5. Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества.

–1	2	–4	5
2	3	–2	–3

Р

M₁X= -3x+2

M₂X=-x+3

M₃X=6х-2

M₄X=8x-3

ассмотрим варианты: первый играет по смешанной стратегии, а второй по чистой. Подсчитаем математическое ожидание выигрыша:

M₁X= -1∙x∙1+2∙(1-x)∙1

M₂X=2∙x∙1+3∙(1-x)∙1

M₃X=4∙x∙1-2∙(1-x)∙1

M₄X=5∙x∙13∙(1-x)∙1

Графическое решение этой игры показано на рисунки:

На рисунке ищем верхнюю точку нижней огибающей, это точка М. Она показывает цену игры и оптимальную стратегию первого игрока.

Точка М находится на пересечении прямых (1) и (4):

-3+2x=8x-3

11x=5

x=5/11

Q^*- оптимальная смешенная стратегия первого игрока.

Q^*=(5/11; (1-5/11))

Q^*=(5/11; 6/11)

γ- цена игры

γ=-3∙5/11+2=7/11

Так как точка М лежит на пересечении первого и четвертого выражения, то оптимальную смешенную стратегию для второго игрока будим выбирать в виде.

–1	2	–4	5
2	3	–2	–3
q	0	0	1-q

0 ≤ q ≤ 1

Рассмотрим варианты, когда второй игрок играет в смешанных стратегиях, а первый в чистых можно рассмотреть два варианта.

Q₁^*=5/11>0

Q₂^*=6/11>0

Можно выбрать любое из них:

M₁(q)= –1q∙1+2∙0∙1–4∙0∙1+5∙(1–q)∙1= –6q+5

M₁(q)= γ

–6q+5=7/11

q=8/11

Q^*=(8/11; 0; 0; 3/11)

Q^*- оптимальные смешенные стратегии второго игрока

Так как в этой задаче четыре вероятности больше 0, то существует пять вариантов игры, для которых мат. выигрыша первого игрока одно и то же и равно цене игры.

Вот эти варианты:

M(P^*;Q^*)=M((1;0);Q^*)=M((0;1);Q^*)=M(P^*(0;0;0;1)= γ=7/11

M(P*;Q*)= γ=7/11

–1	2	–4	5
2	3	–2	–3

1. P^*= (5/11; 6/11)

Q^*=(8/11; 0; 0; 3/11)

x	–1	2	–4	5	2	3	–2	–3
p	40/121	0	0	48/121	15/121	0	0	18/121

DX₁=MX₁²– (MX₁)²

MX₁= γ=5/11

MX₁²=1∙40/121+25∙48/121+4∙15/121+9∙18/121= 1462/121

DX₁=1462/363– (5/11)²=1462/121–25/121=1462/121

σX₁=√DX₁=√1462/121≈3.48

2. P*=(1; 0)

Q^*=(8/11; 0; 0; 3/11)

x	–1	2	–4	5	2	3	–2	–3
p	8/11	0	0	3/11	0	0	0	0

DX₂=MX₂²– (MX2)²

MX₂= γ=7/11

MX₂²= 1∙8/11+25∙3/11=83/11

DX₂=83/11– (7/11)²=913/121–49/121=864/121

σX₂=√DX₂=√864/121≈2.67

3. P*=(0; 1)

Q^*=(8/11; 0; 0; 3/11)

x	–1	2	–4	5	2	3	–2	–3
p	0	0	0	0	8/11	0	0	3/11

DX₃=MX₃²– (MX₃)²

MX₃= γ=7/11

MX₃²=4∙8/11+9∙3/11=59/11

DX₃=59/11– (7/11)²=649/121–49/121=600/121

σX₃=√DX₃=√600/121≈4,96

4. P^*= (5/11; 6/11)

Q*=(1;0;0;0)

x	–1	2	–4	5	2	3	–2	–3
p	5/11	0	0	0	6/11	0	0	0

DX₄=MX₄²– (MX₄)²

MX₄= γ=5/11

MX₄²=1∙5/11+4∙6/11=29/11

DX₄=29/11– (5/11)²=29/11–25/121=294/121

σX₄=√DX₄=√294/11≈1.56

5. P^*= (5/11; 6/11)

Q*=(0;0;0;1)

x	–1	2	–4	5	2	3	–2	–3
p	0	0	0	5/11	0	0	0	6/11

DX₅=MX₅²– (MX₅)²

MX₅= γ=7/11

MX₅²=25∙5/11+9∙6/11=179/11

DX₅=179/11– (7/11)²=1969/121–49/121=1920/121

σX₅=√DX₅=√1920/121≈3.98

Ищем вариант игры, в которых риск наибольший соответствует наибольшей конкуренции, и вариант, в котором риск наименьший соответствует наибольшему сотрудничеству.

Наибольшая конкуренция достигается в пятом варианте, когда первый играет по смешенной стратегии, а второй выбирает четвертый столбец.

Наибольшее сотрудничество достигается в четвертом варианте, когда второй играет по смешанным стратегиям, а первый выбирает первую чистую стратегию.