3. Доведіть, що не існує чотирьох різних додатних чисел a, b, c, d таких, що a + b = c + d та a³ + b³ = c³ +d³ .

4. Доведіть, що сума медіан трикутника менше периметра, але більше півпериметра трикутника.

5. В бібліотеці не більше 5000 книжок. Якщо їх зв’язувати по 6, по 7, по 5, то залишиться одна книга, якщо зв’язувати по 11, то зайвих книжок не буде. Скільки книжок в бібліотеці?

11 Клас

1. Розв’яжіть нерівність (х²-х-12) ≤ 0.

2. Розв’яжіть рівняння х⁴ + 1 = 2х² sin y.

3. Чому дорівнює сума дійсних коренів рівняння f(x)=0, якщо всі дійсні значення х задовольняють рівність f(2х+1)= 4х²+14х?

4. Доведіть, що на координатній площині не існує правильного трикутника, всі вершини якого мають цілі координати.

5. Дно прямокутної коробки викладено плитками розміром 2×2 та 1×4. Плитки висипали з коробки і загубили одну плитку 2×2. Замість неї дістали плитку розміром 1×4. Доведіть, що викласти тепер дно коробки не вдасться.

	Перевір себе!	ІІ етап Всеукраїнської олімпіади з математики ( з відповідями )

6 клас

1. Розрізати фігуру, що зображена на малюнку

на 8 однакових частин.

2. У парку росли липи та клени. Кленів серед них було 60%. Весною в парку посадили липи, після чого кленів стало 20%. А восени посадили клени і кленів стало знову 60%. У скільки разів збільшилась кількість дерев у парку за рік?

3. Розшифрувати рівність .

4. Знайти два числа, якщо їх сума дорівнює 432, а найбільший спільний дільник дорівнює 36.

5. Як, маючи дві посудини місткістю 9л і 4л, принести з річки 6л води?

7 клас

1. У підводного царя служать осміноги у яких шість, сім, або вісім ніг. Ті, що мають 7 ніг, завжди брешуть, а ті, що мають 6 або 8 ніг завжди говорять правду. Зустрілися чотири осмінога. Синій сказав: «Разом у нас 28 ніг», зелений: «Разом у нас 27 ніг», жовтий: «Разом у нас 26 ніг», красний: «Разом у нас 25 ніг». У кого скільки ніг?

2. Цифру 9, із якої починається трицифрове число, написали в кінці числа. Нове число на 216 менше, ніж початкове. Яке було початкове число?

3. Двоє по черзі довільним чином фарбують одну або дві клітинки шахової дошки у червоний колір. Виграє той, хто зафарбує останню клітинку. Хто з гравців має виграшну стратегію?

4. Довести, що ділиться на 5.

Відновити запис множення			*	2	*
				*	7
			*	*	*
	*	*	*	*
	*	*	*	*	8

8 клас

1. На гіпотенузі АВ прямокутного трикутника АВС вибрана точка К, для якої СК = ВС. Відрізок СК перетинає бісектрису АМ в її середині. Знайти кути трикутника АВС.

2. Довести, що вираз набуває додатних значень при всіх значенняхх.

3. Коли автомобіль проїхав частину шляху від А до В, виявилось, що він проїхав стільки кілометрів, скільки мінут йому прийдеться їхати частину шляху, що залишилась. Але, коли він проїхав і цю частину шляху, то виявилося, що знову він проїхав стільки кілометрів, скільки хвилин він витратив на першу частину шляху. Скільки кілометрів за годину проїжджав автомобіль?

4. Побудувати графік функції .

5. Довести, що сума ділиться на 120.

9 клас

1. Нехай - довжини сторін трикутника, айого площа. Відомо, що. Довести, що.

2. Основи рівнобічної трапеції 3см і 12см, середина більшої основи з’єднана з кінцями меншої основи відрізками, що перетинають діагоналі трапеції в двох точках. Знайти відстань між цими точками.

3. Довести, що , якщо.

4. Побудувати графік функції .

5. При яких значеннях а рівняння має рівно три корені?

10 клас

1. Два кола перетинаються в точках А і В. В точці А до кіл проведені дві дотичні, які перетинають кола в точках M i N. Знайти суму кутів

2. Довести нерівність  1.

3. Розв’язати рівняння

4. Побудувати графік функції

5. Знайти найменше значення виразу якщо

11 клас

1. Середина діагоналі АС чотирикутника , вписаного в коло, лежить на діагоналі. Довести, що.

2. Розв’язати рівняння .

3. Числа, що виражають довжини сторін прямокутного трикутника, утворюють арифметичну прогресію. Менший катет цього трикутника дорівнює а. Знайти площу трикутника.

4. Побудувати графік функції

5. Розв’язати систему рівнянь

Вказівки до розв’язків

6 клас

1. Розрізати фігуру можна

декількома способами, наприклад:

2. До початку посадок липи складали , а клени -всіх дерев у парку. До літа кількість кленів не змінилась, однак вони стали складативсіх дерев. Значить кількість всіх дерев у парку збільшилась втричі. При цьому липи складаливсіх дерев. До зими не змінилась кількість лип, але вони стали складатиусіх дерев. Значить кількість дерев збільшилася ще вдвоє. Таким чином, за рік кількість дерев збільшилося в 6 разів.

Відповідь: В 6 разів.

3. Запишемо рівність у вигляді: , тоді, ми бачимо, що.

Відповідь: .

4. 4. Оскільки найбільший спільний дільник чисел дорівнює 36, то їх можна записати: ,, деі- взаємно прості числа.. Можливі париі: (1;11), (5;7), тодіабо,.

Відповідь: або,.

5. 5. Спочатку наллємо воду у дев’ятилітрову посудину. Потім двічі віділлємо воду по 4л. Тоді у дев’ятилітровій посудині залишиться 1л води, який можна перелити у порожню чотирилітрову посудину. Далі знову наллємо воду у дев’ятилітрову посудину і віділлємо з неї воду у чотирилітрову так, щоб заповнити її повністю. Тоді у дев’ятилітровій посудині залишиться 6л.

7 клас

1. Оскільки всі осміноги суперечать друг другу, то можливі два варіанти: або всі брешуть, або рівно один говорить правду, а інші – брешуть. Якщо всі осміноги брешуть, то у кожного з них по 7 ніг, а разом – 28 ніг, тобто синій сказав правду – протиріччя. Якщо три осміноги брешуть, а один сказав правду, то у тих, що збрехали по 7 ніг, а того, що сказав правду – або 6, або 8 ніг. Тому разом у них або 27 ніг, або 29, тобто правду сказав зелений осміног. Таким чином, у зеленого осмінога 6 ніг, а у інших – по 7 ніг.

Відповідь: У зеленого – 6 ніг, а у інших – по 7 ніг.

2. , .

Відповідь: 975.

3. Виграшну стратегію має другий гравець. Для цього йому слід зафарбувати одну клітинку, коли перший гравець зафарбував дві клітинки і дві клітинки, якщо перший гравець зафарбував одну клітинку.

Відповідь: Виграшну стратегію має другий гравець.

4. Число - закінчується так же, як число, тобто цифрою 8, а число- закінчується так, як число, тобто цифрою 7. Їх сума буде закінчуватись цифрою 5.

Відповідь: 5.

5. Відповідь:

8 клас

1. Позначимо точку перетину відрізківіза(див. мал.). Замітимо, що- медіана, що проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника., а. Тоді. Знайдемо.- рівнобічний, то цей кут дорівнює зовнішньому кутутрикутника, тобто. З того, щомаємо:.,.

Відповідь: .

2. 0 при довільних значеннях .

3. .

Відповідь: 60 км/год.

4. Якщо  -1, то у = -х,

Якщо -1  х  0, то у = х + 2,

Якщо х  0, то у = х. Зауважимо, що х  0.

5. Враховуючи, що , маємо:Кожний додаток ділиться на 120, значить сума ділиться на 120.

9 клас

1. За теоремою косинусів . За умовою задачі, тому, крім того, відомо, що. Порівнюючи ці два вирази для площі, дістанемо,.

2. ,   - за симетрією. .. .

;

Відповідь: 2см.

3. Використовуючи нерівність Коші, маємо: отримаємо:,,,,.

4. .

5. Маємографіком цієї сукупності є об’єднання параболи та «кута» (див. малюнок). Очевидно, лише прямаперетинає отримане об’єднання в трьох точках.

Відповідь: .