Высшая Математика / Справочники / Справ_2013_08
.pdfПроизводная
Асимптоты
Вертикальные асимптоты
|
Прямая x = a называется |
|
|
|
Вертикальные асимптоты могут |
|||||||||||||||||
|
вертикальной асимптотой |
|
|
|
проходить лишь только через |
|||||||||||||||||
|
графика функции y = f (x), если |
|
точки разрыва графика функции |
|||||||||||||||||||
|
имеет место хотя бы одно из |
|
|
|
|
y = f (x) или через граничные |
||||||||||||||||
|
равенств |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки области определения. |
|||||||||||
|
|
lim f (x)= ±¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x®a +0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x®a -0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Невертикальные асимптоты |
|
|
|
||||||||||||||
|
Невертикальная асимптота – |
|
|
|
|
Достаточное условие |
||||||||||||||||
|
|
существования невертикальной |
||||||||||||||||||||
|
это такая прямая y = kx + b , что |
|
||||||||||||||||||||
|
расстояние от т. |
M (x, f (x)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
асимптоты |
||||||||||
|
|
Если существуют конечные пределы |
||||||||||||||||||||
|
графика функции y = f (x) до |
|
||||||||||||||||||||
|
|
k = |
lim |
|
|
|
f (x) |
и |
||||||||||||||
|
этой прямой стремится к 0, если |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x ® +¥ (или x ® -¥ ). |
|
|
|
|
|
x®+¥ |
|
x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( или x®-¥ ) |
|
|
|
|||||||||||||
|
При k ¹ 0 асимптоту называют |
|
b = |
lim |
|
|
( f (x)- kx), то прямая |
|||||||||||||||
|
наклонной; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®+¥ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
при k = 0 асимптоту y = b |
|
|
|
|
|
( или x®-¥ ) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
y = kx + b есть асимптота графика |
||||||||||||||||||||
|
называют горизонтальной. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
функции y = f (x) при x ® +¥ |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(или x ® -¥ ). |
|
|
|
|||||||||
ð |
Найти асимптоты линии |
f ( x ) = |
|
|
2 x - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
( x - 1 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Решение: 1) D( f ) = ( -¥;1 ) È( 1;+¥ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2) |
lim f ( x ) = lim |
2 x - 1 |
= +¥ Þ x = 1 − вертикальная асимптота |
|||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x®1 |
x®1 ( x - 1 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3) находим k = |
|
lim |
f ( x ) |
= |
lim |
|
|
2 x - 1 |
|
|
= 0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
( x®-¥ ) |
x |
( x®-¥ ) x( x - 1 ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x |
®+¥ |
|
|
|
x®+¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
b = |
lim |
( f ( x ) - kx ) = |
|
|
lim |
|
2 x - 1 |
= 0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x ®+¥ |
|
|
|
|
|
|
|
x ®+¥ |
( x |
- 1 ) |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
( x ®-¥ ) |
|
|
|
( x ®-¥ ) |
|
|
|
y = 0 − горизонтальная асимптота при x ® ±¥
51
Таблица интегралов
Таблица интегралов
1. |
ò dx = x + c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
ò sin xdx = - cos x + c |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. ò x |
a |
dx |
= |
|
|
xa +1 |
+ c ,a ¹ -1 |
|
|
6. |
ò cos xdx = sin x + c |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a + 1 |
|
|
7. |
ò |
|
|
dx |
|
= tgx+c |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
2.1 |
ò |
|
|
= 2 |
|
|
|
|
x + c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
ò |
|
|
|
|
= -ctgx + c |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2.2 |
ò |
|
= - |
|
+ c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
ò tgxdx = - ln |
|
|
cos x |
|
|
+ c |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
ò a |
x |
dx |
= |
|
|
|
|
|
+ c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
ò ctgxdx = ln |
|
sin x |
|
+ c |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
ò |
|
dx |
|
= ln |
|
tg |
x |
|
+ c |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3.1 ò e x dx = e x + c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. ò |
|
dx |
= ln |
|
x |
|
+ c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ x |
|
|
|
|
|
p |
ö |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
= ln |
tgç |
|
+ |
|
÷ |
+ c |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è 2 |
|
|
|
|
|
4 ø |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
13. ò |
|
|
dx |
|
|
|
|
= |
|
1 |
×arctg |
x |
+ c |
|
|
17. ò shxdx = chx + c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a 2 + x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14. ò |
|
|
dx |
|
|
|
= |
|
|
1 |
|
× ln |
|
x - a |
|
+ c |
|
|
18. ò chxdx = shx + c |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 2 - a 2 |
|
|
2a |
|
x + a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15. ò |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= arcsin x + c |
|
|
19. ò |
|
|
dx |
|
|
|
|
= thx + c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
2 |
- x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
ch |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
20. ò |
|
|
|
|
|
|
= -cthx + c |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
16. ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln x + |
|
x |
|
+ m |
+ c |
|
|
sh2 x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x 2 + m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
21. |
|
ò |
|
|
a 2 + x 2 dx = x × |
a 2 + x 2 |
+ a 2 |
× ln x + |
|
|
a 2 + x 2 |
+ c |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
22. |
|
|
ò |
|
|
|
a 2 - x 2 dx = x × |
a 2 - x 2 |
+ a 2 |
× arcsin x + c |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
Формула Ньютона-Лейбница: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò f ( x )dx = F( x ) |
= F(b )-F( a ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (x)= f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52
Векторы
Прямоугольная декартовая система координат
Прямоугольная декартовая система координат на плоскости
(в пространстве) – это упорядоченная пара (тройка) взаимно перпендикулярных осей с общим началом отсчета – точкой О.
|
|
|
|
Правая система координат |
|
||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
y |
|
|
|
M z |
M |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M y |
|
|
|
|
|
|
0 |
y |
0 |
|
x |
M x |
|
|||
|
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Левая система координат |
|
||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
M |
M x |
|
|
||
|
|
M y |
|
y |
0 |
x |
|
|
|
|
y |
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Координаты точки |
|
||
|
|
– направленный отрезок с началом в точке М1 и концом в точке М2. |
|||||
|
M1 M2 |
||||||
Величиной направленного отрезка |
|
некоторой оси u |
|
||||
M1 M2 |
|
||||||
(обозначение: вел. |
|
или M1 M 2 ) называют его длину, взятую со знаком |
|||||
M1 M2 |
«плюс», если направление отрезка совпадает с направлением оси или его длину, взятую со знаком «минус», если направление отрезка противоположно направлению оси.
Координатами произвольной точки М в заданной системе координат называют
упорядоченную тройку чисел (x , y , z), где х = вел. OM x (абсцисса т. М),
у = вел. OM y (ордината т. М),
z = вел. OM z (аппликата т. М),
M x , M y и M z – ортогональные проекции т. М соответственно на оси Ох, Оу, Оz.
53
|
|
|
Векторы |
|
|
|
|
|
Расстояние между двумя точками |
|
|
d = A1 A2 = x2 - x1 , если точки A1 (x1 ) и A2 (x2 ) лежат на координатной |
|||||
оси х. |
|
|
|
|
|
d = M1M 2 |
= |
(x2 - x1 )2 + y(2 - y1 )2 , если точки M1(x1 , y1 ) и M2 (x2 , y2 ) |
|||
лежат на координатной плоскости xOy . |
|
|
|||
d = M1M2 = (x2 - x1 )2 + y(2 - y1 )2 + z(2 - z1 )2 |
|
|
|||
для точек M1(x1 , y1 , z1 ) и M 2 (x2 , y2 ,z2 ). |
|
|
|||
|
|
Деление отрезка в данном отношении |
|
|
|
y |
|
|
Рассмотрим три точки M 1 (x1 , y1 ), |
M 2 (x2 , y2 ) и |
|
|
|
M (x, y), которые произвольно расположены на одной |
|||
|
M 2 |
||||
|
прямой. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
Пусть известно число l = вел.M1M - |
отношение, |
|
M 1 |
|
вел.MM 2 |
|
|
|
0 |
|
x |
в котором т. М делит направленный отрезок M 1 M 2 . |
||
Тогда x = x1 + lx2 |
, y = y1 + ly2 . |
|
|
||
|
1 + l |
1 + l |
|
|
|
Для пространственного случая еще и z = z1 + lz 2 . |
|
|
|||
|
|
|
1 + l |
|
|
Если λ = 1, т. е. т. М делит M 1 M 2 пополам, то x = x1 + x2 |
, |
y = y1 + y2 , |
|||
z = z1 + z2 |
|
|
2 |
|
2 |
(формулы деления отрезка M 1 M 2 пополам). |
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
Если λ < 0, то это обозначает, что точка М находится вне M 1 M 2 , т.е. делит |
|||||
M 1 M 2 внешним образом. |
|
|
|||
|
|
|
54 |
|
|
|
|
|
|
Векторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Понятие вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
Вектор – это направленный отрезок . Вектор a задан, если известны его |
||||
|
длина |
r |
|
r |
|
|
a |
, а также углы a , b и g , которые a образует соответственно с осями |
|||
|
Ох, Оу, Oz. |
r |
|||
|
cosa , cos b , cosg |
принято называть направляющими косинусами a . |
Коллинеарные векторы расположены на одной прямой или на параллельных прямых.
r
0 − нулевой вектор (начало и конец совпадают)
r |
0 |
r |
, если: |
1) |
r |
0 |
= 1 |
a |
− единичный вектор (орт) вектора a |
a |
|||||
|
|
|
|
|
r |
0 |
r |
|
|
|
|
2) a |
a |
r |
− орт оси Ох, |
r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i |
j − орт оси Оу, |
|
k − орт оси Оz |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
1) |
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|||
Вектор ( -a ) противоположный вектору |
a , если: |
a |
¯ -a |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
r |
|
= |
r |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
- a |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
r |
r |
éa |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
a |
= b Û |
ê |
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
a |
= |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Компланарные векторы расположены в одной плоскости или в |
|
|
|
|||||||||||||||||||
параллельных плоскостях. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Сложение ( вычитание) векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
d |
|
|
d |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
2 |
|
|
||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
=a |
+b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
r |
|
r |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
r |
r |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d = a + b , |
d =a |
-b |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Правило треугольника : |
|
r |
|
r |
|
£ |
r |
|
+ |
|
|
r |
|
|
|
|
|||||
|
|
a |
+ b |
|
a |
|
|
b |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторы |
|
Умножение вектора на число |
|
r |
r |
Произведением вектора b на число l (или числа l на вектор b ) называют
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
такой вектор a |
= lb , который удовлетворяет следующим условиям: |
|||||||||||||||
1) |
r |
= |
|
l |
r |
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
a |
|
b |
|
|
|
|
|
|
2) a |
b , если l > 0 ; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
¯ b , если l < 0 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
(!) |
r |
|
r |
|
r0 |
|
r0 |
|
a |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
a |
= |
a |
|
×a |
Þ a |
= |
r |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
Координатная форма задания вектора
|
y |
|
M |
|
|
Вектор |
r |
задан на плоскости хОу, если |
|||
|
|
|
|
|
a = M 1 M 2 |
||||||
B 2 |
( y 2 ) |
|
2 |
|
|
известны координаты его начала и конца, т. е. |
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
M 1 (x1 , y1 ) и M 2 (x2 , y2 ). |
|
||||
B ( y ) |
M |
|
|
|
Числа x2 - x1 = a x , y2 - y1 = a y , а также |
||||||
|
x |
z 2 - z1 |
= a z (для пространственного случая) |
||||||||
1 |
1 |
1 |
|
||||||||
|
A ( x ) |
A |
( x |
) |
называют координатами вектора |
r |
|||||
|
a и записывают |
||||||||||
r |
1 |
1 |
2 |
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
= (a x , a y ) |
или |
= (a x , a y , az ) (для пространственного случая). Такая |
|||||||||
a |
a |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
запись называется координатной формой задания a . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
r |
|
r |
|
r |
|
||
|
|
|
|
i = (1,0,0), |
j = (0,1,0), |
|
k = (0,0,1) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
a x |
2 + a y 2 + az |
2 |
|
|
|
|
Длина вектора a : |
a = |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если a = (a x ,a y ,az ), b = (bx ,by ,bz ), то |
|
|
r |
r |
|
ìa x = bx |
1. |
Û |
ï |
||
a |
= b |
ía y = by |
||
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
îaz = bz |
|
r |
r |
|
|
3. a ±b=(ax ±bx ,ay ±by ,az ±bz )
|
r |
|
|
|
r |
a |
x |
|
a y |
|
a |
z |
|
|
|
|
|
||||||||
2. |
a |
|
|
|
b Û |
|
= |
|
= |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
bx |
by |
|
bz |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
r |
|
= (l a x ,l a y ,l az ) |
|
||||||
4. l a |
|
|
56
|
|
|
|
Векторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Проекция вектора на ось |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
M 2 |
Проекцией вектора a = M 1 M 2 на ось u |
|
|||||
|
r |
называют величину направленного отрезка |
|
||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 A2 оси u ( A1 и A2 |
- ортогональные |
|
||||
|
M1 |
|
|
|
|||||
|
j |
u |
проекции точек M 1 |
и M 2 на ось u |
|
||||
|
A |
A |
соответственно) |
|
|
|
|
||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
r |
= |
r |
× cosj |
|
|
|
|
|
|
прu a |
a |
|
Геометрический смысл координат вектора
r
Координаты вектора a есть проекции этого вектора на соответствующие координатные оси:
|
|
|
|
|
r |
a y |
|
r |
az = |
|
|
r |
|
|
|
|
||
|
|
ax = прx a , |
= прy a , |
прz a |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
a x = |
r |
cosa |
, |
a y |
= |
|
r |
cos b , |
az |
= |
r |
cos g |
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
a |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
0 = (cosa ,cos b ,cosg ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
cos2a + cos2b + cos2g = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Разложение вектора по базису |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Базисом на плоскости называют |
|
|
Базисом в пространстве называют |
|
|||||||||||||
|
упорядоченную пару |
r |
r |
|
|
упорядоченную тройку |
|
r |
r |
r |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
неколлинеарных векторов e1 |
и e2 |
|
|
некомпланарных векторов e1 |
, e2 |
и e3 |
|||||||||||
|
r |
|
r |
r |
|
r |
– разложение вектора |
r |
|
|
|
|||||||
|
a |
= l1 e1 + l2 |
e2 + l3 e3 |
a |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по базису ( e1 |
, e |
2 , e3 ); |
|
|
|
r |
r |
r |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
||||
|
(l1 , l2 , l3 ) – координаты вектора a |
в базисе ( e1 , e2 |
, e3 ) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Базис называют ортонормированным, если базисные векторы единичные и ортогональные.
r |
r |
r |
r |
|
r |
a |
= ax i + a y |
j + az |
k – разложение вектора |
a |
|
|
|
|
r |
r r |
|
|
по ортонормированному базису ( i , |
j , k ) |
|
57
Векторы
Скалярное произведение двух векторов
Скалярным произведением двух векторов |
r |
r |
||
a |
и b , которое обозначается |
|||
r r |
r |
r |
|
|
(a b ) или a |
×b , называется число равное произведению длин этих векторов |
на косинус угла между ними, т.е.
r |
r |
r |
|
r |
|
cosj , где j − угол между векторами |
r |
r |
|
|
|||||||
a |
×b = |
a |
|
b |
|
a |
и b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Физический смысл скалярного произведения
r
Если под действием силы F материальная точка перемещается из начала в
r
конец вектора s , то работу A , произведенную этой силой, вычисляют
по формуле |
A = F × s × cosj |
или |
|
|
r |
r |
|||||||||||
A = F × s . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
r |
Так как |
|
a |
|
cosj = прbra |
и |
b |
cosj = прarb , то |
||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
r |
r |
r |
r |
|
|
|
r |
r |
|
r |
|
|
r |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
a × b = |
a |
прar b |
или |
|
a |
× b = |
|
b |
|
прbr a , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т. е. скалярное произведение двух векторов равно произведению длины одного из них на проекцию другого на направление первого.
Свойства скалярного произведения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
a |
×b = b × |
a |
(переместительное); |
|
|
|
||||||||||||
2. |
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
r |
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
l (a |
×b )= la |
×b = a |
×lb (сочетательное); |
|
|
|||||||||||||||
3. |
|
r |
|
|
r |
r |
|
|
r |
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|||
(a |
+ b )c |
= a ×c + b ×c (распределительное); |
|
|
||||||||||||||||
4. |
|
r |
r |
|
r |
2 |
|
|
(скалярный квадрат вектора) |
|
|
|||||||||
a ×a |
= a |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
2 |
|
r 2 |
Þ |
r |
= |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
= a |
a |
a 2 ; |
|
|
|||||
5. |
|
|
|
|
|
r |
= |
(a x |
,a y ,az ) и |
r |
(bx ,by ,bz ), то |
r |
r |
|||||||
если a |
b = |
a |
× b = a x bx + a y b y + a z bz ; |
|||||||||||||||||
6. |
|
r |
|
|
r |
Û |
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|||||
a |
^ b |
a ×b = 0 |
|
|
|
|
|
(необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов).
Неравенство Коши-Буняковского: |
r |
r |
£ |
r |
× |
r |
|
a |
× b |
a |
b |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
58
Векторы
Векторное произведение двух векторов
r |
|
|
|
|
|
Векторным |
произведением двух |
|
|
r |
r |
|
||||||||||||||||||||
c |
|
|
|
|
|
векторов a |
и b , |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r r |
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которое обозначают [ a b |
] |
или a ´ b , называют такой |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
третий вектор |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
c , который удовлетворяет следующим |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
r |
трем условиям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a |
|
|
r |
|
|
r r |
|
|
|
r |
|
|
r |
|
× sinj , где j = |
æ r |
Ù rö |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1. |
|
c |
= |
a ´b |
|
= |
a |
× |
|
b |
|
ç |
÷ |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ça |
, b ÷ ; |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
2. |
|
r |
|
r |
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
r |
|
|
|
c ^ a , c ^ b ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
r |
|
|
||
r |
|
|
b |
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
упорядоченная тройка векторов a , b , c - правая. |
|
|||||||||||||||||||||||||
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрический смысл модуля векторного произведения |
r |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
c |
|
|
|
|
|
Модуль векторного произведения векторов a |
и b |
|
||||||||||||||||||||||||
|
r |
|
|
|
|
численно |
|
|
|
|
равен |
площади |
|
параллелограмма, |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
построенного на векторах a |
и b как на сторонах : |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
= |
r |
= Sпар-ма |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
´ b |
c |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Физический смысл векторного произведения |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
r |
Пусть к точке М приложена сила F и пусть точка O – |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
F |
некоторая |
другая |
|
|
точка |
пространства(полюс). |
Тогда |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
r |
r |
|
|
моментом силы F относительно точки O , называют |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
m0 |
(F ) |
|
|
вектор mo (F )= OM ´ F . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Свойства векторного произведения |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1. |
r |
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ´ b = -b ´ a (антипереместительное); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2. |
r |
r |
|
r |
r |
r |
|
|
r |
|
(сочетательное); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
l(a |
´ b )= la |
´ b = a ´ lb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3. |
r |
r |
r |
r |
r |
r |
|
r |
(распределительное); |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(a ´ b )´ c = a |
´ c |
+ b ´ c |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4. |
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ´a = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
r |
|
|
|
|||
|
|
r |
= (a x ,a y ,az ), |
|
r |
(bx ,b y ,bz ), то |
r |
r |
|
i |
j |
k |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
a x a y |
az |
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||
5. Если a |
b = |
a ´ b = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
r |
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bx |
b y |
bz |
|
|
|
6. |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a || b Û a |
´ b = 0 (необходимое и достаточное условие коллинеарности |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
двух векторов) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
59
Векторы
Смешанное произведение трех векторов
r r r
Смешанным произведением трех векторов a , b и c , которое обозначают
r r r
ab c , называют число, равное скалярному произведению одного из них на векторное произведение двух других:
r r r |
r |
r |
r |
r r r |
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
||
ab c |
= (a |
´ b )× c |
, ab c |
= a × |
(b ´ c ) и т. д. |
|
|
|
|||||||
|
|
Свойства смешанного произведения |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1. Модуль смешанного произведения |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
r |
||
|
|
|
|
|
|
|
трех векторов a , |
b |
|
и c равен |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
объему V параллелепипеда, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
построенного на перемножаемых |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
векторах как на ребрах, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
исходящих из одной вершины: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = |
|
rrr |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
abc |
|
|||
r r r |
> 0 |
|
|
|
|
r |
, |
r |
r |
– правая; |
|
|
|
||
2. Если ab c |
, то тройка векторов a |
b |
и c |
|
|
|
|||||||||
r r r |
< 0 |
|
|
|
|
r |
, |
r |
r |
– левая; |
|
|
|
||
Если ab c |
, то тройка векторов a |
b |
и c |
|
|
|
3. |
Круговая перестановка не меняет знак смешанного произведения |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r r r |
r r r |
r r r |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ab c |
= b ca = cab ; |
|
|||||
|
r |
r |
r |
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
4. (a |
´ b )× c |
= a |
× (b ´ c ); |
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
Перестановка двух рядом стоящих векторов меняет знак смешанного |
||||||||||||
|
произведения: |
r r r |
r rr |
r r r |
r r r |
r r r |
rr r |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ab c |
= -b ac , |
b ca = -cb a , |
cab = -acb ; |
|||||
6. |
|
r |
= |
|
|
r |
|
|
r |
= (c x ,c y ,cz ), то |
|||
Если a |
(a x ,a y ,az ), b = (bx ,b y ,bz ), c |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r r r |
|
a x |
a y |
a z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
= |
b x |
b y |
bz |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
ab c |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c x |
c y |
c z |
|
|
|
7. |
r |
r |
r |
– компланарны Û |
r r r |
= 0 (необходимое и достаточное |
|||||||
a , |
b и c |
ab c |
условие компланарности трех векторов).
60