Приклади розв’язання задач.

Приклад 1. Два точкові електричні заряди = – 1 нКл і=2 нКл знаходяться в повітрі на відстані r = 10 см один від одного. Визначити напруженістьу точці, яка знаходиться на відстані= 9 см від першого заряду і7 см від другого.

Розв’язання.

Згідно принципу суперпозиції полів (3.4) напруженість поля може бути визначена як геометрична сума напруженостей полів ікожного із зарядів:.

Напруженість електричного поля, створеного у повітрі (ε =1) зарядомдорівнює. (1)

Відповідно, . (2)

Вектор спрямований вздовж радіальної прямої до заряду, оскільки він негативний; відповідно, векторспрямований від заряду

Рис. 3.1. (рис. 3.1). Абсолютне значення вектора

знаходимо за теоремою косинусів:

, (3)

де α – кут між векторами і. Його можна визначити з трикутника із сторонами r,і. У даному випадку для спрощення зручно обчислитиокремо:

.

Підставляємо вирази для із формул (1) та (2) у формулу (3) й виносимо загальний множник за 1/4πза знак кореня.

.

Перевіряємо одиницю вимірювання:

.

Підставляємо числові значення в отриману формулу і проводимо обчислення з урахуванням значення м/Ф.

.

При обчисленні Е знак „–” заряду пропущений, оскільки він визначає напрямок вектора напруженості, а цей напрямок був врахований при графічному зображенні.

Відповідь: Е = 3,56 кВ/м.

Примітка. Якщо відстань між зарядами та відстані між зарядами й точкою поля, в якій визначається напруженість, задані числами 3, 4, 5 (у будь-якій послідовності), або кратними ним, то трикутник – прямокутний. В цьому випадку замість теореми косинусів можна скористатися теоремою Піфагора.

Приклад 2. За умовами попередньої задачі визначити потенціал φ електричного поля зарядів і.

Розв’язання.

Згідно з принципом суперпозиції полів (3.15), потенціал φ сумарного поля, створеного зарядами і, дорівнює алгебраїчній сумі потенціалівіполів, які створюються кожним з зарядів окремо

.

Потенціал електричного поля, яке утворюється у вакуумі точковим зарядом q на відстані r від нього (3.13)

.

Тоді .

Перевірка одиниці вимірювання:

.

Підставляємо в отриману формулу числові значення величин:

Відповідь: В.

Приклад 3. Електричне поле створене позитивно зарядженою нескінченною ниткою. Рухаючись під дією поля від точки, що знаходиться на відстані r= 1 см від нитки, до точки= 4 см протон змінив свою швидкість відм/с дом/с. Визначити лінійну густину заряду нитки.

Розв’язання.

Зміна кінетичної енергії протона пов’язана з роботою А сил електростатичного поля нитки:

. (1)

Поле нитки не є однорідним, тому роботу сил поля визначаємо шляхом інтегрування виразу для елементарної роботи

,

де dU = –– різниця потенціалів між точками радіальної прямої, які знаходяться на відстані dr одна від одної. Напруженість Е поля нескінченної рівномірно зарядженої нитки визначається формулою

.

Отже .

Звідки, з урахуванням теореми про кінетичну енергію (1), отримуємо

. (2)

Перевіряємо одиницю вимірювання:

.

Підставимо у формулу (2) числові значення.

Маса протона m = кг; заряд протонаКл; електрична стала ε= 8,85 10Ф/м ; ε=1.

Відповідь: τ=0,63 мкКл/м.

Приклад 4. Визначити силу струму I у провіднику, якщо за кожну секунду t = 1c через його переріз проходить N = 2 ·10¹⁷ електронів.

Розв’язання.

За визначенням (3.31) сила струму дорівнює заряду, який проходить через переріз провідника за одиницю часу. Кожен електрон переносить заряд q, тому за 1с всі вони перенесуть заряд N·q.

Тоді сила струму

I = ;

Перевіримо одиницю вимірювання.

[I] = = = A

Підставимо числові значення, знайшовши в таблицях заряд електрону q = 1,6·10^-19 Кл:

I = = 3,2·10^-2 = 0,032 A.

Відповідь: I = 0,032 А.

Приклад 5. Сила струму у провіднику змінюється за законом

I = 2+2t, де I вимірюється в амперах, t – в секундах. Знайти заряд q, який проходить через переріз провідника за проміжок часу від t₁ = 1с до t₂ = 3с.

Розв’язання.

Відповідно до формули (3.31) можна записати: dq = Idt, тому для визна-чення повного заряду q треба здійснити інтегрування.

q = == 2+2= 2(t₂-t₁) + (-) = 2(3-1) + (9-1) = =12Кл.

Відповідь: q = 12 Кл.

Приклад 6. Елемент з електрорушійною силою ε = 12 В при підключенні до зовнішнього опору R = 15 Ом дає струм I = 0,75 А. Визначити максимальний струм I_max (струм короткого замикання), який може дати цей елемент.

Розв’язок.

Застосуємо закон Ома для повного кола (3.36):

I = , (1)

де ε – електрорушійна сила елемента; R – зовнішній опір; r – внутрішній опір елемента.

З формули (1) виразимо внутрішній опір r:

I (R + r) = ε;

IR + Ir = ε;

r = . (2)

Максимальним струм у колі буде тоді, коли R = 0.

Тому

I_max = (3)

Підставимо (2) в рівняння (3):

I_max = .

Перевіримо одиницю вимірювання.

[I_max] = == A

Підставимо числові значення:

I_max = = 12 А.

Відповідь: I_max = 12 А.

Приклад 7.

У схемі, яку зображено на малюнку ε₁ = 2 В; ε₂ = 2,5 В;

R₁ = 1 кОм; R₂ = 1,5 кОм; R₃ = 2 кОм. Знайти струм I₃, який протікає через опір R₃? Внутрішній опір елементів не враховувати.

Розв’язання.

Будемо вважати, що струми мають напрямки, які указані на рисунку.

Запишемо перший закон Кірхгофа для вузла А і другий закон Кірхгофа для лівого і правого контурів схеми:

Отримали систему трьох рівнянь з трьома невідомими. Розв’язуємо систе-му відносно I₃.

Δ = = 6,5·10⁶ (Ом²); Δ₃ = =-0,5·10³ (В·Ом).

I₃ = ;

Перевіримо одиницю вимірювання:

[I₃] = == A.

Підставимо числові данні:

I₃ = = 7,7 · 10^-6 = 77 мкА.

Відповідь: I₃ = 77 мкА.

Приклад 8. Електрорушійна сила елемента ε = 40 В. Максимальна сила струму, яку може дати елемент I_max = 0,6 А. Знайти максимальну потужність P_max , яку може віддати у зовнішню ділянку кола цей елемент.

Розв’язання.

Потужність P струму вимірюється роботою, яку виконують електричні сили у одиницю часу. Згідно з формулою (3.44):

P = I² R. (1)

Так як за законом Ома I = ε /(R + r), то

P = . (2)

Знайдемо умови, при яких функція P(R) має максимум. Для цього треба дослідити вираз (2) на екстремум. Записавши першу похідну і дорівнюючи її нулю, дістанемо висновку, що потужність буде максимальною, коли

R = r. Тоді

P_max = = . (3)

Так як I_max = ε/r, то рівняння (3) можна записати:

P_max = .

Перевіримо одиницю вимірювання:

[P_max] = В · А = = Вт.

Підставимо числові данні:

P_max = = 6 Вт.

Відповідь: P_max = 6 Вт.

Фундаментальні фізичні константи:

Гравітаційна сталаG = 6,6720*10^-11H* м²/кг²

Швидкість світла в вакуумі с = 2,99792458*10⁸ м/с

Магнітна стала μ₀ = 12,5663706144*10^-7 Гн/м

Електрична стала ε₀ = 8,85418782*10^-12 Ф/м

Стала Планка h = 6,626176*10^-34 Дж*с

Маса спокою електрону m_e = 9,109534*10^-31 кг

Маса спокою протону m_p = 1,6726485*10^-27 кг

Маса спокою нейтрону m_n = 1,6749543*10^-27 кг

Елементарний заряд e = 1,6021892*10^-19 Кл

Атомна одиниця маси 1 а.о.м. = 1,6605655*10^-27 кг

Стала Авогадро N_A = 6,022045*10²³ моль^-1

Стала Фарадея F = 96,48456*10³ Кл/моль

Молярна газова стала R = 8,31441 Дж/(моль*К)

Молярний об’єм ідеального газу

при нормальних умовах V₀ = 22,41383*10^-3 м³/моль

Стала Больцмана k = 1,380662*10^-23 Дж/К

Діаметри атомів та молекул, нм

Гелій 0,20 Кисень 0,30

Водень 0,23 Азот 0,30

Густина твердих тіл

Тверде тіло густина, кг/м³ Тверде тіло густина, кг/м³

Алюміній 2,70*10³ Мідь 8,93*10³

Барій 3,50*10³ Нікель 8,90*10³

Ванадій 6,02*10³ Свинець 11,3*10³

Вісмут 9,80*10³ Срібло 10,5*10³

Залізо 7,88*10³ Цезій 1,90*10³

Літій 0,53*10³ Цинк 7,15*10³

Корка 0,2*10³

Густина рідин

Рідина густина, кг/м³ Рідина густина, кг/м³

Вода(при 4⁰С) 1,00*10³ Гліцерин 1,26*10³

Ртуть 13,6*10³ Спирт 0,80*10³

Касторове масло 0,96*10³ Керосин 0,80*10³

В’язкість рідин (при20⁰С), Па*с

Гліцерин 1,47

Касторове масло 1,2

Вода 1,0*10^-3

Густина газів (за нормальних умов)

Газ	Густина, кг/м^3	Газ	Густина, кг/м^3
Водень Повітря	0,09 1,29	Гелій Кисень	0,18 1,43

Коефіцієнт поверхневого тяжіння рідин

Рідина	Коефіцієнт мН/м	Рідина	Коефіцієнт мН/м
Вода Мильна піна	72 40	Ртуть Спирт	500 22

Ефективний діаметр молекули

Газ	Діаметр, м	Газ	Діаметр, м
Азот Водень	3,0*10^-10 2,3*10^-10	Гелій Кисень	1,9*10^-10 2,7*10^-10

Діелектрична проникливість

Речовина	Проникливість	Речовина	Проникливість
Вода Масло трансформаторне	81 2,2	Парафін Скло	2,0 7,0

Питомий опір металів

Метал	Питомий опір, Ом*м	Метал	Питомий опір, Ом*м
Залізо Мідь	9,8*10^-8 1,7*10^-8	Ніхром Срібло	1,1*10^-6 1,6*10^-8

Назви, символи та атомні маси деяких хімічних елементів

№ п/п	Назва	Символ	Атомна маса	№ п/п	Назва	Символ	Атомна маса
1	Водень	H	1,0079	38	Стронцій	Sr	87,62
2	Гелій	He	4,00260	39	Ітрій	Y	88,9059
3	Літій	Li	6,90041	40	Цирконій	Zr	91,22
4	Берилій	Be	9,01218	41	Ніобій	Nb	92,9064
5	Бор	B	10,81	42	Молібден	Mo	96,94
6	Вуглець	C	12,011	43	Технецій	Tc	98,9062
7	Азот	N	14,0067	44	Рутеній	Ru	101,07
8	Кисень	O	15,9994	45	Родій	Rh	102,9055
9	Фтор	F	18,9984	46	Паладій	Pd	106,4
10	Неон	Ne	20,179	47	Срібло	Ag	107,868
11	Натрій	Na	22,98977	48	Кадмій	Cd	112,401
12	Магній	Mg	24,305	49	Індій	In	114,82
13	Алюміній	Al	26,98154	50	Олово	Sn	118,69
14	Кремній	Si	28,0855	51	Сурма	Sb	122,75
15	Фосфор	P	30,97376	52	Телур	Te	127,60
16	Сера	S	32,06	53	Йод	I	125,9045
17	Хлор	Cl	35,453	54	Ксенон	Xe	131,30
18	Аргон	Ar	39,948	55	Цезій	Cs	132,9054
19	Калій	K	39,0983	56	Барій	Ba	137,33
20	Кальцій	Ca	40,08	57	Лантан	La	138,9055
21	Скандій	Sc	44,9559	58	Церій	Se	140,12
22	Титан	Ti	47,90	59	Празеодим	Pr	140,9077
23	Ванадій	V	50,9415	60	Неодим	Nd	144,24
24	Хром	Cr	51,996	61	Прометій	Pn	[145]
25	Марганець	Mn	54,9380	62	Самарій	Sn	150,4
26	Залізо	Fe	55,847	63	Європій	Eo	151,96
27	Кобальт	Co	58,9332	64	Гадоліній	Gd	157,25
28	Нікель	Ni	58,71	65	Тербій	Tb	158,9254
29	Мідь	Cu	63,546	66	Диспрозій	Dy	162,50
30	Цинк	Zn	65,38	67	Гольмій	Ho	164,9304
31	Галій	Ga	69,735	68	Ербій	Er	167,26
32	Германій	Ge	72,59	69	Тулій	Tm	168,9342
33	Миш’як	As	74,9216	70	Ітербій	Yb	173,04
34	Селен	Se	78,96	71	Лютецій	Lu	174,967
35	Бром	Br	79,904	72	Гафній	Hf	178,49
36	Криптон	Kr	83,80	73	Тантал	Ta	180,947
37	Рубідій	Rb	85,467	74	Вольфрам	W	183,85