- •6.Повторение испытаний. Формула Бернули. Найвероятнейшее число появлений событий
- •7.Понятие случайной величины. Ряд распределения. Многоугольник распределения.
- •9.Плотность распределения
- •10.Математическое ожидание и его св-ва.
- •24.Стат. Гипотеза. Нулевая, конкурирующая, сложная, простая. Ошибки 1и 2 рода.
- •25. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Критическая область. Область принятия гипотезы
- •21.Точность оценки, доверительная вероятность. Доверительный интервал.
- •22.Довер-ные интервалы для оценки мат. Ожидания нормальн. Распред-я при известном δ
- •23.Доверительные интервалы для оценки ср квадратич отклонения δ нормального распред-я
- •29.Плотн-ть распред-я двумерной св и ее св-ва
6.Повторение испытаний. Формула Бернули. Найвероятнейшее число появлений событий
Испытание Х1,Х2,…,Хn наз-ся независимым,если исход каждого испытания не зависит от исходов всех предыдущих испытаний.Н-р:бросание монеты,игральной кости,выборочный контроль кач-ва прод-ции.
В схеме Якоба Бернулли рассматр-ся серия состоящая из n независимых испытаний Х1,Х2,…,Хn, причем каждое из этих испытаний имеет лишь 2 исхода:а)событие А наступило-успех,б)событие А не наступило-неудача
Причем вер-ть успеха при одном испытании Р(А)=р(0≤р≤1) постоянна и не зависит от номера испытания. Числа n и p наз-ся параметрами схемы Бернулли.
В рамках схемы Бернулли у заданного числа m(0≤m≤n) опр-ть вер-тьPn(m) того, что событие А в данной серии из n числа испытаний наступит точно m раз и имеет место формула Бернулли
m
Pn(m)=C*pmqn-m
n
где q-вероят-ть неудачи q=1-p
Вероят-ть Pn(m) (m=0,n) наз-ся биномиальными в связи с тем, что правая часть фор-лы Бернулли совпадает с общим членом разложения Бинома-Ньютона:
n m
(p+q)n=∑ C*pm*qn-m
m=0 n
Очевидно, что сумма всех биномиальных вероят0тей равна 1.
Отметим, что верот0ти m успехов при фиксированном m сначало растут до опред-го числа m0, а потом убывают при уменьшении m от m0 до n.
Оредел-ие: число успехов m0, к которому при заданном фиксированном n соотв-ет max биномиальная вероят-ть Pn(m0) наз-ся наиболее вероятным (наивероятнейшим) числом успехов.
Отметим,что наивероятнейшее число m0 удовлетворяет системе неравенств: n*p-q≤m0≤n*p+p, которое имеет одно решение: m=[np+p], если число np+p-не целое
Два решения:m0=np+p
m0=np+p-1, если np+p-целое
7.Понятие случайной величины. Ряд распределения. Многоугольник распределения.
Нам уже встречались случайные числа,н-р при бросании игральной кости 1,2,3,4,5,6, естественно, что элементарн события:
W1→1
W2→2
W3→3
W4→4
W5→5
W6→ 6
Опред-ие: числовая функция Х=Х(w) от элементарного события wЄΩ наз-ся случайной величиной. СВ будем обозначать Х,Y,Z, значения-x,y,z.
Опред-ие: СВ наз-ся дискретной, если ее значение можно записать в виде последовательности(конечной или бесконечной), уже известная нам СВ бросание игральной кости явл-ся дискретной, она принимает конечное число значений-6.
Опр-ие:соотв-ие м/у значениями СВ Х и вероят-тями этих значений наз-ют законом распределения вероят-ти СВ или законом распределения СВ.
Законом распределения СВ дискретной можно задать в виде таблице
Х |
Х1 |
Х2 |
… |
ХП |
Р |
Р1 |
Р2 |
… |
РП |
Отметим, что 1) в законе распределения все рі≥0; 2)их ∑ рі=1
i
Для наглядности закон распределения дискретной СВ можно изобразить графически. Для этого в прямоугольной декартовой системе координат строят точки (хі,рі), которые затем последовательно соединяются отрезками. Полученную фигуру наз-ют многоугольником распределения СВ.
Рассмотрим примеры некоторых СВ:
а) равномерное распределение вероятностей СВ Х,принимающая n-равномерных значений Х1,Х2,...,Хn
Х |
Х1 |
Х2 |
… |
Хn |
P |
1/n |
1/n |
… |
1/n |
Бросание игральной кости равномерно распределено.
б)биномиальное распределение вероятностей дискретной СВ Х значениями которой явл-ся число успехов в схеме Бернулли при n-испытаний
x |
0 |
1 |
|
m |
… |
n |
p |
qn |
n*p*qn-1 |
|
cmn*pm*qn-m |
|
pn |