Арифметические операции в позиционных системах счисления.

Над числами, записанными в любой системе счисления, можно производить различные арифметические операции. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбикомиделение углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Толькотаблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево. Сложение и умножение двоичных чисел выполняется по правилам:

+	–	*
0 + 0 = 0	0 – 0 = 0	0 * 0 = 0
1 + 0 = 1	1 – 0 = 1	1 * 0 = 0
0 + 1 = 1	1 – 1 = 0	0 * 1 = 0
1 + 1 = 10	10 – 1 = 1	1 * 1 = 1

Примеры с двоичными числами:

101001 101 10111 1100,01

+1011 + 011 + 10110 - 0,10

110100 1000 101101 1011,11

Умножение

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

_×11011 100111

1001 * 1000111

11011 100111

+ 00000 + 100111

+ 00000 + 100111

+ 11011 + 100111

11110011 101011010001

Деление

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

_- 101001101 1001 ₋ 333 9 11110 110

1001 100101 27 37 - 110 101

10 ₋ 63 110

101 63 110

₋1011 0 0

1001 1001000 1000

100 - 1000 1001

₋1001 1000

1001 - 1000

0 0

Арифметические действия с числами в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления выполняются по аналогии с двоичной и десятичной системами. Для этого необходимо воспользоваться необходимыми таблицами.

Процессор не умеет непосредственно осуществлять операцию вычитания, поэтому вычитание приходится сводить к сложению путем представления вычитаемого в так называемом дополнительном коде. Рассмотрим прежде всего обратный код числа. Например, 1001 (исходное число), а 0110 - обратный код + 1 = 0111 дополнительный код.

Т.е. вычитание в двоичной арифметике – это сложение уменьшаемого с дополнительным кодом вычитаемого. Например, из 101₂ вычесть 10₂

1) 10₂= 010, его обратный код 101

2) затем увеличив обратный код на 1 получим дополнительный код 110

3) сложим

101

+ 110 (или 5-2=3)

_______

1011₂

4) Отметим, что перенос из старшего результата означает, что полученный результат положителен

Вопросы для самоконтроля

1. Что называется системой счисления?

2. В чем отличие позиционных систем счисления от непозиционных?

3. Как определяется процесс кодирования информации и почему в нем существует необходимость?

4. Какие единицы измерения количества информации вы знаете?

5. Почему двоичное представление информации входит в число основных принципов работы современных ЭВМ?

6. Переведите из двоичной системы счисления в десятичную: 10100011₂ и 1101011₂.

7. Что такое базис естественной позиционной системе счисления?

8. Какие методы перевода чисел от одной системы счисления в другую вы знаете?

Дополнительный материал

Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Шестнадцатеричная: F16+616

Ответ: 15+6 = 2110=101012=258=1516. Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду: 101012= 2^4+ 2^2+ 2^0= 16+4+1=21, 258= 2*8^1+ 5*8^0= 16 + 5 = 21, 1516= 1*161+ 5*160= 16+5 = 21.

Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

Шестнадцатеричная: F16+716+316

Ответ: 5+7+3 =2510=110012=318= 916. Проверка: 110012= 2^4+ 2^3+ 2^0= 16+8+1=25, 318= 3*8^1+ 1*8^0= 24 + 1 = 25, 1916= 1*16^1+ 9*16^0= 16+9 = 25.

Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.

Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,25₁₀= 11001001,01₂= 311,2₈= C9,4₁₆

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду: 11001001,01₂= 2⁷+ 2⁶+ 2³+ 2⁰+ 2^-2= 201,25 311,2₈= 3*8²+ 1•8¹+ 1*8⁰+ 2*8^-1= 201,25 C9,4₁₆= 12*16¹+ 9*16⁰+ 4*16^-1= 201,25