Коливання та хвилі Основні формули

Кінематичне рівняння механічних гармонічних коливань матеріальної точки має вигляд:

, (4.23)

або

, (4.24)

де х – зміщення точки від положення рівноваги; А – амплітуда коливань;

w - кутова або циклічна частота; j₀ – початкова фаза. Рівняння (4.23) і (4.24) рівноправні, але відрізняються значенням початкової фази. При виконанні контрольної роботи пропонується за вихідне прийняти рівняння (4.23).

Швидкість точки, яка здійснює гармонічні коливання за законом (4.23)

V=x¢= -Awsin (wt+j₀) (4.25)

Прискорення точки: а=x¢¢= -Aw²cos (wt+j₀) (4.26)

Циклічна частота:

, (4.27)

де Т – період коливань.

Для коливань, які відбуваються під дією пружної сили

(4.28)

де k – коефіцієнт пружності; т – маса точки.

Для математичного маятника:

(4.29)

де l – довжина маятника, g – прискорення вільного падіння.

Кінетична енергія точки, яка здійснює гармонічні коливання

. (4.30)

Потенціальна енергія:

. (4.31)

Повна енергія:

. (4.32)

При складанні двох однаково напрямлених гармонічних коливань x₁=A₁cos(ωt+) і x₂=A₂cos(ωt+) однакової частоти утворюється гармонічне коливання тієї ж частоти з амплітудою

A= (4.33)

і початковою фразою φ яка визначається із співвідношення

tg (4.34)

Траєкторія точки, яка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях x=A₁coswt і y=A₂cos(wt+) має вигляд

y =x, якщо

, якщо

, якщо

Рівняння згасаючого коливального руху

x=A₀ecos(t+), (4.35)

де - коефіцієнт згасання.

При цьому і =, (4.36)

де r – коефіцієнт тертя; ₀ – частота власних (незгасаючих) коливань. Величина =називається логарифмічним декрементом згасання.

Рівняння плоскої біжучої хвилі

y=A cos (t-), (4.37)

де у – зміщення точки з координатою х у момент часу t; v – швидкість поширення хвилі.

Довжина хвилі пов’язана зі швидкістю поширення

T. (4.38)

Зв’язок різниці фаз коливань двох точок, які розташовані на відстаніx у напрямку поширення хвилі

(4.39)

Період електромагнітних коливань у контурі, який складається з опору R, котушки індуктивності L і конденсатора С.

T= (4.40)

Якщо активний опір R несуттєвий, то

T=2, (4.41)

Рівняння згасаючих коливань у контурі

U=U₀ecos ωt, (4.42)

де U – різниця потенціалів на обкладинках конденсатора; - коефіцієнт згасання.

Закон Ома для змінного струму

(4.43)

де Іі U– ефективні значення струму і напруги, які пов’язані з амплітудними значеннями співвідношеннями

І_еф=;U= i Z= (4.44)

де Z – повний опір кола. При цьому зсув фаз між напругою і силою струму визначається співвідношенням

tg (4.45)

Потужність змінного струму

P = I_еф U_eф cos . (4.46)