6. Матричная модель производственной программы

Предприятие состоит из n цехов. Каждый цех выпускает только один вид продукции. Пусть j-й цех выпускает x_j единиц продукции, из которых y_j единиц отправляет за пределы предприятия как товарную продукцию, а остающаяся часть используется другими цехами предприятия.

Пусть a_jk – кол-во продукции j-го цеха, расходуемое на производство единицы продукции k-го цеха. Числа a_ij образуют матрицу А коэффициентов прямых затрат, называемую структурной. Производственная программа предприятия представляется вектором X(x₁, … , x_n), а выпуск товарной продукции – вектором У(у₁, … , у_n). Очевидно, (Е - А)Х = У или Х = (Е - А)^-1У.

Элементы любого столбца матрицы (Е - А)^-1, называемой матрицей коэффициентов полных затрат, показывают затраты всех цехов, необходимые для обеспечения выпуска единицы товарного продукта того цеха, номер которого совпадает с номером данного столбца.

При заданном векторе У выпуска товарной продукции легко определить производственную программу Х и наоборот.

Дополнив структурную матрицу А матрицей В коэффициентов прямых затрат, получаемых со стороны сырья, полуфабрикатов и т.п. Очевидно, затраты получаемых со стороны материалов определяются элементами матрицы S, где H *У = S, а H=В* (Е - А)^-1– матрица коэффициентов полных затрат сторонних материалов.

Зная закупочные цены сырья и рыночные цены готовой продукции, можно подсчитать прибыль.

Экономическая система из 4-х взаимосвязанных отраслей производства, каждая из которых выпускает один вид продукции. Продукция идет либо на экспорт, либо на внутреннее потребление.

Дана структурная матрица производства

	0,1	0,2	0,3
A=	0	0,1	0,2
	0,1	0,4	0

матрица коэффициентов прямых затрат

	0	2	3
B=	4	3	0
	10	12	14
	0,1	0,3	0,4

вектор товарной продукции ( Y_i – конечный продукт идущий на экспорт)

	40
Y=	30
	50

i – номер отрасли.

Определить: матрицу коэффициентов полных затрат Q (затраты на товарный выпуск), вектор производственной программы X, матрицу Н коэффициентов полных затрат внешних ресурсов на единицу выпуска товарной продукции каждого вида и вектор S полных затрат всех видов ресурсов, необходимых на весь объём товарной продукции.

С помощью преобразований Жордана–Гаусса найдём элементы обратной матрицы:

	1	0	0		0,1	0,2	0,3		0,9	-0,2	-0,3
Е – А=	0	1	0	–	0	0,1	0,2	=	0	0,9	-0,2
	0	0	1		0,1	0,4	0		-0,1	-0,4	1

	1,16	0,45	0,44
Q=(E – A)^-1=	0,03	1,23	0,25
	0,13	0,54	1,15

Вектор производственной программы найдём так:

	1,16	0,45	0,44		40		46,4+	13,5+	22
X = Q * Y=	0,03	1,23	0,25	*	30	=	1,2 +	36,9+	12,5
	0,13	0,54	1,15		50		5,2 +	16,2+	57,5

	81,9
X = Q * Y=	50,6
	78,9

Матрицу Н найдём по формуле:

	0	2	3		1,16	0,45	0,44		0,99	4,08	3,95
Н = B * Q	4	3	0	*	0,03	1,23	0,25	=	4,73	5,49	2,51
	10	12	14		0,13	0,54	1,15		13,78	26,82	23,5
	0,1	0,3	0,4						0,177	0,623	0,575

Вычислим элементы вектора S:

	0,99	4,08	3,95		40		359,5
S = H * Y=	4,73	5,49	2,51	*	30	=	479,4
	13,78	26,82	23,5		50		2530,8
	0,177	0,623	0,575				54,52

Ответ:

1) матрица коэффициентов полных затрат равна:

	1,16	0,45	0,44
Q=(E – A)^-1=	0,03	1,23	0,25
	0,13	0,54	1,15

2) вектор производственной программы X:

	81,9
X = Q * Y=	50,6
	78,9

3) матрица Н коэффициентов полных затрат внешних ресурсов на единицу выпуска товарной продукции каждого вида:

	0,99	4,08	3,95
Н = B * Q=	4,73	5,49	2,51
	13,78	26,82	23,5
	0,177	0,623	0,575

4) вектор S полных затрат всех видов ресурсов:

	359,5
S = H * Y=	479,4
	2530,8
	54,52