Высшая Математика / Справочники / Справ_2013_08

Функции и их графики

Обратные тригонометрические функции

Функция арксинус: y = arcsin x

Функция арккосинус: y = arccos x

y

π

y

π

2

-1

0

1 x

π

2

-

π

1

x

2

-1

0

1)

D(y)=[−1;1]

1)

D(y)=[−1;1]

é

p

pù

2)

E(y)=[0;π]

2)

E( y ) = ê-

;

ú

2

2

ë

û

3)

arccos(−x ) = π − arccosx

3)

arcsin(−x ) = − arcsinx

4)

lim

arccos x = 0

4)

lim

arcsinx =

π

x®1-0

2

x®1-0

lim

arccos x = π

lim

arcsin x = -

π

x®-1+0

x®-1+0

2

Функция арктангенс: y = arctg x

Функция арккотангенс: y = arcctg x

y

π

y

π

2

0

π

x

-

x

0

2

1)

D(y)=R

p

p ö

1)

D(y)=R

æ

2)

E(y)=(0 ; π)

2)

E( y ) =ç-

;

÷

2

è

2 ø

3)

arctg(−x ) = − arctgx

3)

arcctg(−x ) = π − arcctgx

4)

lim

arctg x =

p

,

4)

lim arcctgx = 0 ,

x®+¥

2

x®+¥

lim

arcctg x = p

p

lim arctgx = -

x®-¥

x®-¥

2

41

Функции и их графики

Преобразование графиков

1.График функции y =k·f( x), где k >0 , получается из графика функции y =f ( x ) «растяжением» вдоль оси Oу (от оси Oх) в k раз при k >1

или «сжатием» вдоль оси Oу (к оси Oх) в 1 раз, если 0 <k <1 . k

2.График функции y=f( wx ), где w>0 , получается из графика функции y =f ( x ) «сжатием» вдоль оси Oх (к оси Oу) при w>1 или «растяжением» вдоль оси Oх (от оси Oу), если 0 < w< 1 .

3.	График функции y=f(x) +b					4.	График функции y =f(x +c)
	получается смещением						получается смещением графика
	графика функции y =f ( x )						функции y =f ( x ) вдоль оси Oх
	вдоль оси Oy на b единиц.						на – c единиц.
5.	График функции y=-f(x)					6.	График функции y=f(-x)
	получается симметричным						получается симметричным
	(зеркальным) отображением					(зеркальным) отображением
	графика функции y =f ( x )					графика функции y =f ( x )
	относительно оси Ох.					относительно оси Оy.
7.	y =		f(x)	ì f(x),	f(x) ³ 0	8.	y = f(		x	ì f(x),	x ³ 0
				= í						) = í
				î- f(x),	f(x)< 0					î f( -x),	x < 0

42

Пределы

Предел функции

Если существуют
lim f1(x)= A1 и lim						f2 (x)= A2 ,
x®a				x®a
то существуют:
1)	lim (f1 (x)± f2 (x))= A1 ± A2 ;
	x®a
2)	lim (f1 (x)× f			2 (x))= A1 × A2
	x®a
				ß		lim f (x);
	lim (c × f (x))= c ×
	x®a	f1(x)				x®a
3)	lim		=	A1	,	A ¹ 0.
	x®a	f2 (x )		A2		2

Определение. Функция f (x)

называется непрерывной в т. x0 , если:

lim f (x)= f (x0 ).

x® x0

Все элементарные функции непрерывны во всех точках их областей определения.

Если f (x) – элементарная функция,

которая определена в т. x0 , то

lim f (x)= f (x0 ).

x® x0

Бесконечно малые (б.м.) и бесконечно большие (б.б.) функции

Определение. Функция a(x) называется б.м. при x ® a , если lim a(x)= 0

x®a

*tg x – б.м. при x ® 0

Определение. Функция A(x) называется б.б. при x ® a , если lim A(x)= ¥

x®a

*	tg x – б.б. при x ®	p
	2
*	Pn (x)= a0 xn + a1xn-1 +K+ an-1x + an – б.б. при

Теорема. Если a(x) отличная от нуля б.м. при x ® a , то

при x ® a (справедливо и обратное).

x ® ¥

1= A(x )– б.б.

α(x )

Неопределённости:

	0			¥						¥				0			0
			,					, ¥	- ¥	, 1 , 0		× ¥, 0			,	¥
		0			¥
				Первый замечательный предел
	sin x			= é		0		ù = 1					sina(x)						é0		ù	= 1
lim												lim							= ê		ú
															a(x)					0
x®0		x		ë0				û				(x ®a)							ë		û
				ê				ú				a( x )®0
										43

Пределы

Второй замечательный предел

		æ		1	öx	¥
	lim	ç1	+		÷	= [1	=] e
				x
	x®¥	è			ø

1

lim (1+ a(x ))a (x ) = [1¥ ]= e

a( x )®0

(x ®a )

Эквивалентные б.м.

Пусть a(x) и		b(x) – б.м. при x ® a .
Определение.		Если lim	a(x)		= 1 , то α(x)~ β(x) при x ® a .
		x®a b(x )
Если a(x)® 0 ( x ® a ) , то:
1.	sin α(x)~ α(x)				3. tg α(x)~ α(x)
2.	arcsin α(x)~ α(x)				4. arctg α(x)~ α(x)

5.ln(1 + α(x))~ α(x)

6.eα(x ) - 1 ~ α(x)

7.aα(x ) - 1 ~ α(x)× ln a

Эквивалентные б.б.

Пусть A(x) и B(x)

– б.б. при x ® a .

Определение. Если

lim

A(x)

= 1 , то A(x)~ B(x)

при x ® a .

x®a B(x )

Если x ® ¥ , то:

P

(x)= a xn + a xn-1 +K+ a

x + a ~ a xn

n

0

1

n-1

n

0

Q

(x)= b xm + b xm-1 +K+ b

x + b ~ b xm

m

0

1

m-1

m

0

ß

é a

0

, n

= m

(x)

ê

Pn

lim

é¥ù

lim

a0 x n

ê b0

= ê

ú =

(x )

=

ê

¥, n > m

x®¥ Q

ë

¥û

x®¥

b x

m

m

ê

0

0, n < m

ê

ë

44

		Производная
		Понятие производной
	Определение		Геометрический смысл производной
f ¢( x0 ) =	lim	Df ( x	0 )			y			(s)
					f ( x0 + Dх )				M
		D x							(k)
	D x®0
	(по любому закону)
					f(х0)			M0	N
Уравнение касательной (k):							a	b
						0		х0	х=х0+Dх x
y = f (x0) + f ¢(x0)(x − x0)						f ¢(x0)=tg a, a ¹ 90°
	Физический смысл производной
Если функция y= f (x) описывает какой-либо физический процесс, то ее
производная f ¢(x ) есть скорость протекания этого процесса (скорость
изменения функции y= f (x)).
1. Если S = S(t) есть закон неравномерного прямолинейного движения
некоторой материальной точки, то S't				=	lim		DS( t ) = V ( t ) есть
					Dt ® 0		Dt
скорость движения этой точки в момент времени t (механический смысл).
S't' = Vt' = a( t ) есть ускорение движения этой точки в момент времени t.
2. Если q = q(t) есть количество заряда, проходящего через поперечное
сечение провода за время t, то скорость изменения этого количества заряда
есть сила тока в момент времени t:						Dq( t )
	i( t ) = q' ( t ) =				lim
				Dt ® 0			Dt
3. Если m = m(x) выражает закон распределения массы вдоль некоторого
тонкого неоднородного прямолинейного стержня, заключенного между
точками О(0;0) и М(х;0), то скорость изменения массы этого стержня есть
линейная плотность :						Dm( x )
	r = m' ( x ) =			lim
			D x ® 0			D x
			45

Производная

Основные правила дифференцирования

Если функции u = u( x ) и v = v( x ) дифференцируемы в некоторой точке x,

то в этой точке:

1. (u ± v )¢ = u¢ ± v ¢ ;

¢

¢

×v + u×v

¢

¢

¢

2. (u×v) = u

(c ×u) = c ×u

;

æ c ö¢

æ u

ö¢

u¢×v -v¢×u

æ u ö¢

u¢

c ×v¢

3.

ç

÷ =

, v ¹ 0

ç

÷

=

,

ç ÷ = -

v

.

v2

c

è v

ø

è

c ø

è v ø

2

Основные формулы дифференцирования

1. (const )¢ = 0

2. (x )¢ = 1

2*. (kx + b )¢ = k

x

x

x

3. (x

a

)¢ = a

a

-

( x )

¢

1

æ 1

ö

1

× x

1

=

,

ç

÷ ¢

= -

x

x2

x

x

2

è x ø x

4. (a x )¢ = a x ln a

(e x )¢ = e x

x

x

5. (log a x )¢ =

1

(ln x )¢

=

1

xln a

x

x

x

¢

= cos x

10. (arcsin x)¢

=

1

6. (sin x)x

1 - x 2

7. (cosx)¢ = -sinx

x

11. (arccos x)¢

1

x

= -

1

8. (tg x )¢ =

x

1 - x 2

cos

2

x

x

12. (arctg x)¢ =

1

9. (сtg x)¢ = -

1

1 + x 2

x

sin2 x

x

13. (arcctg x)¢ = -

1

1 + x 2

x

Производная сложной функции

y = f (u(x))

Теорема. Если функция u=u(x) имеет производную в т. xo, а функция y = f(u) имеет производную в соответствующей точке uo=u(xo), то сложная функция y = f (u(x)) имеет производную в т. xo, причем в т. xo: y¢x = fu¢× u¢x .

46

Производная

Приложение производной к раскрытию неопределённостей

Правило Лопиталя.

Предел отношения двух б.м. или двух б.б. функций равен пределу отношения их производных, если последний существует.

lim

f

(x)

=

é0ù

= lim

f ¢(x )

ê

ú

x®a

j

(x )

ë0

û

x®a j¢(x )

lim

f (x)

=

é¥ù

= lim

f ¢(x )

ê

ú

j(x )

¢(x )

x®a

ë¥û

x®a j

Þ

ex -1

é0 ù

lim

ex

1

.

lim

= ê

ú

=

=

sin 3x

0

3 sin 3x

3

x®+0

ë

û

x®+0

1

× cos x

ln sin x

é¥ù

cos x × x

Þ

lim

=

=

lim

sin x

=

lim

=

ê

ú

ln x

1

sin x

x®+0

ë¥

û

x®+0

x®+0

x

= lim

cos x ×

lim

x

= 1×1 = 1.

sin x

x®+0

x®+0

ln x

é¥ù

1

Þ

lim

x ×ln x = [0 × ¥]= lim

= lim

x

= ê

ú

=

1

¥

3

x®+0

x®+0

ë

û

x®+0

1

× x

-

x

-

2

2

1

= -2 ×

lim

x

2

= 0 .

x®+0

Þ

lim

(sin x)x = [00 ]=

lim

eln(sin x )

x

lim

x×ln sin x

]=

= e x®+0

= e[0×¥

x®+0

x®+0

1

×cos x

lim

ln sin x

é¥ ù

lim

sin x

x×x×cos x

1

x®+0

1

x®+0

-

- lim

= e

ê

ú

x 2

sin x

= e0 = 1 .

x

= eë¥

û = e

= e x®+0

47

Производная

Приложение производной к исследованию функций

Монотонность

Достаточное условие возрастания			Достаточное условие убывания
y			y
				90o < a < 180o
				tga < 0
	0o < a < 90o			a
	tga > 0		a	x
a				xo b
a	xo b	x	Если в каждой точке интервала
Если в каждой точке интервала ( a , b )			( a , b ) производная f ¢(x) < 0, то
			функция f ( x ) монотонно
производная f ¢(x) > 0, то функция f ( x )
			убывает на этом интервале.
монотонно возрастает на этом интервале.

Если функция f непрерывна на каком-либо конце интервала( a , b ) , то его можно присоединить к промежутку монотонности.

Экстремумы

Внутренние точки области определения

нулю или не существует, называют

(«подозрительными» на экстремум).

функции f, в которых производная равна критическими точками этой функции

	Первое достаточное условие	Второе достаточное условие
	Если при переходе через критическую точку	Если в критической точке х0
	х0 слева направо производная f ¢(x) меняет	f ¢(x0 )= 0 и f ¢¢( x 0)<0 , то х0
	знак с «+» на «-», то х0 – точка максимума, а	есть точка максимума; если же
	если с «-» на «+», то х0 – точка минимума	f ¢¢( x 0)>0 , т о x 0 есть точка
	функции f.
		минимума.

48

Производная

Алгоритм исследования функции на монотонность

иэкстремумы

1.Найти область определения функции f(x) и интервалы, на которых функция непрерывна.

2.Найти производную f ¢(x).

3.Найти критические точки.

4.В каждом из интервалов, на которые область определения разбивается критическими точками, а также граничными точками области определения, определить знак производной и характер изменения функции с помощью достаточных признаков монотонности.

5.В случае исследования на экстремум, определить характер экстремума в

критической точке, а затем найти ymax = f (xmax ), ymin = f (xmin ).

Непрерывная на [a; b] функция y = f (x) достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции y = f (x) на отрезке [a; b]

1.Найти производную y¢ = f ¢(x).

2.Найти критические точки функции y = f (x)на интервале (a; b).

3.Вычислить значения функции y = f (x) в этих критических точках и на

концах [a; b].

4. Среди полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Если функция y = f (x) в интервале (a;b) имеет лишь одну критическую

точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

ðНайти наибольшее и наименьшее значения функции

y = 100 - x 2 на [- 6 ;8]

x

Решение: 1) Находим: y¢ = -

100 - x 2

2)y¢ = 0 Þ x = 0 − критическая точка 1го рода

3)Находим: y( 0 ) = 10 , y( 6 ) = 8 , y( 8 ) = 6

Следовательно, max y( x ) = y( 0 ) = 10		,	min y( x ) = y( 8 ) = 6	.
[-6 ;8	]		[-6 ;8]
	49

Производная

Выпуклость

Определение. График дифференцируемой функции y = f (x) называется

выпуклым вверх (вниз) на интервале (a; b), если он расположен ниже

(выше) любой касательной, проведенной к этому графику в (a; b).

y	(k )	y	(k )

y = f (x )

y = f (x )

	a	x	a	x
0		b		b
			0

		Точка перегиба		Достаточное условие выпуклости
	y			Если во всех точках интервала (a; b)
		y = f (x )
	f (x0 )			f ¢¢(x0 )< 0 , то в этом интервале
				график функции y = f (x)
				выпуклый вверх.
		x
	0	x0		Если же f ¢¢(x0 )> 0 в интервале
Точка графика непрерывной
				(a; b), то график функции y = f (x)
функции y = f (x), разделяющая
				выпуклый вниз (вогнутый) в этом
его выпуклую и вогнутую части,
				интервале.
называется точкой перегиба.
ð	Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой y = x 3 - 6 x 2 + 5 x + 12
Решение: 1) D(y)= R
2)	Находим: y¢ = 3 x 2 - 12 x + 5 ,			y¢¢ = 6 x - 12
y¢¢ = 0 Þ 6 x - 12 = 0 Þ x = 2 − критическая точка 2го рода
3)	y¢¢ < 0 в интервале ( -¥;2 ) ,		y¢¢ > 0 в интервале ( 2;+¥ )

Следовательно, в ( -¥;2 ) кривая выпуклая, в ( 2;+¥ ) кривая вогнутая, ( 2;6 ) − точка перегиба.

50