- •Введение
- •Основные понятия и аксиомы статики
- •1.1 Сила и система сил
- •1.3. Аксиомы статики
- •Связи и их реакции
- •4. Связь с неподвижным центром вращения (сферический шарнир)
- •5. Опорный стержень
- •3. Система сходящихся сил
- •3.1 Теорема о равновесии тела под действием сходящейся системы сил(векторные условия равновесия)
- •Аналитические условия равновесия тела, загруженного сходящейся системой сил
- •Теорема о трех непараллельных силах (правило трех сил)
- •4. Момент силы
- •4.1. Момент силы относительно оси
- •4.2. Момент силы относительно полюса (центра, точки)
- •4.3. Момент силы относительно полюса как векторное произведение
- •4.4 Связь между моментами силы относительно полюса и оси
- •4.5. Главный момент системы сил
- •4.6. Зависимость между главными моментами системы сил относительно двух полюсов
- •4.7. Теорема Вариньона (частный случай)
- •Элементарные операции статики. Эквивалентные системы сил
- •Элементарные операции статики
- •5.2. Эквивалентные преобразования. Эквивалентные системы сил. Равнодействующая
- •5.3. Обобщенная теорема Вариньона
- •6. Условия равновесия. Условия равновесия в общем и частных случаях
- •6.1. Основная лемма статики
- •6.2. Основная теорема статики (общие условия равновесия системы сил)
- •6.3. Аналитические условия равновесия произвольной системы сил (шесть уравнений статики абсолютно твердого тела)
- •6.4 Частные случаи аналитических условий равновесия
- •7. Общий признак эквивалентности двух систем сил (критерий эквивалентности)
- •8. Теория пар сил
- •8.1. Момент пары сил
- •8.2. Признак эквивалентности двух пар сил
- •8.3. Следствия из признака эквивалентности пар
- •8.4. Теорема о "сложении" пар
- •9. Приведение системы сил к заданному центру
- •9.1. Лемма о параллельном переносе силы
- •9.2. Теорема Пуансо (о приведении системы сил к заданному центру)
- •9.3. Частные случаи приведения системы сил к заданному центру
- •9.4. Инварианты системы сил
- •10. Центр параллельных сил. Центр тяжести
- •10.1. Центр системы параллельных сил
- •10.2. Центр тяжести твердого тела
- •2. Центр тяжести плоской фигуры
- •3. Центр тяжести линии
- •10.3. Статические моменты
- •10.4. Центры тяжести симметричных тел
- •10.5. Основные способы определения центра тяжести
- •11. Трение скольжения
- •11.1. Сила трения и коэффициент трения
- •11.2. Угол трения. Конус трения
8.3. Следствия из признака эквивалентности пар
Согласно признаку эквивалентности пар, все пары, моменты которых геометрически равны, являются эквивалентными.
Следствие 1.Не изменяя величину сил, плечо пары и направление вращения, пару можно переносить в её плоскости как жесткую фигуру (рис. 37).
Рассмотрим две пары и, лежащие в одной плоскости, причем по модулю, Так как плоскость пар общая и направление вращения одинаковые, то векторыипараллельны и направлены в
одну сторону. Следовательно , то есть моменты пар геометрически равны, пары эквивалентны:~.
Следствие 2. Не изменяя величину сил, плечо и направление вращения, пару можно переместить в параллельную плоскость (рис. 38).
Как и в предыдущем случае, моменты пар геометрически равны . Следовательно, пары эквивалентны:~.
Следствие 3.Пару сил можно "деформировать", то есть изменять величину сил, образующих пару и плечо пары так, чтобы произведение силы на плечо, направление вращения и плоскость пары остались неизменными (рис. 39).
Так как , то. Кроме того, моментыипараллельны и направлены в одну сторону. Тогда, следовательно, пары эквивалентны.
Замечание.Пара, действующая на твердое тело, стремится вращать его. На первый взгляд кажется, что пара будет вращать тело вокруг середины плеча. Но, очевидно, это неверно, так как пару можно переносить в плоскости ее действия куда угодно в данном теле и, следовательно, "середина плеча" – точка совершенно неопределенная. Вопрос о том, вокруг чего поворачивается пара, относится уже к задачам динамики, так как для ответа на него нужно определить как будет двигаться тело под действием данных сил. В динамике будет показано, что всякая пара, действующая на свободное твердое тело, поворачивает это тело вокруг его центра тяжести. Если же тело имеет неподвижную ось вращения, то пара, где бы нм была расположена, будет поворачивать тело вокруг этой оси с одним и тем же вращательным усилием (моментом).
8.4. Теорема о "сложении" пар
Теорема. Всякая система, состоящая из пар сил, эквивалентна одной паре, момент которой равен геометрической сумме моментов пар системы.
Доказательство.
Дана система пар , имеющих моменты.
Доказать, что и момент этой пары.
Доказательство.
По основной лемме статики систему пар приводим к двум силам. При этом главный вектор и главный момент не изменяются:
,
.
Отметим, что в общем случае .
Из условия, что , следует, что- либо прямопротивоположные силы, либо пара. Но из условия, что, следует, чтоне прямопротивоположные силы (так как главный момент двух прямопротивоположных сил относительно любого полюса равен нулю)
Таким образом, есть пара, момент которой равен главному моменту исходной системы сил, то есть
.
Следствие. Для равновесия тела под действием системы пар необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма моментов этих пар была равна нулю.
9. Приведение системы сил к заданному центру
9.1. Лемма о параллельном переносе силы
Лемма.Силу можно переносить параллельно самой себе в любую наперед заданную точку, называемую центром приведения, присоединив к ней при этом пару, момент которой равен моменту первоначальной силы относительно центра приведения.
Доказательство.
Пусть силаприложена в точке. Перенесем её в заданную точку(рис. 40). Для этого в точкеприложим силыитакие, что,.
Тогда . Момент пары равен:
,
так как – линия действия силыпроходит через точку.