ZadachiMolekularna

P0S + mg

P0S + mg

РIВНЯННЯ СТАНУ IДЕАЛЬНОГО ГАЗУ

11

буде рухатися вертикально з прискоренням ~a ? Атмосферний тиск рiвний P0, температура газу стала.

Вiдповiдь: V P0S + m(g a) ; V P0S + m(g + a)

3.11 В U подiбну манометричну трубку з площею поперечного перерiзу 1 см2 налито ртуть. Рiвень ртутi в обох колiнах однаковий. Об’єм повiтря у запаяному колiнi 10 см3. Скiльки ртутi потрiбно налити у вiдкрите колiно, щоб його заповнити? Атмосферний тиск рiвний 101 кПа, обидва колiна одинаковi.

Вiдповiдь: 150 г

3.12 Трубка завдовжки l, вiдкрита з обох кiнцiв, наполовину занурена у ртуть. Трубку закривають пальцем i виймають з ртутi. Чому рiвна довжина стовпика ртутi, що залишився у трубцi? Атмосферний тиск врiвноважується стовпиком ртутi висотою H.

Вiдповiдь:	1	H + l pH2 + l2
	2

3.13 Компресор за 1 хв захоплює 3 м3 сухого повiтря при температурi 290 К i тиску 100 кПа, i нагнiтає його у резервуар об’ємом 8;5 м3. За який час компресор доведе тиск у резервуарi до 700 кПа? Температура у резервуарi 300 К. Спочатку резервуар мiстив повiтря при тиску 200 кПа.

Вiдповiдь: 14 хв

3.14 Деяке тiло розмiщене у повiтрi за нормальних умов. Пiсля збiльшення температури повiтря на 10 К вага тiла збiльшилася на 1;96 10 2 Н. Як збiльшиться вага тiла при збiльшенi температури до 323 К i збiльшення тиску до 106 кПа? Розширенням тiла знехтувати.

Вiдповiдь: 6;3 10 2 Н

3.15 У балонi об’ємом 1 10 2 м3 мiститься водень при температурi 293 К, i тиском 10 МПа. Скiльки водню було втрачено, якщо пiд час спалювання водню, що залишився утворилася вода масою 0;5 кг?

Вiдповiдь: 26;6 г

12	IЗОПРОЦЕСИ В IДЕАЛЬНОМУ ГАЗI

4Iзопроцеси в iдеальному газi

4.1 U– подiбна трубка запаяна з одного боку мiстить при температурi 273 К стовпчик повiтря висотою 24 см що закрите ртуттю, що доходить до вiдкритого кiнця трубки. Повiтря нагрiвають до температури T а потiм охолоджують до початкової температури. Рiвень ртутi у вiдкритому колiнi при цьому знижується на 6 см. До якої температури нагрiвали повiтря у трубцi? Атмосферний тиск нормальний.

Вiдповiдь: 380 К

4.2 Повiтря у пробiрцi довжиною 2h закрите стовпчиком ртутi висотою h. Атмосферний тиск P0 = g h, температура повiтря T1. До якої мiнiмальної температури T2 потрiбно нагрiти повiтря у пробiрцi щоб з неї вилилася вся ртуть? Яка буде висота стовпчика повiтря у пробiрцi, коли температура повiтря досягне значення T2? Яка буде температура повiтря у момент, коли виллється вся ртуть? Накреслити дiаграму процесу розширення повiтря у координатах (P; V ) i (T; V ).

	Вiдповiдь:	9	T1; 1;5h; T1
		8

4.3 Вертикальний цилiндр закритий з обох кiнцiв роздiлений поршнем. По обидвi сторони вiд поршня знаходиться по одному молю повiтря при температурi 300 К. Вiдношення об’єму верхньої частини цилiндра до об’єму нижньої рiвне 4. При якiй температурi вiдношення цих об’ємiв буде рiвне 3?

Вiдповiдь: 420 К

4.4 Якою були початкова температура i об’єм гелiю масою 5 г, що знаходиться пiд поршнем у цилiндрi, якщо при охолодженi його до температури 273 К потенцiальна енергiя вантажу масою 16 кг, що лежить на поршнi зменшилася на 39;2 Дж? Площа поршня 200 см2, атмосферний тиск — нормальний.

Вiдповiдь: 325 К; 0;031 м3

4.5 Повiтряна куля дiаметром 10 м утримується тросом, масою якого можна знехтувати. На скiльки змiниться натяг тросу пiсля зменшення температури повiтря з 300 К до 270 К? Атмосферний тиск — нормальний.

Вiдповiдь: 670 Н

4.6 Яка рiзниця у масi повiтря, що заповнює кiмнату об’ємом 50 м3 зимою i влiтку, якщо влiтку температура примiщення досягає 40 C, а зимою падає до 0 C? Тиск у примiщенi — нормальний.

Вiдповiдь: 8;2 кг

IЗОПРОЦЕСИ В IДЕАЛЬНОМУ ГАЗI

13

4.7 Газ знаходиться у посудинi при тиску 2 МПа i температурi 27 C. Пiсля нагрiвання на 50 C у посудинi залишилася половина газу (за масою). Визначити тиск газу пiсля нагрiвання.

Вiдповiдь: 1;2 МПа

4.8 Тиск повiтря всерединi пляшки рiвний 0;1 МПа при температурi 7 C. На скiльки необхiдно нагрiти пляшку щоб вилетiв корок? Без нагрiвання корок можна витягнути, приклавши до нього силу рiвну 10 Н. Площа поперечного перерiзу корка 2 см2.

Вiдповiдь: 140 C

4.9 Вузька цилiндрична трубка довжиною L, що закрита з одного кiнця мiстить повiтря, яке вiддiлене вiд зовнiшнього стовпчиком ртутi висотою h. Трубка розмiщена вiдкритим кiнцем вгору. Яка була висота стовпчика повiтря у трубцi, якщо пiсля того, як трубку перевернули вiдкритим кiнцем донизу, з неї вилилася половина ртутi? Густина ртутi , атмосферний тиск рiвний P0.

Вiдповiдь: L				P0	g h
	h				2
		2		P0 + g h

4.10 Посерединi вiдкачаної i запаяної з обох кiнцiв горизонтально розмiщеної трубки довжиною 1 м знаходиться стовпчик ртутi довжиною 20 см. Якщо трубку поставити вертикально, стовпчик ртутi змiститься на вiдстань 10 см. До якого тиску була вiдкачана трубка? Густина ртутi 13;6 103 кг=м3.

Вiдповiдь: 50 кПа

4.11 Повiтряна бульбашка пiднiмається з дна водойми що має глибину H. Знайти залежнiсть радiусу бульбашку вiд глибини h в даний момент часу, якщо її об’єм на днi водойми рiвний V . Сили поверхневого натягу не враховувати.

s

Вiдповiдь: 3 3 V P0 + g H

4 P0 + g h

4.12 Тонка резинова кулька радiусу 2 см заповнена повiтрям при температурi 20 C i тиску 0;1 МПа. Який буде радiус кульки якщо її занурити у воду температурою 4 C на глибину 20 м?

Вiдповiдь: 1;37 см

4.13 До якого тиску накачаний футбольний м’яч об’ємом 3 л за 40 робочих ходiв поршневої помпи? За кожним ходом помпа захоплює з атмосфери повiтря об’ємом 150 см3. Атмосферний тиск 0;1 МПа.

Вiдповiдь: 0;2 МПа

14	РОЗПОДIЛ БОЛЬЦМАНА
	4.14 Двi посудини об’ємами 3 л i 5 л заповненi повiтрям з тиском 0;8 МПа

i 0;6 МПа. Посудини з’єднали трубкою, об’ємом якої можна знехтувати у порiвняннi з об’ємами посудин. Знайти тиск, що встановиться у посудинах. Температуру вважати сталою.

Вiдповiдь: 675 кПа

4.15 У цилiндрi пiд поршнем знаходиться повiтря з тиском 0;2 МПа i температурою 27 C. Якої маси вантаж необхiдно покласти на поршень пiсля нагрiвання повiтря до температури 50 C, щоб об’єм повiтря у цилiндрi став рiвним початковому? Площа поршня 30 см2.

Вiдповiдь: 4;7 кг

4.16 Газ, що займає при температурi 400 К i тиску 0;1 МПа об’єм 2 л, iзотермiчно стискають, потiм iзобарно охолоджують до температури 200 К, пiсля чого iзотермiчно змiнюють об’єм до 1 л. Знайти кiнцевий тиск газу.

Вiдповiдь: 0;1 МПа

5Розподiл Больцмана

5.1На висотi 3 км над поверхнею Землi в 1 см3 повiтря мiститься приблизно 1 102 пилинок, а поблизу самої поверхнi — 1 105 . Визначити середню масу пилинки i оцiнити її розмiр, якщо густина пилинки 1;5 г=см3. Температура повiтря 27 C.

Вiдповiдь: 1 10 24 кг; 1 10 9 м

5.2Бiля поверхнi Землi молекул гелiю майже у 105 разiв, а водню майже

у106 разiв менше нiж молекул азоту. На якiй висотi кiлькiсть молекул гелiю буде рiвне кiлькостi молекул азоту? Водню? Вважати, що середня температура атмосфери рiвна 0 C.

Вiдповiдь: 111 км; 123 км

5.3 Пилинки зваженi у повiтрi мають масу 1 10 18 г. У скiльки разiв зменшиться їх концентрацiя у повiтрi, при збiльшенi висоти на 10 м? Температура повiтря 300 К.

Вiдповiдь: у e23;6 2 1010 рази

5.4 Однаковi частинки масою 1 10 12 г кожна, розподiленi у однорiдному гравiтацiйному полi з напруженiстю 0;2 мкН=кг. Визначити вiдношення концентрацiй частинок, що знаходяться на еквiпотенцiальних рiвнях вiдстань мiж якими 10 м. Температуру вважати сталою i рiвною 290 К.

Вiдповiдь: 1,05

РОЗПОДIЛ БОЛЬЦМАНА

15

5.5 Маса кожної iз пилинок, зважених у повiтрi рiвна 1 аг. Вiдношення концентрацiй пилинок на висотi 1 м, до концентрацiї пилинок на висотi 0 м рiвне 0,787. Температура повiтря 300 К. Знайти за цими даними значення сталої Авогадро NA.

Вiдповiдь: 5;97 моль 1

5.6 Визначити силу, що дiє на частинку яка знаходиться у зовнiшньому однорiдному полi тяжiння, якщо вiдношення концентрацiй частинок на двох рiвнях, вiдстань мiж якими 1 м, рiвне e. Температуру вважати однаковою i рiвною 300 К.

Вiдповiдь: 4;14 10 23 Н

5.7 На скiльки зменшиться атмосферний тиск, що рiвний 100 кПа, при пiдйомi на висоту 100 м? Вважати, що температура повiтря рiвна 290 К i не змiнюється з висотою.

Вiдповiдь: 1;18 кПа

5.8 Барометр в кабiнi гелiкоптера показує тиск 90 кПа. На якiй висотi летить гелiкоптер, якщо на злiтнiй смузi барометр показував тиск 100 кПа? Вважати, що температура повiтря рiвна 290 К i не змiнюється з висотою.

Вiдповiдь: 885 м

5.9 Знайти змiну висоти, що вiдповiдає змiнi тиску на 100 Па у двох випадках: 1) поблизу поверхнi Землi, де температура 290 К, тиск 100 кПа; 2) на деякiй висотi, де температура 220 К, тиск 25 кПа.

Вiдповiдь: 8;75 м; 25;8 м

5.10 Барометр у кабiнi лiтака весь час показує тиск 80 кПа, завдяки чому пiлот вважає висоту польоту незмiнною. Температура повiтря змiнилася на 1 К. Яку помилку у визначенi висоти зробив пiлот? Вважати, що температура не залежить вiд висоти, i що поблизу поверхнi Землi тиск рiвний 100 кПа.

Вiдповiдь: 6;5 м

5.11 Ротор центрифуги обертається з кутовою швидкiстю !. Знайти розподiл концентрацiй частинок маси m, що знаходяться всерединi ротора центрифуги як функцiю вiдстанi r вiд осi обертання.

Вiдповiдь: n = n0 exp

m!2r2

2kT

5.12 У центрифузi з ротором, що має радiус 0;5 м при температурi 300 К знаходиться у газоподiбному станi речовина з вiдносною молекулярною масою 1 103. Визначити вiдношення концентрацiй молекул поблизу стiнок ротора i в його центрi, якщо ротор обертається з частотою 30 с 1.

Вiдповiдь: 5,91

16	РОЗПОДIЛ МАКСВЕЛА
	5.13 Ротор центрифуги що заповнена радоном, обертається з частотою

50 с 1. Радiус ротора 0;5 м. Визначити тиск газу на стiнки ротора, якщо в його центрi тиск рiвний нормальному атмосферному. Температуру всерединi ротора вважати однаковою i рiвною 300 К. Вiдносна атомна маса радону Rn становить 222.

Вiдповiдь: 303 кПа

5.14 У центрифузi знаходиться деякий газ з температурою 271 К. Ротор центрифуги, що має радiус 0;4 м обертається з кутовою швидкiстю 500 рад=с. Визначити вiдносну молекулярну масу газу, якщо тиск поблизу стiнки ротора у 2,1 раза бiльший тиску у його центрi.

Вiдповiдь: 84

5.15 Ротор ультрацентрифуги радiусом 0;2 м заповнений атомарним хлором при температурi 3 кК. Хлор складається з двох iзотопiв: 37Cl i 35Cl. Доля атомiв iзотопу 37Cl складає 0,25. Визначити долi атомiв iзотопiв поблизу стiнок ротора, якщо ротору надати кутову швидкiсть обертання рiвну 1 104 рад=с.

Вiдповiдь: 28%; 72%

6Розподiл Максвела

6.1При якiй температурi функцiя розподiлу за швидкостями молекул водню буде спiвпадати з функцiєю розподiлу за швидкостями молекул азоту при кiмнатнiй температурi?

Вiдповiдь: 21 К

6.2 Знайти вiдношення кiлькостi молекул водню, що мають проекцiю швидкостi на вiсь x у iнтервалi вiд 3000 м/с до 3010 м/с до числа молекул водню, що мають проекцiю швидкостi на цю ж вiсь у iнтервалi вiд 1500 м/с до 1505 м/с? Температура водню рiвна 300 К.

Вiдповiдь: 0,13

6.3 Знайти вiдношення кiлькостi молекул водню, що мають проекцiю швидкостi на вiсь x в iнтервалi вiд 3000 м/с до 3010 м/с, на вiсь y - в iнтервалi вiд 3000 м/с до 3010 м/с, на вiсь z в iнтервалi вiд 1500 м/с до 1505 м/с, до числа молекул водню, що мають проекцiю швидкостi на вiсь x в iнтервалi вiд 1500 м/с до 1505 м/с, на вiсь y - в iнтервалi вiд 1500 м/с до 1501 м/с, на вiсь z в iнтервалi вiд 1500 м/с до 1502 м/с. Температура водню рiвна 300 К.

Вiдповiдь: 6 10 3

РОЗПОДIЛ МАКСВЕЛА

17

6.4 Джерело атомiв срiбла утворює вузький пучок, що попадає на внутрiшню поверхню нерухомого цилiндра радiусом 30 см i утворює на ньому вузьку смужку. Пристрiй починає обертатися зi швидкiстю 100 рад=с. Визначити швидкiсть атомiв срiбла, якщо смужка вiдхилилася на кут 0;314 рад вiд початкового положення.

Вiдповiдь: 300 м/с

6.5 Користуючись функцiєю розподiлу Максвела визначити частоту ударiв часточок iдеального газу у стiнки посудини на одиницю площi.

Вiдповiдь: 14 nhvi

6.6 Користуючись розподiлом Максвела отримати функцiю розподiлу за

	вiдносними швидкостями u, де u =	v	.
		vйм
		dNu			4		2
	Вiдповiдь:				= dwu = F (u) du, де F (u) = p		e u u2
		N

6.7 Користуючись функцiєю розподiлу за вiдносними швидкостями F (u),

4			e u	2			v
де F (u) =	p				u2	, u =		визначити кiлькiсть частинок iдеального газу,
							vйм
швидкостi яких лежать у межах [ 0; vйм ], де 1.									4	3N
								Вiдповiдь: N =
									3

6.8 Користуючись функцiєю розподiлу за вiдносними швидкостями F (u),

4			e u	2			v
де F (u) =	p				u2	, u =		визначити кiлькiсть частинок iдеального газу,
							vйм

швидкостi яких вiдрiзняються вiд vйм не бiльше як на 1%.

Вiдповiдь: 0;02N

6.9 Користуючись функцiєю розподiлу за вiдносними швидкостями F (u),

4

e u

2

u2, u =

v

визначити кiлькiсть частинок iдеального газу,

де F (u) =

p

vйм

швидкостi яких вiдрiзняються вiд

1

vйм не бiльше як на 1%.

2

Вiдповiдь: 4 10 3N

1

1

6.10 Знайти вiдношення величин

i

для iдеального газу.

hvi

v

Вiдповiдь:

4

6.11 Використовуючи розподiл Максвела за швидкостями знайти hjvxji (середнє значення модуля проекцiї швидкостi на вiсь x). Знайти hvxi.

r

Вiдповiдь: 2kT ; 0

m

18	ФЛУКТУАЦIЇ

6.12 Використовуючи функцiю розподiлу максвела за швидкостями побудувати функцiю розподiлу за iмпульсами F (p). Використовуючи функцiю розподiлу F (p) визначити найбiльш ймовiрне значення iмпульсу pйм, середнє значення модуля iмпульсу hpi.

	Вiдповiдь: (2 mkT ) 3=2 exp	p2					hpi = r	8
				4 p2; pйм = p2mkT ;						mkT
		2mkT

6.13 Використовуючи розподiл максвела за швидкостями побудувати функцiю розподiлу частинок iдеального газу за кiнетичними енергiями F (K). Використовуючи знайдену функцiю знайти найбiльш ймовiрне значення кiнетичної енергiї Kйм, та середнє значення кiнетичної енергiї hKi.

Вiдповiдь: F (K) = p (kT )3=2	exp kT pK;			Kйм = 2 kT ;	hKi = 2 kT
2	K			1	3

6.14 Побудувати функцiю розподiлу частинок iдеального газу за “вiдносними” кiнетичними енергiями = K=Kйм.

Вiдповiдь: F ( ) = 21 e =2p

6.15 Знайти найбiльш ймовiрну vйм швидкiсть та вiдносну кiлькiсть молекул азоту, що мають швидкостi у iнтервалi вiд vйм до vйм + v, де v рiвне 20 м/с, якщо температура азоту: а) 400 К; б) 900 К.

Вiдповiдь: а) 487 м/с; 3,4% б) 731 м/с; 2,2%.

7Флуктуацiї

7.1Нехай f i g — довiльнi фiзичнi величини, що флуктуюють навколо своїх середнiх значень hfi i hgi, так що f = hfi + f, g = hgi + g. Знайти середнє значення добутку fg.

Вiдповiдь: hfihgi + f g

7.2		флуктуацiї				2		2
	Виразити середнiй квадрат				D( f2)		E =	D(f hfi) E до-
			2
вiльної фiзичної величини через величини f				i hfi .			Вiдповiдь: f2 hfi2

7.3Величини f i g називають статистично незалежними, якщо величина h f gi = 0. Довести, що для статистично незалежних величин справедливо hfgi = hfi hgi.

7.4Нехай F — яка-небудь адитивна фiзична величина, що характеризує

P

систему з N частинок iдеального газу, так що F = i fi, де величини fi

ФЛУКТУАЦIЇ

19

характеризують частинку газу i. Виразити середнiй квадрат флуктуацiї величини F через середнiй квадрат флуктуацiї величини f, а також знайти вiдносну флуктуацiю величини F .

Вiдповiдь:

( F )2

= N

f2

f

2

;

q

( F )2

=

1

q

( f)2

hF i

hfi

h

i

pN

7.5 Газоподiбний водень при температурi

300 К i тиску

1

2

10 6 атм витiкає

у вакуум iз тонкостiнної посудини через отвiр площею 0;1 мм . Через певнi визначенi промiжки часу у дослiдi вимiрюють повний потiк атомiв через отвiр за iнтервал часу 1 10 3 с. Вважаючи, що тиск водню у посудинi залишається сталим, знайти вiдносну флуктуацiю цього потоку.

Вiдповiдь: 10 6

7.6 Визначити величину об’єму в iдеальному газi, в якому середня квадратична флуктуацiя кiлькостi частинок складає 10 6 вiд середньої кiлькостi частинок у тому ж об’ємi. Визначити середню кiлькiсть частинок в такому об’ємi. Газ знаходиться за нормальних умов.

Вiдповiдь: 3;7 10 14 м3; 1012

7.7 Визначити флуктуацiю кiнетичної енергiї хаотичного поступального руху частинок iдеального газу.

Вiдповiдь: p2=3 N 1=2

7.8 Iдеальний газ знаходиться у достатньо великiй посудинi, i має температуру 27 C, тиск 1 атм. Знайти вiдносну флуктуацiю кiлькостi частинок газу у малому об’ємi 1 см3.

Вiдповiдь: 2 10 10

7.9 На невагомiй нерозтяжнiй нитцi довжиною 3 см пiдвiшена маленька кулька масою 30 мг, так, що може здiйснювати коливання у вертикальнiй площинi. Розглядаючи кульку як броунiвську частинку, що має один ступiнь вiльностi i знаходиться у повiтрi при кiмнатнiй температурi 27 C, оцiнити

q

середньоквадратичне кутове флуктуацiйне вiдхилення кульки h( ')2i вiд положення рiвноваги.

Вiдповiдь: 2;2 10 8 рад

7.10 У iдеальному газi видiлено невеликий об’єм V , що мiстить N частинок. Тиск газу P i температура T — сталi. Знайти вiдносну флуктуацiю густини у цьому об’ємi.

p

Вiдповiдь: 1= N

20	ФЛУКТУАЦIЇ

7.11Оцiнити граничну чутливiсть T=T iдеального газового термометра,

вякому температура вимiрюється за об’ємом газу при сталому тиску. Кiлькiсть газу у термометрi рiвна 1 10 3 моль.

Вiдповiдь: 4 10 11

7.12 Оцiнити, в якому об’ємi гелiю середня вiдносна флуктуацiя температури (при сталiй кiлькостi молекул у цьому об’ємi) складає 10 4 %? Гелiй знаходиться за нормальних умов у контактi з термостатом.

Вiдповiдь: 2;5 10 8 см3

7.13 Теплоiзольований цилiндр заповнений iдеальним одноатомним газом герметично роздiлений теплонепровiдним масивним поршнем на два рiвних об’єми V0. Визначити вiдносну флуктуацiю кожного з цих об’ємiв якщо кiлькiсть частинок у цилiндрi N.

	Вiдповiдь: r	5	1
				p
		3
					N

7.14 На якiй вiдстанi вiд екрану середньоквадратичне значення амплiтуди коливань свiтлового променя, що вiдбитий вiд прикрiпленого до математичного маятника малого дзеркала складає 1 10 4 см? Довжина маятника 10 см, маса разом iз дзеркалом — 0;1 г. Температура середовища рiвна 27 C. Площина дзеркала перпендикулярна площинi коливань.

Вiдповiдь: 80 м

7.15 Визначити вiдносну флуктуацiю кiлькостi частинок повiтря у малому об’ємi V як функцiю вiдстанi h вiд поверхнi Землi. Повiтря вважати iдеальним газом, його густина поблизу поверхнi Землi 0, молярна маса M, температура атмосфери стала i рiвна T .

Вiдповiдь: s	M	Mgh
		exp
	0NAV		2RT

7.16 цилiндрична посудина обертається навколо осi симетрiї зi сталою кутовою швидкiстю !. Визначити вiдносну флуктуацiю кiлькостi частинок iдеального газу у малому об’ємi V цiєї посудини як функцiю вiдстанi r вiд осi обертання. Густина газу на осi 0, молярна маса M, температура газу стала i рiвна T . Силу тяжiння не враховувати.

Вiдповiдь: s	M		M!2r2
	0NAV	exp	4RT