ZadachiMolekularna

ТЕРМОДИНАМIЧНI ЦИКЛИ. ЦИКЛ КАРНО

31

значення. При сталому об’ємi газ повертають у початковий стан. Яку роботу газ виконав за цикл?

Вiдповiдь: R (T2	T3)	1 T2
			T1

12.11 Парова машина потужнiстю 14;7 кВт споживає за одну годину роботи 8;1 кг вугiлля з питомою теплотою згоряння 33 МДж=кг. Температура котла 200 C, температура холодильника 58 C. Знайти ефективнiсть машини та порiвняти її з ефективнiстю iдеальної теплової машини, що працює за циклом Карно мiж цими ж температурами.

Вiдповiдь: 0,2; 0,3

12.12 Теплова машина з iдеальним газом в якостi робочого тiла виконує квазiстатичний цикл, що складається з iзохорного збiльшення тиску 1-2, адiабатного розширення 2-3, та iзотермiчного стискання 3-1, яке приводить машину у початковий стан. Знайти ефективнiсть машини як функцiю максимальної T2 та мiнiмальної T1 температур, що досягаються машиною пiд час циклу.

Вiдповiдь: 1		T1		ln	T2
	T2		T1		T1

12.13Знайти ефективнiсть квазiстатичного циклу Отто, що складається

здвох адiабат 1-2 i 3-4 та двох iзохор 2-3 i 4-1, якщо в якостi робочого тiла використовується iдеальний газ. Виразити ефективнiсть циклу через температури газу T1 i T2 у станах 1 та 2.

Вiдповiдь: 1 T2

T1

12.14 Теплова машина Карно, що має ефективнiсть 40% використовується при тих самих теплових резервуарах як холодильна машина. Яку кiлькiсть теплоти ця машина може перевести вiд холодильника до нагрiвника за один цикл, якщо до неї за кожен цикл пiдводиться робота 10 кДж?

Вiдповiдь: 15 кДж

12.15 Визначити процес, за допомогою якого тiло з теплоємнiстю C можна охолодити вiд температури T1 до температури T0 теплового резервуару, де T0 < T1, так, щоб механiчна робота яка виконується у процесi мала максимально можливе значення. Знайти цю роботу. Теплоємнiсть C вважати сталою пiд час процесу.

Вiдповiдь: C (T1 T0) T0 ln T1

T0

32	ТЕОРЕМА КЛАУЗIУСА. НЕРIВНIСТЬ КЛАУЗIУСА. ЕНТРОПIЯ

13Теорема Клаузiуса. Нерiвнiсть Клаузiуса. Ентропiя

13.1Довести, що для довiльної речовини, полiтропа може перетинати iзотерму не бiльше як у однiй точцi.

13.2Довести, що для довiльної речовини адiабата може перетинати iзотерму не бiльше чим в однiй точцi.

13.3Цикл складається з двох iзохор i двох iзобар. Показати, що для довiльної речовини зi сталими молярними теплоємностями CMP i CMV температури зв’язанi спiввiдношенням T1T3 = T2T4.

13.4Визначити механiчну роботу у циклi, що здiйснює довiльна речовина, i що складається з iзотерми 12, полiтропи 23 i адiабати 31. Вiдомо, що теплоємнiсть речовини на полiтропi рiвна C, а температури на iзотермi 12, та у станi 3 рiвнi вiдповiдно T1 i T3.

Вiдповiдь: A = C T1 ln	T1	(T1 T3)
	T3

13.5 Цикл складається з двох iзотерм 12, 34 з температурами T1 i T2 i двох iзохор 23, 41. На iзотермi з температурою T1 отримано тепло Q1. Визначити роботу циклу, якщо теплоємнiсть робочої речовини CMV залежить тiльки вiд температури, але не вiд об’єму.

Вiдповiдь: A = T1 T2 Q1

T1

13.6 Визначити максимальну механiчну роботу, що можна отримати вiд системи двох тiл нагрiтих до рiзних термодинамiчних температур T1 i T2 (T1 > T2), якщо цi тiла використовуються у якостi нагрiвника та холодильника у тепловiй машинi? Теплоємностi тiл C1 i C2 не залежать вiд температури. Знайти кiнцеву температуру, що будуть мати тiла пiсля встановлення теплової рiвноваги.

Вiдповiдь: A = (C1T1 + C2T2) (C1 + C2) T ; T = T1C1 T2C2	1=(C1+C2)

13.7 Iдея динамiчного опалення (вперше запропонована В. Томсоном у 1852 р.) полягає у наступному. Пальне спалюють у топцi теплового двигуна, що приводить у дiю холодильну машину. Холодильна машина забирає теплоту вiд природного резервуару води (наприклад, вiд ґрунтової води) i вiддає цю кiлькiсть теплоти водi у опалювальнiй системi. Одночасно вода в опалювальнiй системi слугує холодильником теплового двигуна. Визначити теоретичну кiлькiсть теплоти (без врахування теплових втрат) що отримує примiщення що опалюється вiд згоряння 1 кг кам’яного вугiлля з питомою теплотою згоряння 30 МДж=кг. Температура води в опалювальнiй системi

ТЕОРЕМА КЛАУЗIУСА. НЕРIВНIСТЬ КЛАУЗIУСА. ЕНТРОПIЯ

33

60 C, температура у котлi парової машини 210 C, температура ґрунтової води 15 C.

Вiдповiдь: 90 МДж

13.8 Два тiла однакової маси з температурами T1 i T2 приводять у тепловий контакт. Знайти прирiст ентропiї у результатi встановлення термодинамiчної рiвноваги, вважаючи, що релаксацiйний процес проходить при сталому тиску. Вважати, що cp = const.

Вiдповiдь: cp ln (T1 + T2)2

4T1T2

13.9 Знайти змiну ентропiї 30 г льоду при перетвореннi його у пару, якщо початкова температура льоду 40 C, а температура пару 100 C. Теплоємностi води та льоду вважати сталими, а всi процеси - такими, що проходять при атмосферному тиску. Питома теплоємнiсть льоду 2100 Дж=(кг К), води

— 4200 Дж=(кг К).

Вiдповiдь: 260 кДж=К

13.10 Знайти сумарну змiну ентропiї води та залiза пiд час занурення 100 г залiза нагрiтого до 300 C, у воду при температурi 15 C. Питома теплоємнiсть залiза 460 Дж=(кг К).

Вiдповiдь: 13;4 кДж=К

13.11 В об’ємi 3 л знаходиться 0;5 моля кисню, а в об’ємi 2 л — 0;5 моль азоту при температурi 300 К. Знайти максимальну механiчну роботу, що можна отримати пiд час iзотермiчного змiшування газiв у сумарний об’єм.

Вiдповiдь: 1;8 кДж

13.12 Воду масою 5 кг, взяту з температурою 280 К змiшали з водою масою 8 кг з температурою 350 К. Знайти температуру, що встановиться у станi термодинамiчної рiвноваги та змiну ентропiї у процесi змiшування.

Вiдповiдь: 323 К; 0;3 кДж=кг

13.13 Знайти змiну ентропiї пiд час iзобарного розширення азоту масою 4 г вiд об’єму 5 л до об’єму 9 л.

Вiдповiдь: 2;43 Дж=кг

13.14 Об’єм кисню масою 2 кг збiльшили у 5 разiв один раз iзотермiчно, iнший — адiабатно. Знайти змiну ентропiї у кожному з цих процесiв.

Вiдповiдь: 836 Дж=кг; 0

13.15100 г водню iзотермiчно нагрiвають так, що його об’єм збiльшується

у3 рази, потiм - iзохорно охолоджують так, що його тиск зменшується у 3 рази. Знайти змiну ентропiї у процесi.

Вiдповiдь: 680 Дж=кг

34	РЕАЛЬНI ГАЗИ. РIВНЯННЯ ВАН-ДЕР-ВААЛЬСА

14Реальнi гази. Рiвняння Ван-дер-Ваальса

14.1Критична температура вуглекислоти CO2 становить 31 C, критичний тиск 73 атм. Визначити критичний об’єм одного моля вуглекислоти.

Вiдповiдь: 128 см3

14.2 Знайти сталi рiвняння Ван-дер-Ваальса для азоту, якщо критична температура азоту рiвна 146 C, а критичний тиск 33 атм.

Вiдповiдь: b = 39;4 см3=моль; a = 0;14 Н м4=моль2

14.3 Знайти густину води у критичному станi, якщо критичний тиск для води рiвний 195 атм, критична температура 374 C. Вважати, що вода описується рiвнянням Ван-дер-Ваальса.

Вiдповiдь: 0;18 г=см3

14.4 Азот з кiлькiстю речовини 1 моль розширюється у порожнечу вiд об’єму 1 л до об’єму 10 л. Знайти змiну температури у процесi. Стала a у рiвняннi Ван-дер-Ваальса для азоту рiвна 0;135 Н м4=моль2.

Вiдповiдь: 0;25 C

14.5 Двi посудини з об’ємами V1 i V2 з’єднанi трубкою з краном. У кожнiй з них при закритому кранi знаходиться по одному молю одного i того ж газу, що описується рiвнянням Ван-дер-Ваальса. До вiдкриття крану температура газiв в обох посудинах була однакова i рiвна T . Нагрiється чи охолоне газ, якщо вiдкрити кран? На скiльки при цьому змiниться температура газу? Визначити тиск газу пiсля вiдкриття крану. Стiнки посудин i трубки що їх з’єднує вважати теплоiзольованими. Теплоємнiсть газу CMV не залежить вiд температури.

Вiдповiдь: Газ охолоне. Температура i тиск газу пiсля вiдкриття крану:

T 0 = T		a	(V2 V1)2	; P 0 =	2RT 0		4a
					V1 + V2 2b		(V1 + V2)2
		2CMV V1V2 (V1 + V2)

14.6 Два балони з об’ємами 1 л з’єднанi трубкою з краном. В одному балонi знаходиться повiтря з атмосферним тиском, а iнший вiдкачаний до граничного вакууму. Вважаючи, що повiтря описується рiвнянням Ван-дер- Ваальса, а стiнки балону i трубки теплоiзольованi, визначити, на скiльки змiниться температура газу пiсля вiдкриття крану. Початкова температура 290 К. Для повiтря a рiвне 0;14 Н м4=моль2.

Вiдповiдь: 0;0056 C

14.7 Азот при критичнiй температурi 147 C має критичний молярний об’- єм 0;12 л=моль. Вважаючи, що азот описується рiвнянням Ван-дер-Ваальса,

РЕАЛЬНI ГАЗИ. РIВНЯННЯ ВАН-ДЕР-ВААЛЬСА

35

знайти зниження температури 7 г азоту при розширеннi у порожнечу вiд об’- єму 5 л, до об’єму 50 л.

Вiдповiдь: 0;013 C

14.8 Яку кiлькiсть тепла необхiдно надати молям газу Ван-дер-Ваальса, щоб при розширенi у порожнечу вiд об’єму V1 до об’єму V2 його температура не змiнилася?

Вiдповiдь: a 2	V1	V2
	1	1

14.9 Яку кiлькiсть тепла необхiдно надати молям газу Ван-дер-Ваальса, щоб при розширенi у порожнечу вiд об’єму V1 до об’єму V2 його тиск залишився сталим i рiвним P ?

Вiдповiдь:	CMV	P +	a 2	(V2 b) P +	a 2	(V1 b) +	a 2
	R		V22		V12		V1 V2

14.10 Кисень з кiлькiстю речовини 1 моль має температуру 350 К. Знайти вiдносну похибку при обчисленi внутрiшньої енергiї газу якщо газ розглядати як iдеальний. Розрахунки провести для двох значень об’єму газу: 2 л; 0;2 л.

Вiдповiдь: 9;43 10 3 ; 0;103

14.11 Знайти внутрiшню енергiю вуглекислого газу масою 132 г при нормальному тиску i температурi 300 К у двох випадках: розглядаючи газ як iдеальний; як реальний.

Вiдповiдь: 22;4 кДж; 9;2 кДж

14.12 У посудинi з об’ємом 10 л мiститься азот масою 0;25 кг. Визначити додатковий тиск зумовлений взаємодiєю молекул газу та власний об’єм молекул газу.

	Вiдповiдь: 108 кПа;	86;2 см3
14.13	У посудинi з об’ємом 0;3 л мiститься вуглекислий газ з кiлькiстю
речовини	1 моль при температурi 300 К. Визначити тиск газу якщо вiн опису-
ється рiвнянням Менделєєва-Клапейрона та Ван-дер-Ваальса.
	Вiдповiдь: 8;31 МПа;	5;67 МПа

14.14 Внутрiшня порожнина стального балону з товстими стiнками наполовину заповнена водою при кiмнатнiй температурi. Балон герметично закрили i нагрiли до температури 650 К. Визначити тиск водяного пару при цiй температурi.

Вiдповiдь: 544 МПа

14.15 Визначити найбiльший об’єм, що може займати вода з кiлькiстю речовини 1 моль.

Вiдповiдь: 91;2 см3

36	РIДИНИ. ПОВЕРХНЕВI ЯВИЩА

15Рiдини. Поверхневi явища

15.1Для визначення коефiцiєнту поверхневого натягу води зважують краплини, що вiдриваються вiд капiляру, i вимiрюють дiаметр перешийку

краплини у момент вiдриву. Виявилося, що маса 318 краплин води рiвна 5 г, а дiаметр перешийку 0;7 мм. Знайти поверхневий натяг води.

Вiдповiдь: 70 мН=м

15.2 Знайти коефiцiєнт поверхневого натягу рiдини, якщо петля з резинового шнуру довжиною l з поперечним перерiзом S, покладена на плiвку цiєї рiдини розтягнулася у коло радiусом R пiсля того як плiвка була проколота всерединi петлi. Вважати, що для малих розтягiв для резини справедливий закон Гука, i модуль Юнга для резини рiвний E.

Вiдповiдь: R			l	1
	ES		2 R

15.3 Чому рiвний капiлярний тиск у краплинi ртутi з дiаметром 1 мкм при температурi 15 C, якщо коефiцiєнт поверхневого натягу ртутi при цiй температурi рiвний 487 мН=м?

Вiдповiдь: 1;96 МН=м2

15.4 Знайти додатковий тиск всерединi мильної бульбашки з дiаметром 0;8 см, якщо коефiцiєнт поверхневого натягу мильної води 40 мН=м.

Вiдповiдь: 40 Па

15.5 У днi посудини утворилася трiщина шириною 0;02 мм. До якої висоти можна налити ртуть у посудину, щоб вона ще не витiкала через трiщину? Густина ртутi 13;6 103 кг=м3, коефiцiєнт поверхневого натягу ртутi (при температурi 15 C) рiвний 487 мН=м.

Вiдповiдь: 35 см

15.6 Оцiнити максимальну кiлькiсть води, що можна налити у решето з дном дiаметром 20 см покритим парафiном, якщо дно зроблено з металевого листу з круглими отворами дiаметром 1 мм. Коефiцiєнт поверхневого натягу води 70 мН=м. Як залежить максимальна маса вiд густини?

Вiдповiдь: 900 г

15.7 Знайти коефiцiєнт поверхневого натягу рiдини, якщо у капiлярi з дiаметром 1 мм вона пiднiмається на висоту 32;6 мм. Густина рiдини 1 г=см3. Краєвий кут менiска рiвний нулевi.

Вiдповiдь: 80 мН=м

РIДИНИ. ПОВЕРХНЕВI ЯВИЩА

37

15.8Знайти рiзницю рiвнiв у двох сполучених капiлярах з дiаметрами d1 i d2. Коефiцiєнт поверхневого натягу рiдини рiвний . Краєвi кути менiскiв рiвнi нулевi. Густина рiдини .

Вiдповiдь: g		d1	d2
	4	1	1

15.9 На скiльки змiниться рiзниця рiвнiв води у двох сполучених капiлярах з дiаметрами 0;1 мм i 0;3 мм при нагрiваннi вiд 20 C до 70 C якщо коефiцiєнт поверхневого натягу води при цих температурах рiвний вiдповiдно 73 мН=м та 64 мН=м.

Вiдповiдь: 24;2 мм

15.10 На яку висоту пiднiметься вода мiж двома вертикальними скляними пластинками, частково зануреними у рiдину, якщо вiдстань мiж ними 0;5 мм? Коефiцiєнт поверхневого натягу води 73 мН=м. Краєвий кут рiвний нулевi.

Вiдповiдь: 3 см

15.11 Краплина води масою 0;1 г розмiщена мiж двома плоскими паралельними скляними пластинами що змочуються водою, причому крайовий кут рiвний нулю. Знайти силу притягання мiж пластинами, якщо вiдстань мiж ними 1 10 4 см? Коефiцiєнт поверхневого натягу води 73 мН=м.

Вiдповiдь: 1;46 104 Н

15.12 Знайти силу, з якою притягуються двi вертикальнi паралельнi склянi пластини частково зануренi у воду так, що вiдстань мiж ними рiвна 0;1 мм. Ширина пластинок 15 см, коефiцiєнт поверхневого натягу води 73 мН=м, краєвий кут рiвний нулю. Висота пластинок така, що вода що пiднiмається мiж ними не досягає до верхнiх країв.

Вiдповiдь: 10 Н

15.13 На поверхнi рiдини плаває занурена на глибину h шайба радiусом r i висотою 2h, що не змочується рiдиною. Густина рiдини та шайби рiвна . Поверхня рiдини дотикається до бокової поверхнi шайби. Визначити коефiцiєнт поверхневого натягу рiдини.

Вiдповiдь: 12 g hr

15.14 Визначити механiчну роботу проти сил поверхневого натягу, яку необхiдно виконати щоб роздiлити сферичну краплину ртутi радiусом 3 мм на двi одинаковi краплини. Коефiцiєнт поверхневого натягу ртутi 510 мН=м.

Вiдповiдь: 1;4 10 5 Дж

38	ФАЗОВI ПЕРЕХОДИ

15.15 На скiльки нагрiється краплина ртутi, що отримується вiд злиття двох краплин радiусом 1 мм кожна? Коефiцiєнт поверхневого натягу ртутi 500 мН=м. Питома теплоємнiсть ртутi 138 Дж=(кг К).

Вiдповiдь: 1;65 10 4 К

16Фазовi переходи

16.1У каструлю налили холодної води при температурi 10 C i поставили на плиту. Через 10 хвилин вода закипiла. Через який час вода повнiстю випарується?

Вiдповiдь: 1 год

16.2 Вода у колбi має температуру 0 C. Шляхом вiдкачування пари всю у колбi воду заморозили. Яка частина води випарувалася?

Вiдповiдь: 13%

16.3 Цилiндр з поперечним перерiзом 20 см2 роздiлений поршнем масою 5 кг на двi частини. У нижнiй його частинi знаходиться вода, а верхня частина вiдкачана. Поршень з’єднаний з цилiндром пружиною з жорсткiстю 15 Н=м. Спочатку пружина не деформована. Визначити масу водяної пари, що утвориться при нагрiваннi води вiд 0 C до 100 C. Тертям можна знехтувати.

Вiдповiдь: 12 г

16.4 Яка частина переохолодженої до температури 4 C води замерзне, якщо кинути у воду маленький кусочок льоду, i визвати тим самим кристалiзацiю?

Вiдповiдь: 5%

16.5 Вологе повiтря, що переноситься вiтром з тихоокеанського побережжя, пiднiмається по схилах Кордильєр розширюється i охолоджується. При цьому водяна пара, що мiститься у повiтрi випадає у виглядi опадiв. Оцiнити, на скiльки вiдрiзняється температура повiтря по обидвi сторони гiр, якщо його вологiсть на побережжi становить 60%, а температура 25 C. При цiй температурi тиск насиченої водяної пари становить 34 кПа. Питоме тепло пароутворення води 2;5 МДж=кг. Атмосферний тиск поблизу пiднiжжя гiр становить 100 кПа.

Вiдповiдь: 23 C

ФАЗОВI ПЕРЕХОДИ

39

16.6 У вертикально розмiщеному цилiндрi пiд поршнем масою 10 кг розмiщено деякi кiлькостi повiтря, води та водяної пари при температурi 100 C. У положеннi рiвноваги поршень знаходиться на вiдстанi 20 см вiд дна. Коли цилiндр розмiстили горизонтально, поршень зайняв нове положення рiвноваги, перемiстившись на вiдстань 3 см вiд початкового положення. Яка маса води була на днi цилiндра? Площа поршня 400 см2. Атмосферний тиск 100 кПа.

Вiдповiдь: 0;59 г

16.7У запаянiй з одного кiнця горизонтальнiй трубцi розмiщене повiтря

звiдносною вологiстю 60%. Повiтря вiдокремлене вiд атмосфери стовпчиком ртутi висотою 3;8 см. Знайти вiдносну вологiсть повiтря, якщо трубку поставити вертикально вiдкритим кiнцем угору. Температуру пiдтримують сталою. Атмосферний тиск рiвний 760 мм.рт.ст.

Вiдповiдь: 63%

16.8 У цилiндрi об’ємом 10 л пiд поршнем знаходиться вологе повiтря при температурi 20 C та тиску 13;3 кПа. Вiдносна вологiсть повiтря 70%. Знайти тиск у цилiндрi, якщо об’єм при сталiй температурi зменшити у 10 разiв. Тиск насиченої пари води при температурi 20 C становить 2;4 кПа.

Вiдповiдь: 119 кПа

16.9 Визначити вiдношення густин сухого повiтря та повiтря з вiдносною вологiстю 50%. Обидвi порцiї повiтря взятi при атмосферному тиску рiвному 100 кПа i температурi 20 C. Вiдношення молярних мас водяної пари та повiтря рiвне 0,6. Тиск насиченої пари води при температурi 20 C становить 2;4 кПа.

Вiдповiдь: 1,005

16.10 Двi кулi-зонди однакового об’єму 1 м3 заповнюють повiтрям при температурi 373 К, i тиску 100 кПа. Рiзниця пiднiмальних сил куль - одна з яких заповнена сухим повiтрям, а iнша - вологим - становить 0;72 Н. Визначити вiдносну вологiсть повiтря у другiй кулi.

Вiдповiдь: 20%

16.11 Посудина об’ємом 20 дм3 роздiлена тонкою рухомою перегородкою на двi частини. У лiвiй частинi розмiщена вода з кiлькiстю речовини 1 моль, у правiй — азот, з кiлькiстю речовини 0;5 моль. Температура пiдтримується рiвною 100 C. Визначити об’єм правої частини посудини.

Вiдповiдь: 15 л

40	РIВНЯННЯ КЛАПЕЙРОНА-КЛАУЗIУСА
	16.12 У посудину об’ємом 10 л, що заповнена сухим повiтрям з тиском

100 кПа i температурою 0 C, вводять 3 г води. Посудину нагрiвають до температури 100 C. Знайти тиск вологого повiтря при цiй температурi.

Вiдповiдь: 188 кПа

16.13 У камеру об’ємом 1 л, що сполучена з повiтрям при температурi 20 C i тиском 100 кПа кидають шматок сухого льоду масою 0;5 г. Камеру вiдразу герметично закривають. Визначити тиск у камерi пiсля встановлення рiвноваги при незмiннiй температурi. Тиск насиченої пари вуглекислоти при температурi 20 C становить 5;65 106 Па.

Вiдповiдь: 126 кПа

16.14 У посудинi об’ємом 10 л знаходиться повiтря i 3;5 г води. При температурi 7 C, коли тиском насиченої водяної пари можна знехтувати тиск у посудинi рiвний 100 кПа. Посудина закрита клапаном з площею 1 мм2, що утримується пружиною з силою 0;1 Н. Посудину повiльно нагрiвають. При якiй температурi вiдкриється клапан, якщо вiдомо, що до моменту вiдкриття клапану вся вода перетворюється у пару.

Вiдповiдь: 112 C

16.15 . Повiтряну резинову кульку надувають у кiмнатi при температурi 22 C. На скiльки змiниться об’єм кульки, якщо її винести на вулицю, де температура рiвна 1 C? Вважати, що водяна пара в кульцi насичена. Тиск насиченої водяної пари при температурi 22 C рiвний 2660 Па, при температурi 1 C — 665 Па. Атмосферний тиск рiвний 100 кПа. Тиском резинових стiнок кульки знехтувати.

Вiдповiдь: у 0,91 рази

17Рiвняння Клапейрона-Клаузiуса

17.1Знайти змiну температури плавлення льоду, при збiльшенi тиску на 1 атм. Питомий об’єм води при 0 C 1 см3=г, питомий об’єм льоду 1;091 см3=г. Питоме тепло плавлення льоду 330 кДж=кг.

Вiдповiдь: 0;0075 К

17.2 Ромбiчна сiрка перетворюється на моноклинну при температурi рiвнiй 96;5 C. При атмосферному тиску питоме тепло перетворення 9;2 Дж=кг. Скачок питомого об’єму сiрки пiд час фазового перетворення 0;014 см3=г.