Высшая Математика / Справочники / Справ_2013_08
.pdfПрямая на плоскости
Основные уравнения прямой на плоскости
Прямая, проходящая через точку M0 (x0 , y0 )
r ( )
перпендикулярно вектору n = A;B :
A(x - x0 )+ B (y - y0 )= 0
r |
= (A; B) |
n |
|
(l) |
M0 (x0 , y0 ) |
Общее уравнение прямой: |
Ax + By + C = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Частные случаи общего уравнения прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Прямая проходит через начало координат: |
Ax + By = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Ось y -ов: |
x = 0 |
|
|
|
|
|
Ось x -ов: |
y = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
x = a |
|
|
y = b |
|
|
|
|
|
y |
|
x |
||||||||
|
|
|
|
x = a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
b |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
a |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = b |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Уравнение прямой с угловым коэффициентом: |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
(l) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
y = kx + b, k = tga |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Прямая проходит через начало координат: |
y = kx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Прямая, проходящая через т.М 0 |
в заданном направлении |
|
|
|
y |
|
|
(l) |
|||||||||||||||||||||
(если k – фиксированное), или пучок прямых, проходящих |
|
|
|
|
|
|
|
|
M 0 (x0 , y0 ) |
||||||||||||||||||||
через т. М 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y - y0 = k(x - x0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
|||||||
Уравнение прямой |
|
|
|
|
|
|
Прямая, проходящая через две |
|
|
||||||||||||||||||||
«в отрезках на осях»: (l) |
y |
|
|
|
заданные точки M1 (x1 , y1 )и M2 (x2 , y2 ): |
||||||||||||||||||||||||
|
x |
+ |
y |
= 1 |
|
|
b |
|
|
|
|
|
x - x1 |
= |
y - y1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 - x1 |
y2 - y1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
a b |
|
|
|
0 |
a |
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Угол между двумя прямыми |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
= (A1 |
,B1 ) |
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
||||
1. (l1 ): A1 x + B1 y +C1 = 0, n1 |
|
|
|
|
|
n |
×n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(l2 ): A2 x + B2 y +C2 |
= 0, n2 = (A2 ,B2 ) |
|
|
cosj = |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
n |
× n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2. (l1 ): y = k1 x +b1 |
|
|
k1 - k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
tgj = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 + k1k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(l |
|
|
): y = k x +b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(l1 )|| (l2 ): |
k1 = k2 |
|
|
(условие параллельности) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(l1 )^ (l2 ): |
k2 = -1 / k1 |
|
(условие перпендикулярности) |
|
|
|
61
Плоскость
Основные уравнения плоскости
Плоскость, проходящая через точку M0 (x0 , y0 , z0 ),
перпендикулярно вектору |
r |
|
n = (A;B;C ): |
|
|
A(x - x0 )+B(y - y0 )+C(z -z0 )= 0 |
w |
r |
= (A, B, C ) |
n |
M 0 (x0 , y0 , z0 )
Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0
Частные случаи общего уравнения плоскости
Плоскость проходит через начало координат: |
Ax+ By +Cz = 0 |
|
|||||||||||
Плоскость параллельна той оси, название |
|
Ax + By + D = 0 |
|
||||||||||
|
Ax + Cz + D = 0 |
|
|||||||||||
которой отсутствует в уравнении: |
|
|
|||||||||||
|
By + Cz + D = 0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Плоскость |
yOz : |
x = 0 |
Плоскость параллельна той |
x = a |
|||||||||
Плоскость |
xOz : |
y = 0 |
координатной плоскости, |
y = b |
|||||||||
название которой |
|||||||||||||
Плоскость |
xOy : |
z = 0 |
z = c |
||||||||||
отсутствует в уравнении: |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||
Уравнение плоскости |
|
Уравнение плоскости, проходящей |
|||||||||||
«в отрезках на осях»: |
z |
через три фиксированные точки |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1 (x1 , y1 , z1 ) , M2 (x2 , y2 ,z2 ), M3 (x3 , y3 , z3 ): |
||||
|
x |
|
y |
|
|
z |
|
|
c |
|
x - x1 y - y1 z - z1 |
|
|
|
+ |
+ |
= 1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
c |
0 |
b y |
x2 - x1 |
y2 - y1 |
z2 - z1 = 0 |
|
|
|
x a |
x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1 |
Угол между двумя плоскостями
(w1 ): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = (w2 ): A2 x + B2 y + C2 z + D2 =
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
cosj = |
|
n1 × n2 |
|
|
или |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
n1 |
× |
|
n2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(w |
1 |
||) w( |
: ) |
A1 |
|
= |
B1 |
|
= |
C1 |
|
||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
A2 |
|
|
|
B2 |
|
|
C2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
= (A1 , B1 ,C1 ) |
|
|
|
|||
0, n1 |
|
|
|
||||
r |
= (A2 , B2 ,C2 ) |
|
|
|
|||
0, n2 |
|
|
|
||||
cos j |
= |
A1 A2 + B1 B2 + C1C 2 |
|
||||
+ B 2 |
+ C 2 |
× A2 |
+ B 2 |
+ C 2 |
|||
|
A2 |
||||||
|
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
(условие параллельности)
(w1 )^ (w2 ): A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0 (условие перпендикулярности)
62
Прямая в пространстве
Основные уравнения прямой в пространстве
Общие уравнения прямой:
(l ): ìí A1 x + B1 y + C1z + D1 = 0, îA2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0,
r |
|
= (A1 , B1 ,C1 ) |
|
w1 |
(l) |
|||
n1 |
|
|
||||||
r |
|
= (A , B |
|
,C |
|
) |
|
w2 |
n |
2 |
2 |
2 |
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
Канонические уравнения прямой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
M 0 (x0 , y0 , z0 ) |
(l) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x - x0 |
= |
y - y0 |
= |
z - z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
(m, n, p) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение прямой, проходящей через |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
две фиксированные точки |
|||||||||||||||||||
Параметрические уравнения прямой: |
|
|
|
M1 (x1 , y1 , z1 ) |
и M2 (x2 , y2 ,z2 ): |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ìx = x0 + mt |
|
|
|
|
|
|
|
|
M1(x1, y1, z1 ) |
|
|
|
(l) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
ï |
|
= y0 + nt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
í y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M2 (x2 , y2 , z2 ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
ï |
|
= z0 + pt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
î z |
|
|
|
|
|
|
|
x - x1 |
= |
|
y - y1 |
= |
z - z1 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 - x1 |
y2 - y1 z2 - z1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Угол между двумя прямыми |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(l ): |
x - x1 = |
y - y1 = z - z1 , S = (m ,n , p ) |
|
|
|
|
r r |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
S1 × S |
|
|
|
|
|||||||
|
|
m1 |
|
|
n1 |
|
|
p1 |
|
|
|
|
|
cosj = |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
× |
|
S |
|
|
|
||||||||||||
(l |
|
): |
x - x2 |
|
|
y - y2 |
|
|
z - z2 |
|
r |
|
= (m |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
||||||||
2 |
= |
= |
, S |
2 |
2 |
,n , p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
m2 |
|
|
n2 |
|
|
p2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Угол между прямой и плоскостью
(l ): x - x0 = y - y0 = z - z0 , S = (m ,n, p) |
|
|||
|
|
|
r |
|
m |
n |
p |
r |
|
|
|
|
|
|
(w): Ax + By + Cz + D = 0, n = (A, B,C ) |
|
|||
|
r |
r |
|
|
|
S × n |
, q +j = p |
|
|
sin j = cos q = r |
r |
w |
||
|
S × n |
2 |
r |
|
|
n |
(l) |
r |
n |
||
r |
|
|
|
|
S |
q |
j |
|
|
|
63
Кривые линии в декартовых и полярных координатах |
||||||||||||
Кривые 2–го порядка (канонические уравнения) |
|
|||||||||||
|
Эллипс |
|
|
Гипербола |
|
|||||||
x |
2 |
+ |
y 2 |
= 1 |
|
|
x 2 |
- |
|
y 2 |
= 1 |
|
a 2 |
b2 |
|
|
a 2 |
b2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a2 - b2 = c2 , a ³ b > 0 |
a 2 + b 2 = c 2 , a > 0, b > 0 |
|||||||||||
|
|
y |
B2 (0;b ) |
|
|
|
y |
|
B2 (0;b ) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
А1 (- а;0) |
|
|
|
|
А2 (а;0) |
А1 |
|
0 |
|
|
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
А2 |
|||||
F1 (- с;0) |
|
F2 |
(с;0 ) |
F1 (- с;0 ) |
|
|
|
|
|
F2 (с;0 ) |
||
|
|
|
|
|
|
B1 (0;-b) |
|
|||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
B1 (0;-b) |
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
2 |
+ |
y 2 |
= 1 |
|
- |
x 2 |
+ |
y |
2 |
|
|
a 2 |
b2 |
|
a 2 |
b |
= 1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
b 2 - a 2 = c 2 , b ³ a > 0 |
a 2 + b 2 = c 2 , a > 0, b > 0 |
|||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
F2 (0; с ) |
|
|
|
|
|
B2 (0;b ) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B2 |
|
|
|
|
|
|
F2 (0; с ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А1 (- а;0) |
|
0 |
|
|
А2 (а;0) |
A1 (- a;0) |
|
|
0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
A2 (a;0 ) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 (0;-с ) |
|
|
|
|
B |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
B1 (0;-b) |
|
|
|
|
|
F1(0;-с) |
|
||
(x - x0 )2 |
+ |
(y - y0 )2 |
(x - x0 )2 |
- |
(y - y0 )2 |
= 1 |
||||||
a 2 |
|
|
b2 |
= 1 |
a 2 |
|
|
|
b2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Оси эллипса проходят через его |
Оси гиперболы проходят через её |
|||||||||||
центр (x0,y0) |
параллельно осям |
центр (x0,y0) параллельно осям |
||||||||||
координат. |
|
|
координат. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
|
|
Кривые линии в декартовых и полярных координатах
Парабола
y2 = 2 px, p > 0 |
y2 = -2 px , p > 0 |
х = р
2
|
p |
|
|
|
|
æ |
|
p |
|
ö |
x = - |
|
æ p |
|
|
F ç |
- |
|
;0 |
÷ |
|
|
|
ö |
2 |
|||||||
|
|
è |
|
|
ø |
|||||
2 |
Fç |
|
;0 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
x2 = 2 py, p > 0 |
x 2 = -2 py, |
p > 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
у = |
р |
|
æ |
|
p ö |
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
F ç |
0; |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
p ö |
||
|
|
|
|
|
Fç |
0;- |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
è |
|
2 |
ø |
|
|
|
|
у = - |
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Парабола с вершиной в т. С (х0,у0)
(y - y0 )2 = 2 p(x - x0 ) |
|
(y - y0 )2 = -2 p(x - x0 ) |
||
y |
|
|
|
y |
|
C |
|
C |
|
O |
x |
|
O |
x |
(x - x0 )2 = 2 p(y - y0 ) |
|
(x - x0 )2 = -2 p(y - y0 ) |
||
|
y |
|
C |
y |
|
C |
|
O |
x |
|
O |
x |
|
|
|
|
|
|
|
65
Кривые линии в декартовых и полярных координатах
Параметрические уравнения линий в декартовых координатах
|
Циклоида |
|
Полукубическая парабола |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
|
|
|
|
|
|
ì |
= t |
2 |
2 |
|
3 |
= a(t |
- sint ) |
|
1. |
ïx |
Û y |
= x |
||||||
ïx |
, a > 0 |
í |
|
|
|
|||||||
í |
|
- cost ) |
|
ïy = t 3 |
|
|
|
|||||
ïy = a(1 |
|
|
î |
|
|
|
|
|
||||
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2pa |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
Астроида |
|
|
|
|
|
|
|
||||
ì |
|
|
3 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
ïx = a cos |
|
, a > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
í |
|
|
3 |
|
|
ì |
= t |
3 |
|
|
|
|
ï |
|
|
|
t |
|
2. |
ïx |
Û y |
3 = x 2 |
|||
î y = a sin |
|
|
í |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ï |
= t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окружность |
Эллипс |
|
Гипербола |
||
ìx = R cost |
, |
ìx = a cost |
, |
ìx = a cht |
|
í |
í |
í |
, |
||
î y = R sint |
|
î y = b sint |
|
î y |
= b sht |
R > 0 |
|
a > 0, b > 0 |
|
a > 0, b > 0 |
|
0 £ t < 2p |
|
0 £ t < 2p |
|
-¥ < t < +¥ |
66
Кривые линии в декартовых и полярных координатах
Уравнения кривых в полярных координатах
Полярная система координат на плоскости задается некоторой точкой О, называемой полюсом, и осью Op, называемой полярной осью.
Полярными координатами точки M называют упорядоченную пару чисел (r ;j ), где r = OM – полярный радиус точки M (расстояние от полюса О до точки M), j – полярный угол точки M (угол между полярной осью и
направленным отрезком OM ).
Если совместить полярную систему координат с декартовой прямоугольной системой координат так, чтобы полюс совпал с началом координат, а полярная ось – с положительным направлением оси Ox , то получим формулы, устанавливающие связь между этими двумя системами координат:
|
x = r cosj , y = r sinj . |
|
|
Кардиоида |
Лемниската Бернулли |
r = a(1 + cosj) , a > 0 |
r = a cos2j , a > 0 |
|
|
Окружность
x 2 + y 2 - ax = 0 Û r = a cosj |
x 2 + y 2 - by = 0 Û r = b sinj |
||||||||||||||
æ a |
|
ö |
|
|
a |
|
|
æ |
|
b ö |
|
b |
|
||
C ç |
|
;0 |
÷ |
, R |
= |
|
, a |
> 0 |
C ç |
0; |
|
÷ |
, R = |
|
, b > 0 |
è 2 |
|
ø |
|
|
2 |
|
|
è |
|
2 ø |
|
2 |
|
||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67
Поверхности 2-го порядка
|
|
Эллипсоид |
Однополостный гиперболоид |
||||||||||
|
x 2 |
|
y 2 |
|
z 2 |
|
|
x 2 |
y 2 |
z 2 |
|||
|
|
+ |
|
+ |
|
= 1 , |
|
|
+ |
|
- |
|
= 1 , |
|
a 2 |
b 2 |
c 2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
a 2 |
b 2 |
c 2 |
||||||
|
a > 0, b > 0, c > 0 |
|
a > 0, b > 0, c > 0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Двуполостный гиперболоид |
Эллиптический параболоид |
||||||||||
|
x 2 |
+ |
y 2 |
- |
z 2 |
= -1, |
|
x 2 |
+ |
y 2 |
= z, |
|
a 2 |
b 2 |
|
||||||||
|
|
|
c 2 |
|
2 p |
|
2 q |
|
|||
|
a > 0, b > 0, c > 0 |
|
p > 0, g > 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
68
Поверхности 2-го порядка
Гиперболический параболоид |
Конус 2-го порядка |
|||||||||||||
|
x 2 |
y 2 |
|
x |
2 |
|
y |
2 |
|
z |
2 |
|
||
|
|
- |
|
= z, |
|
|
+ |
|
- |
|
= 0 , |
|||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 p |
2q |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
a |
2 |
b |
2 |
c |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
p > 0, g > 0 |
|
|
a > 0, b > 0, c > 0 |
Гиперболический цилиндр |
Эллиптический цилиндр |
||||||||
|
x 2 |
y 2 |
|
x 2 |
y 2 |
||||
|
|
- |
|
= 1 , |
|
|
+ |
|
= 1 , |
|
|
|
|
||||||
|
a 2 |
b 2 |
|
a 2 |
b 2 |
||||
|
a > 0, b > 0 |
|
a > 0, b > 0 |
Параболический цилиндр
x 2 = 2 pz ,
p > 0
69
Комплексные числа
Понятие комплексного числа
Комплексным числом z (КЧ z) называется выражение вида z = x + i y ,
где х и у – действительные числа, i – так называемая мнимая единица, определяемая равенством i 2 = - 1 .
Эту форму записи комплексного числаz называют алгебраической. При этом число x называют действительной частью комплексного числа z и обозначают Re z (от латинского realis – действительный), а число y называют мнимой частью комплексного числаz и обозначают Im z (от латинского imaginarius – мнимый).
Заметим, что при y = 0 получают частный случай комплексного числа–
действительное число x, а при x = 0 – чисто мнимое число y i .
Множество всех комплексных чисел обозначают С.
Алгебраическая форма комплексного числа z
|
|
Определения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
z 2 = x 2 + iy 2 |
|
|
|
|
1. |
z1 ± z2 = ( x1 ± x2 ) + i( y1 ± y2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
z1 = x1 + iy1 |
|
|
|
|
2. |
z1 × z2 = (x1 x2 - y1 y2 )+ i (x1 y2 + x2 y1 ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
def |
ìx |
= x |
|
ü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
3. |
z × z = x |
+ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1. |
z1 = z2 Û |
í |
1 |
|
ý |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
î y1 |
= y2 þ |
4. |
z |
1 |
= |
z |
1 |
z |
2 |
|
= |
|
x |
1 |
x |
2 |
+ y |
1 |
y |
2 |
+ i |
x |
2 |
y |
1 |
- x |
1 |
y |
2 |
|
||||||
2. |
сопряженное КЧ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
z 2 |
z 2 |
z |
2 |
|
|
|
|
|
x 22 |
+ y 22 |
|
|
|
|
|
x 22 |
+ y22 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
z |
= x - iy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для комплексных чисел понятия «больше» и «меньше» не установлены!
Геометрическое представление комплексных чисел
КЧ z – это точка М(x, y)
ось х-ов – действительная ось ось y-ов – мнимая ось
КЧ z – это вектор OM :
r = z – модуль КЧ z , 0 < z < +¥;
j = Argz – аргумент КЧ z,
-¥ < Argz < +¥ ;
argz – главное значение аргумента КЧ z ,
-p < arg z £ p.
y
M(x,y)
r y
|
j |
|
O |
x |
x |
Тригонометрическая форма комплексного числа z: z = r(cosj + i sinj )
70