Переходная функция

описывает процесс незатухающих колебаний с частотой , периодом

и амплитудой A=kx₀.

3.6 Звено с чистым запаздыванием:

, либо .

Свойства этого звена таковы, что выходная величина повторяет входную с отставанием на время запаздывания ₃.

4. Содержание и оформление отчета

Отчет по лабораторной работе является частью комплекта отчетов по лабораторному практикуму. Поэтому его следует оформлять на сшитых листах или в отдельной тетради.Отчет должен содержать:

4.1.Контрольные вопросы и ответы на них с пояснениями.

4.2.Дифференциальные уравнения звеньев 1 и 2 порядков с числовыми значениями коэффициентов.

4.3.Вычисленные корни соответствующих характеристических уравнений.

4.4.Графики переходных процессов, полученные на ЭВМ.

4.5.Соответствующие продолжительности переходных процессов.

4.6.Периоды колебаний для колебательных звеньев.

Лабораторная работа № 2

ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ В ИССЛЕДОВАНИИ САР

Файлы «AphC.vee», «AFC.vee», папка «ЛаборЕх».

1. Контрольные вопросы

1.1. Что общее и в чем различие гармонических сигналов на входе и выходе линейной САР?

1.2. Изобразите приблизительные графики гармонических сигналов на входе и выходе системы.

1.3. Запишите дифференциальное уравнение системы второго порядка.

1.4. Как выражается резонансная частота через собственную частоту и коэффициент затухания?

1.5. При каких значениях коэффициента затухания АЧХ имеет резонансный пик?

1.6. Запишите выражение для АФХ системы второго порядка.

1.7. Как получается выражение для АФХ по передаточной функции?

1.8. Кратко опишите методику экспериментального получения АЧХ и АФХ.

2. Допущенным к выполнению ЛР следует:

• принять три варианта коэффициентов системы 2 порядка для случаев неколебательной системы и двух колебательных, отличающихся сильно по колебательности. Вычислить корни характеристических уравнений этих систем;

• исследовать на ЭВМ виды соответствующих АФХ и АЧХ;

• зарегистрировать резонансные частоты и частоты среза;

• зарегистрировать коэффициенты затухания;

• зарегистрировать резонансные значения АЧХ.

3. Краткие теоретические сведения

Очень часто представляет интерес поведение САР в условиях периодического изменения возмущающих воздействий. В теории автоматики обычно используется гармоническая форма воздействия

х_вх = А_вхsinωt ,

где А_вх – амплитуда входных колебаний,

ω – частота колебаний (рад/с), связанная с периодом колебаний Т_к зависимостью

.

Известно, что при таком воздействии на входе линейной системы после окончания переходного процесса на выходе устанавливаются гармонические колебания той же частоты

х_вых = А_выхsin(ωt+φ)

с амплитудой А_у и сдвинутые относительно входных колебаний на фазовый угол φ.

Если передаточная функция САР имеет вид

, (1)

то подстановкой

p = iω

получают комплексную передаточную функцию

, (2)

которая называется также амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ), либо просто частотной характеристикой, где

.

R(ω) = - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ),

φ(ω) – фазовая частотная характеристика (ФЧХ),

х_вх = А_вхsinωt, х_вых = А_выхsin(ωt+φ).

, (3)

, (4)

где ;

; (5)

;

.

Для системы второго порядка с передаточной функцией

(6)

последнюю часто представляют в виде

, (7)

где - коэффициент усиления,

- собственная частота колебаний при отсутствии затухания,

- коэффициент затухания.

Тогда АФХ принимает вид

. (8)

Фазовая частотная характеристика для этой системы

, (9)

для

, (10)

для .

Заметим, что фазовый сдвиг φ(ω) для этой системы отрицателен при любых положительных ω и изменяется от нуля при ω = 0 до –π при ω → ∞.

Резонансная частота системы, то есть та, при которой значение амплитудно-частотной характеристики R(ω) имеет максимум,

. (11)

Значение АЧХ на этой частоте

. (12)

4. Содержание и оформление отчета

Отчет должен содержать:

4.1. Контрольные вопросы и ответы на них.

4.2. Дифференциальные уравнения принятых систем с числовыми значениями коэффициентов.

4.3. Вычисленные корни соответствующих характеристических уравнений.

4.4. Графики соответствующих АЧХ и АФХ, зарисованные с дисплея.

4.5. Значения резонансных частот и частот среза.

4.6. Значение коэффициента затухания (на компьютере он для АФХ обозначен через n).

4.7. Резонансное значение R_рез (для тех систем, где резонанс есть).

Лабораторная работа № 3.

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ

АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Файлы “hurmod.vee”,”Михайлов.vee”, папка «ЛаборЕх».

1. Контрольные вопросы

1. Сформулируйте понятие устойчивости системы.

2. Чем определяется устойчивость системы?

3. Сформулируйте требования к корням характеристического уравнения устойчивой системы.

4. Приведите формулировки критериев устойчивости Гурвица и Михайлова, а также покажите, как практически применяются эти критерии для системы 4 порядка.

2. Допущенным к выполнению работы следует:

• получить у преподавателя уравнения САР 5 и 6 порядков;

• провести исследования устойчивости первой и второй систем на ЭВМ и получить ответы на вопросы об устойчивости;

• если САР оказались неустойчивыми, изменить коэффициенты их характеристических уравнений так, чтобы устойчивость была обеспечена.

3. Краткие теоретические сведения

Под устойчивостью САР понимается ее способность приходить к состоянию равновесия после исчезновения факторов, которые вывели ее из этого состояния.

Пусть САР описывается следующим линейным дифференциальным уравнением порядка n:

D(p)y = K(p)z (1)

Если она устойчивая, то регулируемая величина у(t) с течением времени стремится к определенному ограниченному значению. Доказано, что устойчивость САР определяется тем, что общее решение

(2)

однородного дифференциального уравнения

D(p)y = 0 (3)

с течением времени стремится к нулю:

. (4)

Здесь c_i – постоянные интегрирования;

p_i – корни характеристического уравнения

(5)

Доказано, что выполнение условия (4) обеспечивается в том и только в том случае, если вещественные части всех корней характеристического уравнения (3) будут отрицательны (теорема Максвелла).

Вследствие серьезных затруднений, возникающих при вычислении корней уравнений высоких степеней, для анализа устойчивости применяют КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ – способы анализа устойчивости без нахождения корней. Хорошо известны критерии Гурвица, Михайлова, Найквиста и другие (излагаются на лекциях).

4. Содержание и оформление отчета

Отчёт должен содержать:

4.1. Контрольные вопросы и ответы на них.

4.2. Изображения графиков переходных процессов для устойчивых и неустойчивых систем.

4.3. Характеристические уравнения заданных систем.

4.4. Соответствующие определители Гурвица и их числовые значения.

4.5. Соответствующие кривые Михайлова.

Лабораторная работа № 4.

ЗАКОНЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ.

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ОБЪЕКТА И РЕГУЛЯТОРА.

Файл “PID.vee”, папка «ЛаборЕх».

1. Контрольные вопросы

1. Что называется законом регулирования?

2. Запишите закон регулирования для ПИД-регулятора и покажите, какие частные случаи при этом возможны.

3. С помощью каких регуляторов возможно полное устранение установившейся ошибки регулирования?

4. Почему П-регулятор не сводит ошибку регулирования к нулю?

5. Каковы недостатки САР с И-регулятором?

6. Каких результатов можно достичь путем применения ПИ-регулятора?

2. Допущенным к выполнению работы следует:

• получить у преподавателя математическое описание объекта регулирования;

• вычислить значения показателей качества переходного процесса объекта без регулятора при действии внешнего возмущения единичной величины;

• рассмотреть САР, содержащую заданный объект при различных типах регуляторов: пропорциональном П, интегральном И, пропорционально-интегральном ПИ;

• задавшись по желанию коэффициентами усиления этих регуляторов, определить показатели качества регулирования в САР для каждого случая (П, И, ПИ);

• проанализировать достоинства и недостатки каждой САР в отношении качества регулирования;

• показать пути улучшения всех показателей качества регулирования при использовании ПИ-регулятора;

• выполнить экспериментальную часть работы;

• проанализировать влияние Д-составляющей в законе регулирования (коэффициент k_g);

• сравнить полученные результаты.

3. Краткие теоретические сведения

Объект регулирования (ОР) часто имеет математическое описание в виде дифференциального уравнения первого порядка

(Т_ор+1)y = k_хх+k_zz . (1)

Известно, что переходный процесс в таком объекте при действии единичного возмущения z_o = 1 характеризуется такими показателями качества:

- установившаяся ошибка

- продолжительность переходного процесса

- процесс неколебательный.

Законом регулирования называется функциональная зависимость выходной величины регулятора (регулирующее воздействие) от входной его величины (регулируемая величина).

В практике автоматического регулирования наибольшее распространение получили (с убыванием распространенности по мере усложнения) следующие типы регуляторов:

- пропорциональный (П-) регулятор

х= -k_py; (2)

- интегральный (И-)

(3)

- пропорционально-интегральный (ПИ-)

(4)

- пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД-)

(5)

Здесь коэффициенты k_p, k_i, k_d – коэффициенты усиления регулятора соответственно по пропорциональной, интегральной и дифференциальной составляющим. Они могут быть изменены в процессе настройки регуляторов.

Смысл знаков минус в уравнениях 2…5 заключается в том, что обратная связь, осуществляемая регулятором, должна быть отрицательной, что физически означает: действия регулятора направлены на уменьшение отклонения регулируемой величины.

При рассмотрении системы «объект – П – регулятор» уравнение ее получается таким:

(6)

Показатели качества регулирования в такой САР:

(7)

и переходный процесс неколебательный.

Увеличением k_p (настройки регулятора) можно уменьшить ошибку регулирования, однако нельзя ее полностью устранить вследствие технической неосуществимости необходимого для этого условия

k_p = .

Если объект снабжен И-регулятором, то уравнение САР примет вид:

(T_op² + p + k_xk_i) y = k_zpz. (8)

Показатели качества регулирования:

Это несомненное достоинство системы (высокая статическая точность) достигается, однако, да счет ухудшения других показателей. Поскольку САР описывается уравнением 2 порядка, в ней возможен колебательный переходный процесс. В случае колебательного переходного процесса продолжительность его:

(9)

а если настройкой регулятора (изменением k_i) обеспечить неколебательный процесс, то его продолжительность будет:

(10)

Результаты (9) и (10) следуют из приближенной оценки времени переходного процесса по корням характеристического уравнения

T_op² + p + k_xk_i = 0 (11)

для случаев комплексных и вещественных корней.

Система с ПИ-регулятором. Ее уравнение:

[Tp² + (1 + k_xk_p)p + k_xk_i] y = k_zpz. (12)

Показатели качества регулирования такой САР:

по аналогии с системой, имеющей И-регулятор.

Здесь появляется вывод о том, что для обеспечения нулевой установившейся ошибки должен быть применен регулятор, имеющий в законе регулирования интегральную составляющую.

Анализ корней характеристического уравнения

[Tp² + (1 + k_xk_p)p + k_xk_i] = 0 (13)

и связанных с ними колебательности и продолжительности переходного процесса позволяет сделать такой вывод:

- надлежащей настройкой коэффициентов k_p и k_i может быть обеспечен неколебательный переходный процесс с малой продолжительностью.

В случае ПИД-регулятора уравнение САР имеет вид:

[(T + k_xk_d)p² + (1 + k_xk_p)p + k_xk_i] y = k_zpz. (14)

Здесь обращает на себя внимание тот факт, что влияние коэффициента k_d имеет определенную специфику, особенно учитывая, что его можно вводить с разными знаками.

Это влияние удобно проследить на ЭВМ.

4. Содержание и оформление отчета.

Отчет должен содержать:

4.1. Контрольные вопросы и ответы на них.

4.2. Дифференциальные уравнения объекта регулирования, регуляторов различных типов (П, ПИ, ПИД,) и соответствующих САР.

4.3. Зарисовки графиков переходных процессов для объекта без регулятора и систем с регуляторами типа П, ПИ, ПИД, настроенных студентом на хорошее, по его мнению, качество регулирования.

4.4. Записать показатели качества процессов регулирования для случаев, указанных в п. 3.3.

Лабораторная работа № 5

СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРА

Файл “obgg1.vee”.

1. Контрольные вопросы.

1. В чем заключается смысл задач анализа и синтеза САР?

2. Каким способом можно уменьшить установившуюся ошибку регулирования в САР?

3. Как влияет увеличение постоянной времени регулятора на продолжительность переходного процесса в САР?

4. Как влияет постоянная времени регулятора на величину статической ошибки в САР?

5. Как связаны между собой продолжительность переходного процесса и постоянная времени у объекта первого порядка без регулятора?

6. Как определяется продолжительность переходного процесса в системе 2 порядка отдельно для случаев вещественных и комплексных корней характеристического уравнения?

2. Допущенным к выполнению работы следует:

• получить у преподавателя математическое описание объекта регулирования и требования к качеству регулирования проектируемой САР;

• решить задачу синтеза регулятора аналитически;

• проверить на ЭВМ, правильно ли определены коэффициенты уравнения регулятора, давая отклонения коэффициентов от расчетных и анализируя показатели качества регулирования.

3. Краткие теоретические сведения

В отличие от задач анализа САР, где по заданным математическому описанию и законам изменения во времени входных величин САР (возмущение z(t) и управление u(t)) определяется поведение регулируемой величины y(t), задача синтеза посвящена нахождению математического описания САР (а чаще, при известном объекте, регулятора) по заданным законам z(t), u(t) и требованиям к показателям качества регулирования. Решение такой задачи позволяет правильно настраивать уже готовый регулятор либо сконструировать и построить новый.

Задача синтеза значительно сложнее задачи анализа, поскольку можно построить несколько регуляторов, обеспечивающих решение задачи синтеза. Большая группа задач синтеза носит название «аналитическое конструирование регуляторов».

В рассматриваемой здесь задаче считается, что свойства объекта регулирования (его математическое описание) известны, и объект описывается дифференциальным уравнением

(T_op + 1) y = k_xx + z,

причем возмущение z имеет ступенчатый характер:

t  0, z = 0, t  0, z = 1(t),

а коэффициенты Т_о и k_x известны.

Регулятор предполагается описывающимся дифференциальным уравнением первого порядка (нередко такое описание встречается)

(T_pp + 1) x = -k_py,

причем необходимо определить численные значения коэффициентов T_p и k_p, которые обеспечивают:

• гарантированную установившуюся ошибку не хуже ε (ею задаются);

• неколебательный переходный процесс при максимально допустимом значении Т_р (чем больше Т_р, тем легче изготовить регулятор).

При этом необходимо определить продолжительность переходного процесса в системе.

3.1. Уравнения САР

(задано) (1)

Выразив из второго уравнения

(2)

и подставив в первое, получим уравнение замкнутой САР:

[(T_op + 1)(T_pp + 1) + k_xk_p] y = (T_pp + 1) z, (3)

или

[T_oT_pp² + (T_o + T_p) p + (1 + k_xk_p)] y = (T_pp + 1) z. (4)

Уравнение установившегося режима получаем, приравнивая нулю оператор дифференцирования

р = 0,

откуда

т.к. z₀ = 1.

Установившаяся ошибка САР:

. (6)

Будем стремиться удовлетворить слабое требование, то есть

. (7)

Отсюда

1 = ε (1 + k_xk_p); (8)

В дальнейших формулах будем считать, что k_p уже вычислено.

3.2. Неколебательность процесса

Корни характеристического уравнения

T_oT_pp² + (T_o + T_p) p + (1 + k_xk_p) = 0 (9)

не должны быть комплексными, то есть дискриминант

D = (T_o + T_p)² – 4T_oT_p (1 + k_xk_p)  0, (10)

или иначе

(T_o – T_p)² – 4T_oT_pk_xk_p  0 (11)

Отсюда определяется диапазон возможных значений Т_р (учтем, что Т_р  0):

(12)

(13)

3.3. Продолжительность переходного процесса

Для неколебательного процесса она определяется как

где ₁ – модуль корня характеристического уравнения (9):

(14)

Анализ этого выражения при D = 0 показывает, что с ростом Т_р продолжительность переходного процесса возрастает. Это легко усмотреть и из тех соображений, что при стремлении Т_р к нулю инерционность системы снижается.

Следовательно, наилучшим вариантом решения поставленной задачи в смысле постоянной времени регулятора является

(12)

что означает возможность обеспечения малой длительности переходного процесса.

Примечание. Если располагать абсолютно безинерционным регулятором, то уравнение САР

и продолжительность процесса зависит только от величины коэффициента усиления регулятора k_p (при заданных свойствах объекта регулирования).

4. Содержание и оформление отчета

Отчет должен содержать:

4.1. Контрольные вопросы и ответы на них.

4.2. Формулировку задачи синтеза регулятора.

4.3. Уравнения объекта, регулятора и САР.

4.4. Формулу для вычисления и вычисленную величину коэффициента усиления регулятора, обеспечивающего ошибку регулирования не больше заданной.

4.5. Условие неколебательности переходного процесса.

4.6. Формулы для вычисления продолжительности неколебательного процесса.

4.7. Формулу для вычисления и вычисленную величину постоянной времени регулятора, обеспечивающего неколебательный переходный процесс в САР.

4.8. Графики переходных процессов объекта без регулятора и САР, скопированные с дисплея ЭВМ.

Лабораторная работа № 6

АВТОКОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ САР

Папка «ЛаборЕх».

1. Контрольные вопросы

1.1. Что собою представляют автоколебания?

1.2. Дайте краткий ответ на вопрос, при каких условиях в САР возникают автоколебания, используя понятия устойчивости «в большом» и «в малом».

1.3.Чем отличаются автоколебания от границы устойчивости линейных САР?

1.4. В чём заключается идея метода Крылова-Боголюбова приближённого расчёта САР на автоколебания?

1.5. Приведите выражения для коэффициентов гармонической линеаризации нелинейных характеристик.

1.6. Кратко опишите путь решения задачи о нахождении параметров автоколебаний.

2. Допущенным к выполнению работы следует:

• получить у преподавателя параметры передаточной функции линейной части САР и параметры нелинейной характеристики;

• найти аналитическое выражение коэффициента гармонической линеаризации нелинейной характеристики в зависимости от параметров заданной нелинейной характеристики;

• ввести данные по параметрам САР и начальным условиям в условия задачи;

• зарегистрировать результаты: факт существования или отсутствия автоколебаний, амплитуду и частоту их (если они есть);

• задавая различные начальные условия, сравнить амплитуды автоколебаний при малых и больших начальных отклонениях выходной величины;

• задать начальные условия такими: начальное отклонение выходной величины меньше порога срабатывания, производные её равны нулю. Объяснить наблюдаемый эффект.

3. Краткие теоретические сведения

Нелинейным системам свойственна возможность возникновения особого режима – автоколебаний. Это незатухающие колебания, которые невозможно объяснить с позиций линейного математического аппарата. Существование автоколебаний очень часто является вредным, приводя к преждевременному выходу из строя объектов регулирования, нередко с катастрофическими последствиями. Поэтому важно уметь оценить, возможны ли автоколебания в системе и, если да, то вычислить их параметры и указать путь к их ослаблению либо устранению.

Физическая картина возникновения автоколебаний

Явление автоколебаний наблюдается только в нелинейных системах. Внешне оно выражается в существовании режимов незатухающих колебаний и в некоторой степени является аналогом границы устойчивости линейных систем, однако имеет существенные отличия. Одно из них – в линейной системе, находящейся на границе устойчивости, преобразование кинетической энергии в потенциальную и обратно происходит без потерь, тогда как при автоколебаниях происходит рассеяние энергии, и её потери восполняются из каких-либо источников (объект регулирования либо регулятор непрямого действия, либо, наконец, внешняя среда). Для уяснения физической картины возникновения автоколебаний рассмотрим систему (рис.6.1), содержащую линейную часть с передаточной функцией W_л и нелинейный элемент типа «ограничение по мощности» c нелинейной характеристикой x = F(y).

Рис.6.1. Нелинейная САР.

Рассмотрим вспомогательную линейную систему (рис.6.2), имеющую вместо нелинейного элемента линейное звено с передаточной функцией W=k_л.

Рис.6.2. Вспомогательная система.

Выполним анализ этой системы на устойчивость. Для этого найдём передаточную функцию замкнутой системы:

. (1)

Характеристическое уравнение этой системы

. (2)

Применяя, например, критерий устойчивости Гурвица, можно сделать следующие заключения:

(3)

Отсюда можно сделать такие заключения относительно k_л:

(4)

Возвратимся к исходной нелинейной системе. Будем рассматривать нелинейный элемент как будто бы линейный, но имеющий следующее отличие от действительно линейного. В то время как линейный элемент имеет коэффициент усиления

,

у нелинейного элемента отношение выходной величины ко входной («коэффициент усиления нелинейного элемента» k_н) не постоянно и является функцией входной величины:

.

Для рассматриваемой нами нелинейной характеристики эта функция имеет вид (рис.6.3):

Рис.6.3. Зависимость k_н от входной величины нелинейного

элемента типа «ограничение по мощности».

При таком подходе устойчивость либо неустойчивость САР определяется условиями

(5)

При больших начальных отклонениях у коэффициент k_н мал, и система обладает свойством устойчивости, то есть колебания величины у стремятся затухнуть. О таком свойстве нелинейной системы говорят, что система «устойчива в большом». При малых начальных отклонениях у коэффициент k_н велик, система не обладает свойством устойчивости, и колебания нарастают. Система «неустойчива в малом». Однако это одна и та же система, поэтому независимо от величины начального отклонения у в системе самопроизвольно установятся незатухающие колебания, соответствующие некоторому критическому значению k_н (рис.6.4),которые по причине самовозникновения названы автоколебаниями.

Рис.6.4. Автоколебания.

Будучи некоторым аналогом границы устойчивости линейных систем, автоколебания, однако, существенно отличаются от границы устойчивости линейных систем. Пусть, например, характеристическое уравнение линейной САР имеет вид

р³ + Ар² + Вр + 1=0.

Эта система находится на границе устойчивости при условии

А>0; В>0; АВ=1.

При любом сколь угодно малом изменении коэффициентов А или В система уйдёт с границы устойчивости, став либо устойчивой (АВ>1), либо неустойчивой (АВ<1). В нелинейной же системе при изменении каких-либо параметров она не обязательно уйдёт с границы устойчивости. В ней может установиться режим новых автоколебаний, соответствующий новому критическому значению k_н, при котором изменятся параметры колебаний (амплитуда,частота, фаза). Система как бы «сама» подбирает новое значение k_н.

4. Отчёт должен содержать:

4.1.Контрольные вопросы и ответы на них.

4.2.Зарисовки с дисплея процессов входа САР в режим автоколебаний при различных начальных условиях, включая случай, когда начальное отклонение выходной величины меньше порога срабатывания нелинейной характеристики.