Пример: число 3 5 6 78 заменить равным ему двоичным числом

3 5 6 7 011 101 110 111 3 5 6 7₈= 011 101 110 111₂

Т.е. замена двоичного числа на равное ему восьмеричное может осуществляться механически, без всяких вычислений: машинка с клавишами

0 1 2 3 4 5 6 7

000 001 010 011 100 101 110 111

Перевод числовой информации из одной позиционной системы в другую.

В процессе преобразования информации в цифровом автомате возникает необходимость перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую. Рассмотрим задачу перевода чисел в общей постановке. Числа в разных системах счисления можно представить следующим образом:

(4)

В общем виде задачу перевода числа из системы счисления с основанием q₁в систему счисления с основаниемq₂ можно представить как задачу определения коэффициентовb_i нового ряда, изображающего число в системе с основаниемq_2. Решить эту задачу можно подбором коэффициентовb_i. Основная трудность при этом заключается в выборе максимальной степени, которая еще содержится в числеAq₁. Все действия должны выполняться по правиламq_i – арифметики, т.е. по правилам исходной системы счисления.

После нахождения максимальной степени основания проверяют «вхождение» в заданное число всех степеней нового основания, меньших максимального. Каждая из отмеченных степеней может «входить» в ряд не более q₂ – 1 раз, так как для любого коэффициента ряда накладывается ограничение:

Пример 1.Перевести двоичное число А₂= 1101001 в десятичную систему счисления (q₂=10).

1⁶1⁵0⁴1³0²0¹1⁰= 1*2⁶ +1*2⁵ + 0*2⁴ +1*2³ +0*2² +0*2¹ +1*2⁰= 64+32+8+1=105₁₀

Ответ: А₁₀=105

Пример 2.Перевести двоичное число А₂= 1100 в десятичную систему счисления (q₂=10)

Переход от одной системы счисления к другой можно продемонстрировать на примере десятичного числа 12, которое в двоичном выражении выглядит так 1100.

1100 = 1*2 ³ + 1*2² + 0*2¹+ 0*2 ⁰ = 8+4 = 12 = 1*10¹ + 2*10⁰ . Ответ: А₁₀=12

В этом примере числа раскладываются на разряды. Число 1100 состоит из четырех разрядов, которые пронумерованы от нуля до трех, а число 12 – из двух.

Пример 3.Перевести десятичное число А=96 в троичную систему счисления (q₂ = 3).

96 = 0*3⁵+ 1*3⁴+ 0*3³+ 1*3²+ 2*3¹+ 0*3⁰= 10120₃. Ответ: А₃= 10120.

96 : 3 = 32 (остаток 0)

32 : 3 = 10 (остаток 2)

10 : 3 = 3 (остаток 1)

3 : 3 = 1 (остаток 0)

1 : 3= 0 (остаток 1)

Рассмотренный в примере прием может использован только при ручном переводе. Для реализации машинных алгоритмов перевода применяют следующие методы.

Перевод целых чисел делением на основание q₂ новой системы счисления.

1. Для перевода целого числа необходимо разделить его на основание системы счисления q и продолжать делить частное от деления до тех пор, пока частное не станет равно 0.

2. Последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке начиная с последнего и будет числом с основанием q.

Пример 4 .11₁₀­­- ?₂

11	2
10	5	2
1	4	2	2
	1	2	1
		0

Ответ: 1011 ₂

Пример 5.

49₁₀ - ? ₂ 49 2

48 24 2

1 24 12 2

0 12 6 2

0 6 3 2

0 2 1

1 Ответ: 110001 ₂

Пример 6 .124₁₀­­- ?₈124 8

8 15 8

44 8 1

40 7

4

Как мы видим, остаток от первого деления равен 4. То есть младший разряд восьмеричного числа содержит цифру 4. Остаток от второго деления равен 7, то есть второй разряд восьмеричного числа – это цифра 7. Старший разряд получислся равным 1. То есть в результате многократного деления мы получили восьмеричное число 174_8.

Из восьмеричной системы можно перевести в двоичную делением.

174₈= ?₂ 174 2

16 76 2

14 6 37 2

14 16 2 17 2

0 16 17 16 7 2

0 16 1 6 3 2

1 1 1 1 Ответ: 1111100

Перевод правильных дробей умножением на основание q₂ новой системы счисления.

Для перевода дробной части (или числа, у которого 0 целых) надо умножить ее на 2. Целая часть произведения будет первой цифрой числа в двоичной системе. Затем, отбрасывая у результата целую часть, вновь умножаем на 2 и т.д. Заметим, что конечная десятичная дробь при этом вполне может стать бесконечной двоичной.

Пример 6.Перевести десятичную дробь А = 0,5625 в двоичную систему счисления (q₂=2)

0,5625 ₁₀ - ? ₂ 0, 5625*2

1 1250*2

0 2500*2

0 5000*2

1 0000

Ответ: 0,5625 ₁₀ – 0,10010 ₂

Пример 7.Перевести десятичную дробь А = 0,625 в двоичную систему счисления (q₂=2)

Решение. 0,625 ₁₀ - ? ₂ 0, 625*2

1 250*2

0 500*2

1 000

0

Ответ: 0,625 ₁₀ – 0,1010 ₂

Пример 8.Перевести двоичную дробь А₂= 0,1101 в десятичную систему счисления. Основаниеq₂ изображается в двоичной системе эквивалентомq₂=1010₂.

Решение. 0, 1101

1010

b_–1=8 1000 0010

1010

b_–2=1 1001 0100

1010

b_–3=2 0010 1000

1010

b_–4=5 0101 0000

Ответ: 0,1101₂ – 0,8125 ₁₀

или 0,1^-1 1^-2 0^-3 1^-4= 1*2^-1 +1*2^-2 + 0*2^-3 +1*2^-4 = 1/ 2¹+1/2²+0/2³+1/2⁴=13/16 = 0,8125₁₀

Для перевода неправильных дробей из одной системы счисления в другую необходим раздельный перевод целой и дробной частей по правилам, описанным выше. Полученные результаты записывают в виде новой дроби в системе с основанием q_2.

Пример 9. Перевести десятичную дробь А = 49,625 в двоичную систему счисления (q₂=2)

Решение. Результаты перевода соответственно целой и дробной частей возьмем из примеров 5 и 7.

Ответ: А₂= 110001,1010.

Табличный метод перевода.В простейшем виде табличный метод заключается в следующем: имеется таблица всех чисел одной системы и с соответствующими эквивалентами из другой системы; задача перевода сводится к нахождению соответствующей строки таблицы и выбору из нее эквивалента. Такая таблица очень громоздка и требует большой емкости памяти для хранения.