3. Система сходящихся сил

3.1 Теорема о равновесии тела под действием сходящейся системы сил(векторные условия равновесия)

Теорема.Для равновесия твердого тела, загруженного сходящейся системой сил, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил был равен нулю, или, что тоже самое, силовой многоугольник был замкнут.

Доказательство:

Необходимость. Дано: тело находится в равновесии под действием сходящейся системы сил. Следует доказать, что главный вектор этой системы сил.

Доказательство: В силу следствия 2 из аксиом статики, не нарушая состояние равновесия тела, система сходящихся силможет быть заменена одной силой. Теперь на тело, находящееся в равновесии, действуют только две силыи, которые на основании аксиомы 1 прямопротивоположные, то есть

.

Тогда , что доказывает необходимое условие равновесия.

Предоставляем студенту самому доказать достаточное условие равновесия сходящихся сил.

2. Аналитические условия равновесия тела, загруженного сходящейся системой сил

Пусть к твердому телу приложена сходящаяся система сил (рис. 15). Выберем произвольную прямоугольную систему координат с центром в точке схода и обозначим проекции сил на оси координат:

,

,

.

Главный вектор . Пользуясь теоремой ( она доказывается в курсе векторной алгебры), согласно которой проекция суммы векторов на некоторую ось равна сумме проекций на ту же ось слагаемых векторов, получаем:

,

,

.

Необходимым и достаточным условием равновесия тела, загруженного сходящейся системой сил, является равенство нулю главного вектора

Это векторное равенство эквивалентно трем скалярным

,

,

.

Аналитические условия равновесия сходящейся системы сил могут быть сформулированы так:

Для равновесия тела, загруженного сходящейся системой сил, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из координатных осей была равна нулю, то есть чтобы выполнялись три уравнения статики

1.,

2. ,

3. .

2. Теорема о трех непараллельных силах (правило трех сил)

Теорема.Если твердое тело находится в равновесии под действием трех сил, и линии действия двух сил пересекаются, то линия действия третьей силы проходит через точку пересечения первых двух, и все три силы лежат в одной плоскости.

Доказательство:

Пусть тело находится в равновесии под действием трех сил,и, причем линии действияипересекаются в точке(рис. 16а).

Согласно следствию 1 из аксиом статики, силы иможно, не нарушая состояние равновесия тела, перенести вдоль их линий действия в точку(рис. 16б), а затем по аксиоме 3 заменить одной силой( рис. 16в), проходящей через точку пересечения сили(точку) и лежащей с ними в одной плоскости, причем. Тело находится в равновесии под действием двух сили( рис. 16в), следовательно, по аксиоме 1 они должны иметь общую линию действия, но тогда силы,илежат в одной плоскости и их линии действия пересекаются в одной точке (точку).

4. Момент силы

4.1. Момент силы относительно оси

Момент силы относительно оси характеризует меру вращательной способности силы, приложенной к телу, имеющему неподвижную ось.

Пусть в точкетела приложена сила(рис. 17). Разложим эту силу на две составляющих:и. Вся мера вращательной способности силыопределяется составляющей, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси.

Момент силы относительно оси – это число (скаляр),которое определяется следующим образом:

1. Проводим плоскость, перпендикулярную оси (рис. 18)

2. Сила проектируется на эту плоскость (проекция вектора на плоскость – вектор)

3. Величина полученной проекцииумножается на число, то есть на длину перпендикуляра, опущенного из точки пересечения оси с плоскостью на линию действия силы.

4. Полученному произведению приписывается знак «плюс», если с положительного направления оси видно, что сила стремится вращать тело вокруг оси против часовой стрелки, и знак «минус» в противном случае.

Обозначение: . Читается так:момент силы относительно оси .

В результате приходим к следующему определению:

Моментом силы относительно оси называется число, равное произведению модуля проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, на плечо проекции. Момент силы относительно оси положителен, если с положительного направления оси видно, что сила стремится вращать тело против часовой стрелки, и отрицателен в противном случае.

Момент силы относительно оси равен нулю в двух случаях (рис. 19):

когда проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси, равна нулю, то есть когда сила и ось параллельны (рис. 19а);

когда плечо проекции равно нулю, то есть когда линия действия силы пересекают ось (рис. 19б).

Оба этих случая можно объединить:

Момент силы относительно оси равен нулю тогда и только тогда, когда сила и ось лежат в одной плоскости.