Teoretichna_mekhanika_24_12_12

34.В яких випадках момент сили відносно осі дорівнює нулю?

35.Чи змінюється момент сили відносно точки при перенесенні сили вздовж її лінії дії?

36.В якому випадку момент сили відносно точки дорівнює нулю?

37.Яка система сил називається парою сил?

38.Що таке момент пари сил і як його обчислити?

39.Як визначається точка прикладання вектора-момента пари сил?

40.Як формулюється теорема про пари сил?

41.Яка фізична величина повністю характеризує пару сил?

42.Які основні властивості пари сил?

43.Сформулюйте умови рівноваги систем пар сил?

44.Як формулюється теорема про паралельне перенесення сили?

45.Що таке головний вектор довільної просторової системи сил?

46.Що таке головний момент довільної просторової системи сил?

47.У чому суть механічних та аналітичних умов рівноваги довільної просторової системи сил?

48.Що таке сила тертя ковзання?

49.Що таке кут тертя, як його визначити?

50.Що таке конус тертя і кут природного нахилу?

51.Що таке центр ваги твердого тіла?

51

2. КІНЕМАТИКА

Кінематика – розділ теоретичної механіки, в якому вивчається механічний рух матеріальних об’єктів незалежно від причин, які його викликають.

При розв’язанні задач кінематики рух матеріальних об’єктів визначається відносно певної системи відліку.

Вкінематиці відсутні такі фізичні поняття як сила та маса, а розглядаються лише геометричні характеристики руху – траєкторії, швидкості і прискорення.

Вкінематиці всі лінійні величини (координати, довжина шляху та ін.) виражаються в метрах (м – система СІ). Час, як скалярна величина розглядається як незалежна змінна (аргумент).

Усі інші змінні величини розглядаються як функції часу (координати тіла, швидкості, прискорення і т.п.). Одиниця часу – секунда (с – система СІ).

Кінематично визначити (задати) рух даного об’єкта означає встановити його положення відносно системи відліку у будь-який момент часу.

Дві задачі кінематики:

Перша задача кінематики – встановлення математичних способів задання руху об’єктів дослідження.

Друга задача кінематики – на підставі математичних способів задання руху об’єктів дослідження відносно даної системи відліку визначити всі кінематичні величини, які характеризують рух об’єктів в цілому, а також рух кожної з їх точок окремо (траєкторію, швидкість і прискорення).

Предмет дослідження в кінематиці – матеріальна точка і абсолютно тверде тіло (моделі матеріальних тіл такі як і в розділі статики).

2.1 Кінематика точки

Способи задання руху точки 1.

Векторний та координатний способи задання руху точки.

52

Точка М здійснює рух у просторі, що визначає система координат Оxyz, послідовно у визначені моменти часу проходить через деякі точки цього простору М, М1, М2, …, Мn, положення яких визначається радіусвектором r або координатами x, y, z.

Кожному моменту часу ti відповідають певні значення радіус-вектор ri або координат xi , yi , zi .

Отже радіус-вектор r та координати x, y, z є функціями часу t. Тоді:

1. r r(t) – кінематичне рівняння руху точки у векторній формі.

x f1(t)
2. y f		– кінематичні рівняння руху точки в декартових
	2(t)
z f
	3(t)

координатах.

Функція (1) визначає векторний спосіб задання руху точки, а функції

(2)визначають координатний спосіб задання руху точки.

Зматематичної точки зору функції (1) і (2) як непереривні, однозначні і які можуть бути про диференційовані.

Співвідношення між векторним та координатним способами задання

руху точки має наступний вигляд

r x i y j z k,

де i , j, k – одиничні вектори (орти) декартової системи координат.

Безперервна послідовність точок простору, через які проходить точка М при її русі, називається траєкторією руху цієї точки М.

Рівняння (2) являють собою рівняння траєкторії руху точки в параметричній формі. Параметром є час t. Щоб визначити рівняння траєкторії точки в координатній формі з рівнянь (2) необхідно виключити час.

Годограф векторної функції по скалярному аргументу

Годографом векторної функції по скалярному аргументу називається крива, яку креслять кінець радіус-вектора, який приймає значення векторної функції, при неперервній зміні скалярного аргументу.

Годограф радіус-вектора r r(t) точки М є траєкторією цієї точки.

Натуральний спосіб задання руху точки. Натуральна система координат.

Рух точки буде задано натуральним способом, якщо буде відомо:

1)траєкторія руху точки;

2)напрям додатного та від’ємного відліку руху точки по траєкторії;

3)кінематичне рівняння руху точки по траєкторії, тобто

S S(t)

де S – дугова координата точки.

53

Розглянемо рух точки М, беручи початок відліку дугових координат в т. О1, позначимо знаком «+» напрям додатного відліку координат, а знаком «–« напрям від’ємного відліку.

Дуги Si визначають координати точок Мi для даного моменту часу. Шлях дорівнює сумі абсолютних значень дугових координат.

В кожній точці кривої можна вказати три взаємно перпендикулярні напрями: напрям дотичної, головної нормалі та бінормалі.

Ці три взаємо перпендикулярні напрями утворюють натуральну систему координат з початком у т. М, тобто: дотичну вісь з одиничним вектором , що має напрям у бік додаткового відліку дуги, вісь головної нормалі nз одиничним вектором n, що має напрям у бік угнутості кривої та бінормаль ну вісь b з одиничним вектором b , що має напрям вектора

векторного добутку b n .

Так як вектори , n та b утворюють праву трійку ортогональних векторів, то осі , n та b утворюють праву систему натуральних координат М nb.

Площину, проведену через т. М перпендикулярно до бінормалі називають стичною площиною (площина a).

54

Площина, проведена через т. М перпендикулярно до дотичної – нормальна площина (площина d).

Площина, проведена через т. М перпендикулярно до головної нормалі– спрямна площина (площина с).

2.2 Швидкість і прискорення точки

Розглядаючи радіус-вектори у т. М як векторну функцію по скалярному аргументу, введемо поняття миттєвої швидкості та миттєвого прискорення.

Точки М і М1 – положення точки, що рухається у просторі, в моменти часу t і (t t) , де t – скінчений приріст часу при переміщенні точки з положення М в положення М1. В момент часу t положення т. М визначається радіус-вектором r r .

Очевидно, що r MM1 – вектор переміщення точки за проміжок часу

t .

Відношення вектора r до проміжку часу t називається вектором середньої швидкості точки за проміжок часу t :

			r
	cр			.
			t
	Напрям вектора cр співпадає	з напрямом вектора переміщення r ,

тобто cр напрямлений вздовж хорди ММ1.

Вектором миттєвої швидкості точки або вектором швидкості в даний момент часу, називається границя відношення вектора переміщення точкиr до проміжку часу, за який відбувається переміщення, коли проміжок часу

	прямує до нуля, тобто
		r		dr
	lim				.
	t 0	t dt

Вектор прикладений до точки, що рухається, і напрямлений вздовж дотичної до траєкторії в бік руху точки (так як границею хорди ММ1 є дотична).

Тобто, вектор миттєвої швидкості точки дорівнює першій похідній

за часом від радіуса-вектора точки.

55

Вектор швидкості точки напрямлений вздовж дотичної до траєкторії точки у бік руху точки.

Вектор швидкості точки характеризує швидкість зміни просторового положення точки з часом.

т. М і М1 – положення точки, що рухається у просторі, в момент часу t

іt t;

і 1 – вектори швидкості точки в положеннях М і М1.

Перенесемо вектор 1 в т. М і знайдемо вектор приросту швидкості точки 1 за проміжок часу t .

Wср t – відношення вектора приросту швидкості до проміжку часу t – середнє прискорення точки за проміжок часу t .

Напрям вектора Wср співпадає з напрямом вектора , тобто вектор

Wср напрямлений завжди у бік угнутості траєкторії.

Вектором миттєвого прискорення точки називається границя відношення вектора приросту швидкості точки до проміжку часу, за який відбувається цей приріст, коли проміжок часу прямує до нуля.

Тобто

			d		d	2
W lim						r	.
			dt
t 0 t					dt2

Вектор W , прикладений до точки, що рухається. Лінія дії вектора W напрямлена вздовж дотичної до годографа вектора швидкості.

Вектор прискорення точки дорівнює першій похідній за часом від

вектора швидкості точки або другій похідній за часом від радіусвектора точки r.

56

Вектор прискорення точки характеризує швидкість зміни вектора швидкості з часом.

Визначення швидкості і прискорення точки в декартовій системі координат

З визначення швидкості точки (з рівняння вектора швидкості)

dr

dx dy

dz

i

j

k x i y j zk,

dt

dt

dt

dt

dx

dy

dz

де x x

; y y

; z z

, проекції вектора швидкості точки

dt

dt

dt

на осі декартової системи координат.

Числове значення (модуль) вектора швидкості точки визначається за формулою:

2x 2y 2z x2 y2 z2 ;

Напрям вектора швидкості точки відносно декартової системи координат визначається за допомогою напрямку косинусів

cos( ˆ,x) x x ; cos( ˆ, y)

y			ˆ
		y		z		z
			; cos( ,z)				.

Отримані рівності визначають величину та напрям вектора швидкості точки при координатному способі задання руху точки.

Зрівняння вектора прискорення точки при векторному способі задання

їїруху:

d2r

d2x

d2y

d2z

W

i

j

k x i y j zk

dt2

dt2

dt2

dt2

d2x

d2y

d2z

де x W

;

y W

; z W

,

dt2

dt

dt2

x

y

2

z

проекції вектора прискорення точки на осі декартової системи координат.

Проекції вектора прискорення точки на осі декартової системи координат дорівнюють другим похідним від відповідних координат точки, що визначаються функціями координат положення точки за часом.

Числове значення (модуль) вектора прискорення точки визначається за формулою

57

						2 2 2
	W W2		W2	W2
						x y z
		x	y	z

Напрям вектора прискорення точки відносно декартової системи координат, визначається за допомогою напрямних косинусів:

W

Wy

W

x

y

z

cos(W,xˆ)

x

; cos(W, yˆ)

; cos(W,zˆ)

z

.

W

W

W

W

W

W

Отримані рівності визначають величину та напрям вектора прискорення точки при координатному способі задання руху точки.

Одиниця швидкості точки –	м			– система СІ
с
Одиниця прискорення точки –			м			– система СІ
			2
		с

Визначення швидкості і прискорення точки в натуральній системі координат. а) визначення вектора швидкості точки при натуральному способі

задання її руху

Точка рухається по певній траєкторії. В момент часу t точка приймає положення, що визначається радіус-вектором r(t) , відносно декартової системи координат Oxyz та дуговою координатою S відносно початку відліку

на траєкторії О1. В момент часу t t точка приймає положення М1, що визначається радіус-вектором r(t t) та дуговою координатою S S.

Вектор швидкості точки визначається як перша похідна від радіусвектора точки за часом

dr dt

Так як радіус-вектор точки при її русі по траєкторії є складною функцією часу

r r(S),

S S(t),

58

dr

dr dS

то

,

(2.1)

dt

dr

r

dS dt

lim

де вектор

–

одиничний вектор (орт) дотичної

осі

dS

S 0 S

натуральної системи координат.

Тоді формула (2.1) набуває вигляду

dS

dt

З останнього виразу можна записати

dS

,

dt

тобто

dS

–

це проекція

вектора

швидкості точки на дотичну

вісь

dt

натуральної системи координат.

Модуль вектора швидкості точки при натуральному способі задання її руху визначається за формулою

dS . dt

б) визначення вектора прискорення точки при натуральному способі задання її руху

Вектор прискорення визначається як перша похідна швидкості по часу

					d
			W				;
					dt
Враховуючи, що можна записати
	d					d
			d( )						d
W										(2.2)
	dt		dt			dt
									dt

Розглянемо похідну d . Одиничний вектор дотичної осі натуральної dt

системи координат при русі точки по траєкторії є складною функцією часу

(S), S S(t).

59

d

d

dS

dS

.

Тоді похідна

;

dt

dt

dS

dt

Розглянемо похідну

d

d

n,

dS

dS

де 1 – модуль одиничного вектора на осі ;

n – одиничний вектор головної нормалі натуральної системи координат.

Розглянемо похідну d lim k dS S 0 S

Оскільки границя відношення кута суміжності дуги до її довжини, якщо довжина дуги прямує до нуля, дорівнює кривизні k кривої у даній точці.

Кривизна кривої у даній точці k 1 , тобто кривизна це величина,

обернена до радіуса кривизни кривої у даній точці.

Тоді

d

1

;

d

1

n;

d

n.

dS

dS

dt

З урахуванням останнього виразу рівняння (2.2) можна записати у вигляді

	d		2		d2S		2
W				n				n
	dt				dt2

W W Wn

З останнього виразу випливає, що вектор прискорення точки при

натуральному способі задання її руху визначається як геометрична сума двох векторів – вектора дотичного (тангенціального) прискорення W та вектора нормального прискорення Wn .

Вектори W , W та Wn знаходяться у стичній площині. Вектор дотичного (тангенціального) прискорення

	d			d2S
W
	dt			dt2
		60