9.4. Инварианты системы сил

Определение. Инвариантами системы сил называются величины, не зависящие от выбора центра приведения, то есть величины, которые остаются неизменными при преобразовании данной системы сил в другую, ей эквивалентную.

1-й инвариант – главный вектор системы сил .

2-й инвариант – скалярное произведение главного вектора на главный момент

Доказательство.

Пусть известно скалярное произведение для системы сил, приведенной к полюсу. Вычислим то же произведениедля системы сил, приведенной к другому полюсу. Главный вектор не зависит от выбора полюса; для нового центра приведения главный момент будет иным:

(по теореме о зависимости между главными моментами системы сил относительно двух полюсов).

Тогда:

,

так как по правилам вычисления смешанного произведения

( векторное произведение параллельных векторов равно нулю).

Таким образом .

10. Центр параллельных сил. Центр тяжести

10.1. Центр системы параллельных сил

Система параллельных сил в общем случае приводится к силе и паре, причем векторы силы и пары перпендикулярны. Тогда, если , то система приводится к равнодействующей.

Рассмотрим систему параллельных сил, приложенных соответственно в точкахтвердого тела (рис. 46).

Определение. Центром системы параллельных сил называется точка приложения равнодействующей системы параллельных сил, которая остается неизменной при любых поворотах всех сил системы вокруг их точек приложения на один и тот же угол.

Центр параллельных сил существует, если главный вектор системы сил не равен нулю .

Пусть , тогда, где– равнодействующая. Введем единичный вектор(), направленный параллельно линиям действия сил. Тогда любая сила, где, если направление силыи векторасовпадают, и, еслиинаправлены противоположно друг другу. Пусть равнодействующаяприложена в точке, радиус-вектор которой. По обобщенной теореме Вариньона момент равнодействующей относительно полюсаравен сумме моментов всех сил системы относительно того же полюса:

,

или .

Тогда .

Преобразуем полученное выражение:

,

,

.

Выражение в круглых скобках представляет собой некоторый вектор, который обозначим , тогда:

.

Но , а полученное равенство не должно зависеть от угла поворота сил вокруг их точек приложения, то есть угол между векторами может быть любым. Поэтому векторное произведение, когда

,

откуда получаем выражение для радиус-вектора центра параллельных сил

.

Проектируя полученное равенство на оси координат, получим выражения длякоординат центра параллельных сил

, ,,

где – координаты центра параллельных сил, а– координаты точки приложения.

10.2. Центр тяжести твердого тела

Силы притяжения отдельных частиц тела к Земле направлены приблизительно к центру Земли. Так как размеры рассматриваемых тел малы по сравнению с радиусом Земли, то эти силы можно считать параллельными. Равнодействующая этих параллельных сил, равная их сумме, есть вес тела.

Определение. Центром тяжести твердого тела называется центр параллельных сил тяжести частиц, слагающих тело. Иными словами, центр тяжести – это такая точка приложения равнодействующей сил тяжести частиц тела, которая остаётся неизменной при любых поворотах тела.

Таким образом, для определения положения центра тяжести можно использовать формулы для координат центра параллельных сил.

Обозначим силы веса отдельных частиц тела, вес тела, координаты его центра тяжести, а координаты любой частицы твердого тела(рис. 47).

Тогда формулы для определения координат центра тяжести принимают вид:

, ,.

Определим положение центра тяжести однородных тел.

1. Центр тяжести объема

Вес однородного тела определяется по формуле , где– объём тела,–вес единицы объема. Аналогично, вес каждой частицы, где– объем– ой частицы тела. Обозначимкоординаты центра тяжести этой частицы. Тогда

, ,.