Определенный интеграл с переменным верхним пределом

	Неопределенный
		интеграл
			x
a1	a	a	x
	2	3

Определенный интеграл можно вычислить через посредство неопределенного. Для нашего частного случая этот способ не нужен – проще вычислить площадь прямоугольника.

Но для общего случая он потребуется, а показать его механизм удобнее на прозрачном примере.

Задача интегрирования – определять площадь фигур под графиками сложной формы. А горизонтальную прямую именно потому и выбрали для начала, что площадь прямоугольника умеют определять все.

Выберем для нашей первообразной некую точку отсчета x0 (например, x0=0), не совпадающую ни с одной границей.

В таком совпадении не было бы ничего противозаконного, но лучше не

создавать впечатление, что оно для чего-нибудь нужно.

Построив ее график, отметим на нем точки для заданных нижнего (левого) и верхнего (правого) пределов. Проведем через них горизонтальные засечки, и покажем расстояние между ними с помощью вертикального отрезка. В каждой из этих двух точек график изображает площадь, отсчитанную от x0 до

соответствующего предела. А значит, вертикальный отрезок между засечками равен искомой площади фигуры. Численно – это разность значений первообразной на границах интервала. Отсюда сразу получаем формулу для

вычисления определенного интеграла:

S a, b S x0 , b S x0 , a или проще:
	S a, b S b S a

Это и есть знаменитая формула Ньютона - Лейбница,

выведенная пока только для линейных функций.

Чрезвычайно важно понять: все, что на верхнем графике изображается площадями, на нижнем графике изображается ординатами или их разностями. И обратно, все, что на нижнем графике изображено отрезками ординат, на верхнем изображается площадями.

	Формула Ньютона-	Геометрический
		смысл теоремы
	Лейбница
		Ньютона-Лейбница

x

Уместное отступление. По свидетельству

Л.Д.Кудрявцева, А.Я.Хинчин, изложив

студентам теорему Ньютона-Лейбница, отпускал их со второго часа занятий,

чтобы столь значимый материал не заслонялся чем-то менее существенным.

Я здесь вижу не только педагогический такт, но и

неудовлетворенность выдающегося методиста формой изложения. Я тоже ощущал ее еще со студенческих лет, относя на счет собственного непонимания. Но знакомство с эпизодом о Хинчине побудило через много лет додумать до конца, и истина открылась в следующем виде.

Здесь налицо противоречие между научной логикой и дидактической задачей.

Главные открытия Ньютона и Лейбница – понятия дифференциала, предела и интегральной суммы – совершенно не нужны для понимания смысла их формулы, более того – именно они отвлекают мысль в сторону от понимания сути.

В самом деле: как мы только что видели,

для простейшего случая формула Н-Л выводится элементарно, с наглядной демонстрацией на прямолинейных первообразных.

Главное в том, что при подстановке обоих пределов интегрирования используют одну и ту же первообразную, а переход к любой другой означает вертикальное перемещение треугольника, при котором его катет (значение интеграла) остается самим собой.

Обычно об этом говорят вскользь или даже не говорят вообще – ведь оно само собой разумеется. Но именно такое его "проглатывание" и затрудняет начинающих!

Понятия предела, дифференциала,

интегральной суммы нужны не для вывода формулы Ньютона-Лейбница, а для ее обобщения на нелинейные зависимости. Для простейшего частного случая, не осложненного этими понятиями, геометрический смысл теоремы прост и прозрачен.

Переход же к общему случаю составляет предмет совершенно другой задачи, решаемой иными средствами.

Разделение этих двух задач резко облегчает обе.

Итак, мы применили два средства для успешности формирования активного пятна

по основам математического анализа:

1)выделение в отдельный раздел начал анализа для линейных функций и введение основных понятий на базе простейших примеров,

2)оптимизация способа введения интегрального исчисления (использована в книге Я.Б. Зельдовича «Высшая математика для начинающих»).