ZadachiMolekularna

КIНЕТИЧНI ЕФЕКТИ У IДЕАЛЬНИХ ГАЗАХ

21

8Кiнетичнi ефекти у iдеальних газах

8.1Для водню, за нормального тиску довжина вiльного пробiгу молекул рiвна 1;28 10 5 см. Знайти ефективний дiаметр молекули водню.

Вiдповiдь: 2;5 10 8 см

8.2 Скiльки зiткнень за 1 с здiйснює молекула неону при температурi 600 К i тиску 1 мм.рт.ст., якщо ефективний дiаметр молекули неону рiвний

2;04 10 8 см?

Вiдповiдь: 2;2 106 с 1

8.3 Скiльки зiткнень здiйснює в середньому молекула CO2 за одну секунду за нормальних умов? Ефективний дiаметр молекули CO2 рiвний 1 10 7 см.

Вiдповiдь: 4 1010 с 1

8.4 Скiльки зiткнень вiдбувається щосекунди у 1 см3 мiж молекулами кисню, що знаходиться за нормальних умов? Ефективний дiаметр молекули кисню 3;1 10 8 см.

Вiдповiдь: 6 1028 с 1м 3

8.5 Iдеальний газ нагрiвають при сталому тиску. Як змiнюються довжина вiльного пробiгу i кiлькiсть зiткнень молекул за одну секунду при змiнi температури?

Вiдповiдь: l T ; T 1=2

8.6 Знайти середню довжину вiльного пробiгу молекули кисню за нормальних умов, якщо коефiцiєнт самодифузiї кисню за тих же умов рiвний 0;19 см2=с.

Вiдповiдь: 1;3 10 5 см

8.7 Знайти залежнiсть середньої кiлькостi зiткнень частинки iдеального газу за 1 с вiд тиску пiд час iзохорного та iзотермiчного процесiв. Зобразити

залежностi на графiках.

p

Вiдповiдь: P ; P

8.8 Знайти залежнiсть середньої довжини вiльного пробiгу частинки iдеального газу вiд температури пiд час iзохорного та iзобарного процесу. Зобразити залежностi на графiках.

Вiдповiдь: не залежить; l T

8.9 Визначити, у скiльки разiв вiдрiзняються коефiцiєнти самодифузiї газоподiбних водню та кисню, що знаходяться за нормальних умов.

Вiдповiдь: у 7,1 раза

22	КIНЕТИЧНI ЕФЕКТИ У IДЕАЛЬНИХ ГАЗАХ

8.10 Два горизонтальних диски з радiусами 20 см розмiщенi один над одним, так що їх вiсi спiвпадають. Вiдстань мiж площинами дискiв рiвна 0;5 см. Верхнiй диск нерухомий, а нижнiй обертається вiдносно геометричної вiсi з частотою 10 с 1. Динамiчна в’язкiсть повiтря, в якому розмiщенi диски рiвна 17;2 мкПа с. Знайти обертальний момент, що дiє на верхнiй диск.

Вiдповiдь: 0;54 мН м

8.11 Визначити залежнiсть коефiцiєнта самодифузiї iдеального газу вiд температури у iзобарному та iзохорному процесах.

p

Вiдповiдь: D T 3=2; D T

8.12 Визначити залежнiсть коефiцiєнта самодифузiї iдеального газу вiд тиску у iзотермiчному та iзохорному процесах.

	Вiдповiдь: D		1	; D	p
						P
		P

8.13 Визначити залежнiсть динамiчної в’язкостi iдеального газу вiд тем-

ператури у iзобарному та iзохорному процесах.

p p

Вiдповiдь: T ; T

8.14 Стержень малого поперечного перерiзу завдовжки 50 см складений з двох частин однакової довжини, лiва з яких мiдна, а права - залiзна. Бiчнi стiнки стержня теплоiзольованi. На лiвому кiнцi стержня пiдтримують температуру 0 C, а на правому — 100 C. Яка температура площини дотику частин стержня? Коефiцiєнт теплопровiдностi мiдi та залiза вiдповiдно рiвнi 395 Вт=(м К) i 73 Вт=(м К).

Вiдповiдь: 16 C

8.15 За деяких умов коефiцiєнт самодифузiї водню становить 100 мм2=с. Який коефiцiєнт самодифузiї гелiю за таких же тиску i температури? Ефе-

˚ ˚

ктивнi дiаметри молекул водню й гелiю становлять вiдповiдно 2;3 A та 1;9 A, а їх атомнi маси вiдповiдно 2;0 а.о.м та 4;0 а.о.м.

Вiдповiдь: 100 мм2=с

РIВНЯННЯ ТЕПЛОВОГО БАЛАНСУ. ТЕПЛОЄМНОСТI IДЕАЛЬНОГО ГАЗУ

23

9Рiвняння теплового балансу. Теплоємностi iдеального газу

9.1 У воду масою 1 кг при температурi 20 C кинули мокрий снiг масою 250 г. Коли весь снiг розтанув загальна температура стала рiвною 5 C. Визначити кiлькiсть води що була у мокрому снiгу. Питома теплота плавлення снiгу 334 кДж=кг.

Вiдповiдь: 78 г

9.2 У латунний калориметр масою 125 г кладуть шматок льоду масою 0;1 кг. Температура калориметра i льоду рiвна 20 C. Скiльки води при температурi 20 C необхiдно долити у калориметр, щоб половина льоду розтанула? Питома теплоємнiсть латунi 0;38 кДж=(кг К), питома теплоємнiсть плавлення льоду 334 кДж=кг.

Вiдповiдь: 261 г

9.3 У вiдкритiй посудинi знаходиться лiд масою 10 кг при температурi10 C. Скiльки води виявиться у посудинi, якщо льоду надати кiлькiсть теплоти рiвну 20 МДж? Питомi теплоємностi води i льоду рiвнi 4;2 кДж=(кг К) i 2;1 кДж=(кг К). Питома теплоємнiсть плавлення льоду i питома теплота випаровування води рiвнi вiдповiдно 0;33 МДж=кг i 2;3 МДж=кг.

Вiдповiдь: 4;7 кг

9.4 У кружцi знаходиться 500 г льоду при температурi 0 C. В кружку наливають 200 г води нагрiтої до температури 80 C. Якою буде кiнцева температура i що буде знаходитися у кружцi?

Вiдповiдь: 0 C; 404 г води i 296 г льоду

9.5 У калориметр, що мiсить 100 г льоду при температурi 0 C впустили пару при температурi 100 C. Скiльки води виявиться у калориметрi безпосередньо пiсля того, коли весь лiд розтане? Питома теплота пароутворення води при температурi 100 C рiвна 2;26 МДж=кг.

Вiдповiдь: 112;5 г

9.6 Пiд час згоряння 1 г водню i перетворення його у воду видiляється кiлькiсть теплоти рiвна 142 кДж. Скiльки вугiлля з питомою теплотою згоряння 29 МДж=кг потрiбно спалити для дисоцiацiї 1 л води, якщо з теплоти, що видiляється пiд час спалення вугiлля використовується 50%?

Вiдповiдь: 1;09 кг

24	РIВНЯННЯ ТЕПЛОВОГО БАЛАНСУ. ТЕПЛОЄМНОСТI IДЕАЛЬНОГО ГАЗУ

9.7 Свинець масою 1 кг розплавиться на половину, якщо йому надати кiлькiсть тепла рiвну 54;5 кДж. Знайти початкову температури свинцю. Питома теплоємнiсть свинцю 130 Дж=(кг К), питома теплота плавлення свинцю 24 кДж=кг, температура плавлення свинцю 600 К.

Вiдповiдь: 273 К

9.8 Рiзниця питомих теплоємностей cp cv деякого двоатомного газу рiвна 260 Дж=(кг К). Знайти молярну масу газу i його питомi теплоємностi cv i cp.

Вiдповiдь: 0;032 кг=моль; 650 Дж=(кг К); 910 Дж=(кг К)

9.9 Знайти питомi теплоємностi cv i cp сумiшi газiв, що мiстять кисень масою 10 г i азот масою 20 г.

Вiдповiдь: 715 Дж=(кг К); 1;01 кДж=(кг К)

9.10 Визначити питому теплоємнiсть cv сумiшi газiв, що мiстять 5 л водню i 3 л гелiю. Гази знаходяться за однакових умов.

Вiдповiдь: 4;53 кДж=(кг К)

9.11 Визначити питому теплоємнiсть cp сумiшi кисню та азоту, якщо кiлькiсть речовини кисню рiвна 2 моль, а азоту — 4 моль.

Вiдповiдь: 990 Дж=(кг К)

9.12 Знайти показник адiабати сумiшi газiв що мiстить кисень i аргон взятих з однаковою кiлькiстю речовини.

Вiдповiдь: 1,50

9.13 Ступiнь дисоцiацiї газоподiбного водню рiвна 60%. Знайти питому теплоємнiсть cv такого частково дисоцiйованого водню.

Вiдповiдь: 11;6 кДж=(кг К)

9.14 Визначити показник адiабати частково дисоцiйованого газоподiбного азоту, ступiнь дисоцiацiї якого рiвна 40%.

Вiдповiдь: 1,52

9.15 Визначити ступiнь дисоцiацiї газоподiбного хлору, якщо показник адiабати такого частково дисоцiйованого газу рiвний 1,55.

Вiдповiдь: 51,7%

ЗАСТОСУВАННЯ ПЕРШОГО ЗАКОНУ ТЕРМОДИНАМIКИ ДО ПРОЦЕСIВ У IДЕАЛЬНОМУ ГАЗI 25

10Застосування першого закону термодинамiки до процесiв у iдеальному газi

10.1Повiтря, що займає об’єм 10 л при тиску 100 кПа адiабатно стискають до об’єму 1 л. Який тиск повiтря пiсля стискання?

Вiдповiдь: 2;52 МПа

10.2 Робоча сумiш у двигунi дизеля спалахує при температурi 1;1 кК. Початкова температура сумiшi 350 К. У скiльки разiв необхiдно зменшити об’єм сумiшi при стисканнi, щоб вона спалахнула? Стискання вважати адiабатним. Показник адiабати для сумiшi рiвний 1,4.

Вiдповiдь: 17,5

10.3Пiд час адiабатного стискання газу його об’єм зменшився у 10 разiв,

атиск збiльшився у 21,4 раза. Визначити вiдношення CMP =CMV теплоємностей газу.

Вiдповiдь: 1,33

10.4 Визначити яку механiчну роботу виконує водень масою 5 г, що перебуває при температурi 290 К пiд час iзотермiчного розширення, якщо його об’єм збiльшується у три рази.

Вiдповiдь: 6;62 кДж

10.5 Азот, що займав об’єм 10 л i перебував пiд тиском 0;2 МПа, iзотермiчно розширився до об’єму 28 л. Визначити механiчну роботу, що виконав газ пiд час процесу.

Вiдповiдь: 2;06 кДж

10.6 При iзохорному нагрiванню кисню об’ємом 50 л тиск газу збiльшився на 0;5 МПа. Знайти кiлькiсть теплоти, що отримав газ пiд час процесу.

Вiдповiдь: 62;5 кДж

10.7 Азот нагрiвають при сталому тиску. Пiд час нагрiвання газ отримав кiлькiсть тепла рiвну 21 кДж. Визначити механiчну роботу яку виконав газ, а також змiну його внутрiшньої енергiї.

Вiдповiдь: 6 кДж; 15 кДж

10.8 Пiд час iзотермiчного розширення кисню, взятого в кiлькостi 1 моль що має температуру 300 К, газу надали кiлькiсть тепла рiвну 2 кДж. У скiльки разiв збiльшився об’єм газу?

Вiдповiдь: 2,23

26ЗАСТОСУВАННЯ ПЕРШОГО ЗАКОНУ ТЕРМОДИНАМIКИ ДО ПРОЦЕСIВ У IДЕАЛЬНОМУ ГАЗI

10.9Один моль водню, що мав температуру 0 C, нагрiвається при сталому тиску. Яку кiлькiсть теплоти необхiдно надати газу, щоб його об’єм подвоївся? Яку механiчну роботу при цьому виконає газ?

Вiдповiдь: 7;94 кДж; 2;27 кДж

10.10 Пiд час нагрiвання 1 кг невiдомого газу на 1 К при сталому тиску необхiдно надати йому 912 Дж, а при сталому об’ємi — 649 Дж теплоти. Що це за газ?

Вiдповiдь: кисень

10.11 Знайти змiну внутрiшньої енергiї одного моля одноатомного iдеального газу, що iзобарно розширився вiд об’єму 10 л, до об’єму 20 л при тиску 5 атм.

Вiдповiдь: 76 кДж

10.12 Яку кiлькiсть теплоти вiддає один моль одноатомного iдеального газу пiд час його iзобарного квазiстатичного охолодження, якщо на стисканнi газу пiд час процесу затрачено механiчну роботу рiвну 10 Дж?

Вiдповiдь: 25 Дж

10.13 1 м3 водню при температурi 0 C знаходиться у цилiндричнiй посудинi, що закрита зверху невагомим поршнем, що може легко ковзати. Атмосферний тиск рiвний 730 мм.рт.ст. Яку кiлькiсть теплоти потрiбно надати газу для нагрiвання до 300 C?

Вiдповiдь: 277 кДж

10.14 Iдеальний газ розширюється по закону P = V , де — деякий сталий коефiцiєнт. Знайти механiчну роботу виконану газом, а також змiну його внутрiшньої енергiї при збiльшенi об’єму газу вiд V1 до V2. Молярна теплоємнiсть газу при сталому об’ємi рiвна CMV .

Вiдповiдь:	1		V22 V12 ;	CMV	V22 V12
	2			R

10.15 У посудинi об’ємом 10 л знаходиться кисень O2 пiд тиском 1 атм. Стiнки посудини можуть витримати тиск до 10 атм. Знайти максимальну кiлькiсть теплоти, що можна надати газу.

Вiдповiдь: 22;7 кДж

ПОЛIТРОПНИЙ ТА АДIАБАТНИЙ ПРОЦЕСИ У IДЕАЛЬНОМУ ГАЗI

27

11 Полiтропний та адiабатний процеси у iдеальному газi

11.1 Iдеальний газ розширюється по закону P V 2 = const. Нагрiвається чи охолоджується газ при цьому? Знайти молярну теплоємнiсть у такому процесi.

Вiдповiдь: охолоджується; CM = CMV R

11.2 Iдеальний газ розширюється по закону P 2V = const. Нагрiвається чи охолоджується газ при цьому? Знайти молярну теплоємнiсть у такому процесi.

Вiдповiдь: нагрiвається; CM = CMP + R

11.3 У деякому полiтропному процесi гелiй стиснули вiд об’єму 4 л до об’єму 1 л. Тиск при цьому зрiс вiд 1 атм до 8 атм. Знайти теплоємнiсть всiєї маси гелiю, якщо початкова температура газу була 300 К.

Вiдповiдь: 0;68 Дж/К

11.4 Обчислити молярну теплоємнiсть iдеального газу для процесу в якому його тиск пропорцiйний до об’єму. Молярну теплоємнiсть при сталому об’ємi вважати незалежною вiд температури.

Вiдповiдь: CMV + R2

11.5 Знайти рiвняння процесу у iдеальному газi, в якому теплоємнiсть газу змiнюється з температурою за законом CM = T , де — стала. Адiабатна стала газу рiвна .

Вiдповiдь: T V 1e ( 1) T=R = const

11.6 Два компресори адiабатно стискають двоатомний iдеальний газ. Спочатку працює один компресор стискаючи газ вiд початкового об’єму V0 до промiжного об’єму V1. Потiм стиснутий газ охолоджується до початкової температури, пiсля чого другий компресор стискає газ до об’єму V2. При якому об’ємi V1 повна робота обох компресорiв мiнiмальна? Чому рiвна мiнiмальна робота? Об’єми V0, V2 вважати заданими. Початковий тиск газу P0. Робота якого з компресорiв при оптимальному значеннi V1 бiльша?

Вiдповiдь: V1 = pV0V2; Amin = 5P0V0			V2			1!;
				V0		1=5

робота обох компресорiв однакова

11.7 Поршень масою M, що закриває одноатомний iдеальний газ у об’ємi V0 пiд тиском P0 i з температурою T0, рухається зi швидкiстю u. Визначити

28	ПОЛIТРОПНИЙ ТА АДIАБАТНИЙ ПРОЦЕСИ У IДЕАЛЬНОМУ ГАЗI

температуру i об’єм газу при максимальному стиску. Система теплоiзольована, теплоємнiстю поршня i посудини знехтувати.

		Mu2				Mu2	3=2
Вiдповiдь: T = T0	1 +		;	V = V0	1 +
		3P0V0				3P0V0

11.8 Один моль водню, що мав температуру 0 C нагрiвають при сталому тиску. Яку кiлькiсть теплоти необхiдно надати газу, щоб його об’єм подвоїти? Яка механiчна робота буде виконана газом?

Вiдповiдь: 7;94 кДж; 2;27 кДж

11.9 Iдеальний газ, що знаходиться у еластичнiй адiабатнiй оболонцi пiд тиском P1 має температуру T1. Визначити температуру що встановиться пiсля того як зовнiшнiй тиск на газ миттєво змiниться до величини P2. Порiвняти змiну температури у цьому процесi iз змiною, яка була б якщо процес протiкав би квазiстатично.

				P1		2	P1	1	2
Вiдповiдь: T2 = T1		1		P2 P1	;	T кв.ст. = T1	P2		; T кв.ст. < T2
	1 +

11.10 Iдеальний газ з кiлькiстю речовини моль розмiщений у теплоiзольованому цилiндрi, що закритий рухомим поршнем що може ковзати у ньому без тертя. Зовнiшнiй тиск сталий i рiвний P1. В деякий момент часу зовнiшнiй тиск рiзко збiльшують до P2. (Цього можна досягнути поклавши на поршень вiдповiдний вантаж). У результатi газ адiабатно змiнює свiй об’єм. Знайти температуру i об’єм газу, що встановляться пiсля встановлення термодинамiчної рiвноваги у системi. Пiсля досягнення рiвноваги тиск знову змiнюють до попереднього значення P1 (наприклад, знявши з поршня вантаж). Визначити кiнцеву температуру та кiнцевий об’єм газу, коли знову встановиться термодинамiчна рiвновага.

Вiдповiдь: T2

= CMP CMV T1 + P2V1

;

V2 =

P2

2

;

1

RT

T3

= T1 +

CMV

V1

(P2 P1)2

;

V3 =

RT3

C2

P1

P2

MP

11.11 Iдеальний газ з кiлькiстю речовини моль розширюється по iзобарi 1–2, а потiм його тиск зменшують по iзохорi 2–3. При цьому газ виконує механiчну роботу A. Вiдношення тискiв у станах 2 i 3 рiвне k. Температура у кiнцевому станi рiвна температурi у початковому. Визначити цю температуру.

A

Вiдповiдь: T = (k 1) R

11.12 Тиск iдеального газу з кiлькiстю речовини зменшують по iзохорi 1– 2, а потiм газ розширюють по iзобарi 2–3. При цьому газ виконую механiчну

ТЕРМОДИНАМIЧНI ЦИКЛИ. ЦИКЛ КАРНО

29

роботу A. Вiдомо, що температура у кiнцевому станi рiвна температурi у початковому станi i рiвна T . Визначити вiдношення тискiв у станах 1 i 2.

1

Вiдповiдь: 1 RTA

11.13 Один моль iдеального одноатомного газу переводять з початкового стану з температурою 300 К у стан з втричi бiльшою температурою i двiчi меншим об’ємом. Знайти кiлькiсть тепла, що при цьому отримав газ. Вiдомо, що iз всiх шляхiв переведення газу з початкового у кiнцевий стан на яких тиск не падає нижче початкового був вибраний шлях, на якому над газом виконується найменша механiчна робота.

Вiдповiдь: 6;2 кДж

11.14 Повiтря масою 5 г нагрiвають при сталому тиску. Початкова температура повiтря 290 К. Яку кiлькiсть теплоти необхiдно надати повiтрю, щоб його об’єм збiльшити вдвiчi? Вважати, що питома теплоємнiсть повiтря при сталому об’ємi рiвна 1;02 кДж=(кг К).

Вiдповiдь: 1;5 кДж

11.15 При iзотермiчному розширеннi iдеальний газ виконує механiчну роботу 20 Дж. Яку кiлькiсть теплоти при цьому отримав газ?

Вiдповiдь: 20 Дж

12Термодинамiчнi цикли. Цикл Карно

12.1Iдеальний газ здiйснює цикл Карно. Температура холодильника рiвна

290К. У скiльки разiв збiльшиться ефективнiсть циклу, якщо температуру нагрiвника збiльшити вiд 400 К, до 600 К?

Вiдповiдь: 1,88

12.2 Iдеальна теплова машина, що працює за циклом Карно, за цикл отримує вiд нагрiвника кiлькiсть теплоти 2;512 кДж. Температура нагрiвника 400 К, температура холодильника 300 К. Знайти механiчну роботу, що виконує машина за один цикл та кiлькiсть теплоти, що машина вiддає холодильнику за один цикл.

Вiдповiдь: 630 Дж; 1;88 кДж

12.3 Iдеальна теплова машина, що працює за циклом Карно, виконує за один цикл механiчну роботу 2;94 кДж i вiддає за один цикл холодильнику кiлькiсть тепла 13;4 кДж. Знайти ефективнiсть циклу.

Вiдповiдь: 18%

30	ТЕРМОДИНАМIЧНI ЦИКЛИ. ЦИКЛ КАРНО

12.4 Iдеальна теплова машина, що працює за циклом Карно, виконує за один цикл механiчну роботу 73;5 кДж. Температура нагрiвника 100 C, холодильника — 0 C. Знайти ефективнiсть циклу, кiлькiсть теплоти, що отримує машина за один цикл вiд нагрiвника, та кiлькiсть теплоти, що вiддає машина за один цикл холодильнику.

Вiдповiдь: 26,8%; 274 кДж; 200 кДж

12.5 Iдеальна теплова машина працює за циклом Карно. 80% кiлькостi теплоти що отримується вiд нагрiвника передається холодильнику. Машина отримує вiд нагрiвника 6;28 кДж. Знайти ефективнiсть циклу i механiчну роботу, що виконує машина за цикл.

Вiдповiдь: 20%; 1;26 кДж

12.6 Iдеальна холодильна машина, що працює за оберненим циклом Карно виконує за один цикл над робочим тiлом механiчну роботу рiвну 37 кДж. При цьому вона забирає тепло вiд тiла з температурою 10 C i передає тепло тiлу з температурою 17 C. Знайти ефективнiсть циклу, кiлькiсть теплоти, що забирається вiд холодного тiла за один цикл i кiлькiсть теплоти, що передається теплому тiлу за один цикл.

Вiдповiдь: 9,7; 360 кДж; 400 кДж

12.7 Iдеальна холодильна машина, що працює за оберненим циклом Карно, передає тепло вiд холодильника при температурi 0 C кип’ятильнику при температурi 100 C. Яку масу води потрiбно заморозити у холодильнику, щоб перетворити у пару 1 кг води у кип’ятильнику?

Вiдповiдь: 4;94 кг

12.8 Газ, що здiйснює цикл Карно, вiддає холодильнику k-ту частину кiлькостi теплоти, що вiн отримує вiд нагрiвника. Визначити температуру нагрiвника, якщо температура холодильника рiвна T .

Вiдповiдь: T=k

12.9 Iдеальна теплова машина має корисну теплову потужнiсть 73;5 кВт i працює в температурному iнтервалi вiд 273 К до 373 К. Знайти енергiю, що отримує машина вiд нагрiвника за одну годину i енергiю, що вiддає машина холодильнику за одну годину.

Вiдповiдь: 274 кВт год; 200 кВт год

12.10 Один моль iдеального газу знаходиться у цилiндрi пiд поршнем при температурi T1. Газ при сталому тиску нагрiвають до температури T2, потiм при сталому об’ємi нагрiвають до температури T3. Потiм газ охолоджують при сталому тиску так, що величина об’єму зменшується до початкового