elementarna_matematyka / Робоча програма

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Полтавський національний педагогічний університет імені В.Г. Короленка

Фізико-математичний факультет

ЗАТВЕРДЖУЮ	УХВАЛЕНО
Голова вченої ради	на засіданні кафедри математики
фізико-математичного факультету	(протокол № 1 від 31.08.2011 р.)
______________ Ю. Москаленко	Зав. кафедри________Ю. Москаленко
5.09.2011 р.

ЕЛЕМЕНТАРНА МАТЕМАТИКА

Робоча навчальна програма

Для студентів ІІ-ІV курсу Напряму підготовки 6.040201 „Математика”

Розробники: Москаленко О.А. – к. п. н., доц., Черкаська Л.П. – к. п. н.

Полтава – 2011

СТРУКТУРА ПРОГРАМИ НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ „ЕЛЕМЕНТАРНА МАТЕМАТИКА”

ОПИС ПРЕДМЕТА НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ

	Курс: 2 - 4	Галузь знань,напрям	Характеристика
	Підготовка	підготовки, освітньо-
			навчальної дисципліни
	бакалаврів	кваліфікаційний рівень
	Кількість кредитів	Галузь знань: 0402	Нормативна дисципліна
	ЕСТS: 16	Фізико-математичні	Рік підготовки: 2 - 4,
		науки
	Модуль: 5+5		семестр: 3 - 7
	(індивідуальні	Напрям підготовки:	Лекції
	завдання)	6.040201 „Математика”	(теоретична підготовка):
	Змістових модулів:		74 годин
	10	Освітньо-кваліфікаційний	Практичні заняття:
		рівень: бакалавр	172 годин
			Самостійна робота:
	Загальна кількість		165 годин
	годин: 576		Індивідуальна робота:
			165 годин
	Тижневих годин:		індивідуальні завдання
	3 – 4; 4 - 4; 5 – 2;
	6 – 2; 7-4		Вид підсумкового контролю:
			3 заліки, 1 екзамен

Мета курсу „Елементарна математика” – повторити, розширити,

поглибити і систематизувати знання студентів зі шкільного курсу математики, які становлять основу для подальшої фундаментальної і фахової підготовки майбутнього вчителя математики.

Курс передбачає комплексне опрацювання основних змістових ліній шкільних курсів алгебри і геометрії: числа та обчислення; вирази та їх перетворення; рівняння, нерівності та їх системи; функції та їх графіки;

елементи прикладної математики; геометричні фігури; геометричні величини.

У процесі вивчення курсу студенти оволодівають системою методів розв’язування задач з курсів алгебри і початків аналізу та геометрії основної школи (аналітичний, синтетичний, векторний, координатний, від супротивного тощо)

Знання, навички й уміння, отримані студентами під час вивчення курсу,

сприяють розвитку загальної математичної культури, необхідної для глибокого розуміння цілей і завдань як основного шкільного курсу математики, так і шкільних факультативних курсів, забезпечують творчий рівень виконання майбутніми вчителями математики основних виробничих функцій.

МОДУЛЬ А (рік навчання 2, семестр 3)

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 1

ЧИСЛОВІ МНОЖИНИ. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА (рік навчання 2, семестр 3)

Тема 1.1. Натуральні числа, арифметичні дії та їх властивості

Множина. Елемент множини. Підмножина. Рівні множини. Операції над множинами та їх ілюстрація за допомогою кругів Ейлера-Венна.

Натуральні числа. Арифметичні дії та їх властивості. Прості і складені числа. Ознаки подільності. НСД, НСК натуральних чисел. Метод математичної індукції.

Тема 1.2. Раціональні числа, арифметичні дії та їх властивості

Уведення нуля. Цілі числа. Арифметичні дії над цілими числами. Модуль числа.

Раціональні числа. Арифметичні дії над раціональними числами. Подання раціонального числа у вигляді десяткового дробу. Періодичний дріб. Відношення і пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки.

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 2

ДІЙСНІ ЧИСЛА. КОМБІНАТОРИКА (рік навчання 2, семестр 3)

Тема 2.1. Дійсні числа, дії над дійсними числами.

Ірраціональні числа. Наближені значеня чисел. Абсолютна і відносна похибка наближеного значення величин. Дійсні числа. Дії над дійсними числами. Модуль дійсного числа. Послідовності. Арифметична прогресія. Геометрична прогресія.

Формули n-го члена арифметичної і геометричної прогресій. Формули суми n перших членів прогресій. Формула суми n членів геометричної прогресії зі знаменником q 1.

Тема 2.2. Комбінаторика

Основні задачі елементарної комбінаторики. Перестановки, комбінації, розміщення (з повтореннями та без повторень).

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 3

ТОТОЖНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ ВИРАЗІВ (рік навчання 2, семестр 4)

Тема 3.1. Перетворення виразів зі змінними. Цілі вирази. Перетворення цілих виразів

Перетворення суми, різниці многочленів. Перетворення добутку многочленів. Піднесення одночлена до степеня. Тотожності скороченого множення. Трикутник Паскаля. Перетворення ділення. Многочлен та його корені. Теорема Безу. Подільність двочлена xn an на x a (n N ). Розклад многочленів на множники.

Тема 3.2. Перетворення дробових виразів. Степені і корені. Дії над степенями з раціональними показниками

Дії над дробовими раціональними виразами. Теорема про тотожну рівність двох многочленів та її застосування до перетворення дробу.

Степінь з натуральним показником. Поняття про корінь п- го степеня. Перетворення арифметичних коренів. Степінь з цілим показником. Степінь з дробовим показником. Дії над степенями з раціональними показниками.

МОДУЛЬ Б (рік навчання 2, семестр 4)

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 4

РІВНЯННЯ, СИСТЕМИ РІВНЯНЬ. МЕТОДИ ЇХ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ (рік навчання 2, семестр 4)

Тема 4.1. Загальні відомості про рівняння. Раціональні рівняння. Системи раціональних рівнянь

Елементарні рівняння, їх класифікація. Корінь рівняння. Область допустимих значень. Сукупність рівнянь. Рівносильність рівнянь і сукупностей рівнянь. Теореми про рівносильність рівнянь і наслідки з них. Поява сторонніх коренів і втрата коренів у процесі розв’язування рівнянь. Загальні методи розв’язування рівнянь. Наслідок рівняння.

Алгебраїчне рівняння з однією змінною. Основна теорема алгебри. Кількість коренів алгебраїчного рівняння. Раціональні рівняння. Лінійні рівняння з однією змінною. Квадратні рівняння. Неповні квадратні рівняння. Теорема Вієта та обернена до неї. Розклад квадратного тричлена на лінійні множники. Біквадратні рівняння. Дробово-раціональні рівняння. Двочленні рівняння. Тричленні рівняння. Симетричні рівняння 4-го степеня. Рівняння, що розв’язуються підбором кореня з наступним пониженням степеня. Схема Горнера. Методи розв’язування рівнянь.

Рівняння з кількома змінними. Поняття про систему рівнянь. Рівносильність систем. Система двох лінійних рівнянь з двома змінними. Способи розв’язування систем лінійних рівнянь. Дослідження системи двох лінійних рівнянь з двома змінними. Лінійні системи з трьома змінними. Системи n рівнянь з n змінними (n>2). Симетричні системи. Нелінійні системи. Розв’язування нелінійних систем.

Тема 4.2. Рівняння, що містять змінну під знаком модуля. Ірраціональні рівняння

Рівняння, що містять змінну під знаком модуля. Методи розв’язування рівнянь з модулями. Системи рівнянь з модулями.

Ірраціональні рівняння. Область допустимих значень. Про можливість порушення рівносильності при піднесенні обох частин рівняння до квадрату. Методи розв’язування ірраціональних рівнянь. Зведення ірраціонального рівняння до лінійної раціональної системи введенням нових змінних. Розв’язування систем, що містять раціональні та ірраціональні рівняння.

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 5

НЕРІВНОСТІ. СИСТЕМИ ТА СУКУПНОСТІ НЕРІВНОСТЕЙ. МЕТОДИ ЇХ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ

(рік навчання 2, семестр 4)

Тема 5.1. Загальні відомості про нерівності. Метод інтервалів. Системи, сукупності раціональних нерівностей

Порівняння дійсних чисел. Нерівність. Строгі і нестрогі нерівності. Загальні властивості числових нерівностей. Нерівності зі змінними. Нерівності з однією змінною. Рівносильність нерівностей.

Розв’язування нерівностей з однією змінною. Квадратні нерівності. Дробово-раціональні нерівності з однією змінною. Розв’язування нерівностей за допомогою виділення проміжків знакосталості функції (метод інтервалів).

Системи і сукупності нерівностей з однією змінною. Розв’язування систем і сукупностей нерівностей з однією змінною. Нерівності і системи нерівностей з двома змінними.

Тема 5.2. Нерівності з модулем. Ірраціональні нерівності. Мішані системи

Нерівності, що містять змінну під знаком модуля. Методи розв’язування нерівностей з модулем.

Ірраціональні нерівності. Методи розв’язування ірраціональних нерівностей з однією змінною.

Системи лінійних нерівностей з модулями з однією і двома змінними. Мішані системи рівнянь і нерівностей.

МОДУЛЬ В (рік навчання 3, семестр 5)

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 6

АЛГЕБРАЇЧНІ ФУНКЦІЇ. ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ ТА ПОБУДОВА ЇХ ГРАФІКІВ

У ДЕКАРТОВІЙ СИСТЕМІ КООРДИНАТ (рік навчання 3, семестр 5)

Тема 6.1. Основні відомості про функцію. Елементарні функції, їх властивості та графіки

Поняття функції. Способи задання функції. Елементарні функції. Монотонність, періодичність, парність, опуклість функції. Обернені функції. Складені функції. Дослідження функції у декартовій системі координат. Нулі і знаки функції. Характерні точки графіка функції. Асимптоти графіка функції. Порядок дослідження функції і схема побудови її графіка.

Степенева функція. Степенева функція з натуральним показником. Степенева функція з цілим від’ємним показником. Степенева функція з раціональним показником. Степенева функція з ірраціональним показником. Функції y x ,y f x ,y x ,y f x , їх властивості та графіки.

Тема 6.2. Дії з графіками. Перетворення графіків у декартовій системі координат. Графіки елементарних функцій

Арифметичні дії над графіками (додавання, віднімання, множення, ділення графіків функцій). Перетворення графіків функцій.

Побудова графіків, аналітичний вираз яких містить знак модуля. Алгебраїчні функції та їх графіки. Лінійна функція. Квадратична

функція. Кубічна функція. Біквадратна функція. Многочлен п-ного степеня

y a0xn a1xn 1 ... an 1x an . Функція виду

y ax2 bx c n ,n–ціле

додатне число. Дробово-раціональна функції та їх графіки. Дробово-лінійна, дробово-раціональна функція. Ірраціональні функції та їх графіки. Функція

виду y ax b . Функція виду y ax2 bx c .

Тема 6.3. Графіки параметрично заданих функцій. Графіки неявно заданих функцій.

Дослідження параметрично заданих функцій. Побудова графіків параметрично заданих функцій. Дослідження неявно заданих функцій. Побудова графіків неявно заданих функцій. Дослідження кривих, заданих алгебраїчними рівняннями другого степеня. Графіки неявних функцій, аналітичний вираз яких містить знак модуля. Побудова графіків функцій, заданих кількома аналітичними виразами. Побудова графіків функцій, заданих деяким рекурентним співвідношенням.

МОДУЛЬ Г (рік навчання 3, семестр 6)

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 7

ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ НА ПЛОЩИНІ. МНОГОКУТНИКИ (рік навчання 3, семестр 6)

Тема 7.1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості. Взаємне розміщення прямих на площині

Основні властивості найпростіших геометричних фігур. Аксіоми. Теореми і доведення.

Перпендикулярні прямі. Теорема про проведення перпендикулярної прямої через кожну точку даної прямої. Перпендикуляр і похила. Паралельні прямі. Ознаки паралельності прямих.

Властивість кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною. Кути: гострі, прямі, тупі; вертикальні; суміжні; доповняльні (означення; властивості).

Тема 7.2. Трикутники. Чотирикутники. Многокутники. Властивості та ознаки многокутників

Трикутник, його елементи. Означення і ознаки рівності трикутників. Рівнобедрений трикутник, його ознака, властивості. Властивість бісектриси рівнобедреного трикутника. Медіана трикутника. Теорема про точку перетину медіан трикутника. Бісектриса трикутника. Теорема про точку перетину бісектрис трикутника. Сума внутрішніх кутів трикутника. Нерівність трикутника. Зовнішні кути трикутника, їх властивості. Теорема про бісектрису зовнішнього кута трикутника та наслідки з неї. Теорема Піфагора та наслідки з неї. Теорема, обернена до теореми Піфагора. Прямокутний трикутник; ознаки рівності та подібності. Співвідношення між сторонами й кутами в прямокутному трикутнику. Теорема синусів. Теорема косинусів. Розв'язування трикутників. Ознаки подібності трикутників.

Паралелограм. Ознаки паралелограма. Властивості паралелограма. Теорема про суму квадратів діагоналей паралелограма. Теорема Ейлера для чотирикутника. Прямокутник, ромб, квадрат. Їх властивості, ознаки. Теорема Фалеса. Середня лінія трикутника. Трапеція, її види. Теорема про середню лінію трапеції.

Ламана. Многокутники. Сума внутрішніх та сума зовнішніх кутів опуклого n-кутника. Правильні многокутники, їх властивості, подібність.

Поняття площі. Площі плоских фігур. Площа прямокутника. Формули площі трикутника. Теорема про відношення площ трикутників, що мають рівні кути. Формули площ паралелограма, ромба, трапеції. Площа довільного чотирикутника. Ізопериметрична задача.

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 8

КОМБІНАЦІЇ ПЛОСКИХ ФІГУР (рік навчання 3, семестр 6)

Тема 8.1. Коло, круг. Вписані кути. Вписані й описані многокутники

Коло, його елементи. Довжина кола. Взаємне розміщення прямої і кола, Рівняння кола. Дотична до кола, її ознака і властивість. Залежність між дугами і хордами. Залежність довжин хорд від їх відстані від центра кола.

Вимірювання кута, вписаного в коло. Вимірювання кута з вершиною в середині круга. Вимірювання кутів: з вершиною поза кругом; між дотичною і хордою; між дотичною і січною; між двома дотичними. Властивості: хорд та Їх частин; дотичної і січної; січних.

Теореми: про серединні перпендикуляри до сторін трикутника та про існування кола, описаного навколо трикутника. Коло, вписане в трикутник. Коло, описане навколо трикутника. Теореми про центри вписаного та описаного кіл. Формули для радіусів описаного і вписаного кіл трикутника.

Вписані чотирикутники; властивість; ознака. Теорема Птолемея. Теорема про відношення діагоналей вписаного чотирикутника. Описані чотирикутники; ознака; властивість. Правильні многокутники, їх властивості, вписані й описані многокутники. Теорема про площу вписаного чотирикутника. Наслідки. Площі многокутників; круга та його частин. Площі подібних фігур.

МОДУЛЬ Д (рік навчання 4, семестр 7)

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 9

ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ. ДЕКАРТОВІ КООРДИНАТИ, ВЕКТОРИ, ГЕОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ НА ПЛОЩИНІ

(рік навчання 4, семестр 7)

Тема 9.1. Геометричні побудови. Задачі на побудову. Геометричне місце точок

Геометричне місце точок. Метод геометричних місць. ГМТ, рівновіддалених від кінців відрізка.

Основні задачі на побудову. Метод геометричних місць точок розв'язування задач на побудову. Метод геометричних перетворень розв'язування задач на побудову. Алгебраїчний метод розв'язування задач на побудову.

Тема 9.2. Декартові координати на площині, вектори, геометричні перетворення на площині

Декартові координати на площині: основні поняття, означення, cпіввідношення. Пряма в декартовій системі координат на площині. Координатний метод розв'язування геометричних задач.

Вектори на площині: основні поняття, означення, дії, співвідношення. Векторний метод розв'язування геометричних задач.

Види рухів (симетрії: відносно точки та відносно прямої; паралельне перенесення; поворот), їх властивості. Рівність фігур. Перетворення фігур. Рухи, їх властивості. Види рухів, їх властивості. Рівність фігур.

Перетворення подібності: основні поняття; означення; властивості. Гомотетія. Подібні фігури.

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 10

ГЕОМЕТРИЧНІ ЗАДАЧІ. МЕТОДИ РОЗВЯЗУВАННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ЗАДАЧ

(рік навчання 4, семестр 7)

Тема 10.1. Методи допоміжних елементів

Методи розв'язування геометричних задач. Метод допоміжного відрізка. Метод допоміжного кута. Метод допоміжної площі. Метод допоміжного периметра і об'єму.

Тема 10.2. Методи допоміжних побудов

Метод допоміжних точок. Метод допоміжних прямих. Метод допоміжних фігур. Метод допоміжного кола.