Випадок однорідної системи

Лінійне рівняння а₁х₁+а₂х₂+…+а_пх_п=b називаєтьсяоднорідним, якщо його вільний членb дорівнює нулю. Система лінійних рівнянь називаєтьсяоднорідною, або системою лінійних однорідних рівнянь, якщо всі її вільні члени рівні нулю:

Однорідна система завжди сумісна, бо вона має нульовий розв’язок (0,0,0,…,0). Це видно із теореми 1, оскільки із того, що всі вільні члени рівні нулю, випливає відсутність у відповідній ступінчастій системі рівнянь вигляду 0= b, де b≠0.

Якщо однорідна система зводиться до ступінчастої, в якій кількість рівнянь r дорівнює кількості невідомих п, то, згідно теореми 2, вона має єдиний розв’язок – нульовий. Якщо ж однорідна система зводиться до ступінчастої, в якій кількість рівнянь r менша, ніж кількість невідомих п, то множина розв’язків такої системи нескінченна, а, значить, вона має і ненульові розв’язки. Згідно наслідку 2 така система невизначена.

Нехай =f₁ – деякий ненульовий розв’язок однорідної системи. Тоді cf₁=– теж розв’язок цієї системи.

Якщо ж f₂= – якийсь інший ненульовий розв’язок даної системи, то при довільних c₁ і c₂ лінійна комбінація цих розв’язків теж буде розв’язком системи, оскільки якщо

і (і=1,2,…,п),

то і

Таким чином, довільна лінійна комбінація розв’язків однорідної системи теж буде її розв’язком. Важливими є такі лінійно незалежні розв’язки однорідної системи, через які лінійно виражаються всі решта її розв’язки.

Лінійно незалежна система розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь називається фундаментальною, якщо кожний розв’язок однорідної системи є лінійною комбінацією цієї лінійно незалежної системи.

Ясно, що якщо кількість рівнянь r в ступінчастому вигляді однорідної системи є меншою кількості невідомих п, то така система рівнянь володіє фундаментальною системою розв’язків. Очевидно також і те, що для отримання фундаментальної системи розв’язків (ФСР) можна надавати n-r вільним невідомим довільних значень і так відшукати скільки завгодно різних фундаментальних систем розв’язків, кожна з яких складалася б із n-r лінійно незалежних розв’язків.

Приклади.

1. Розв’язати систему

Розв’язання:

Зведемо розширену матрицю цієї системи до ступінчастого вигляду.

Тут перетворення (1) включає: а) до 2-го рядка додано 1-й, помножений на (-2);

б) до 3-го і 4-го рядків додано 1-й, помножений на (-3);

(2) включає: а) до помноженого на 5 3-го рядка додано помножений на (-8) 2-й рядок;

б) від 4-го рядка віднято 2-й рядок.

Після вилучення рівняння вигляду 0=0 задана система лінійних рівнянь звелася до наступної ступінчастої системи:

Ця система, а, значить, і задана система мають єдиний розв’язок.

2. Розв’язати систему.

Зведемо розширену матрицю цієї системи до ступінчастого вигляду:

.

Ця система несумісна, оскільки містить рівняння 0=14.

3. Розв’язати систему.

Зведемо розширену матрицю цієї системи до ступінчастого вигляду:

Отримано ступінчасту систему:

звідки, позначивши х₃ та х₄ вільними змінними, матимемо:

Це і є загальний розв’язок даної системи.

Частинні розв’язки: (1,-2,1,0), ( та інші.

Викладений метод розв’язування систем лінійних рівнянь називається методом Гаусса, абометодом послідовного виключення невідомих.

3. Розв’язати однорідну систему і знайти її фундаментальну систему розв’язків.

Отримаємо систему:

Загальний розв’язок:

– вільні невідомі.

Фундаментальну систему отримаємо, якщо вільним невідомим х₃, х₅надамо значень 1,0 і 0,1 відповідно (визначник матрицівідмінний від нуля). Отримаємо:

	x1 x2 x3 x4 x5
f1	1 –2 1 0 0
f2	15 –12 0 1 1

Розв’язки f₁таf₂і утворюють ФСР. Тоді ще один вигляд загального розв’язку системи: f=c₁f₁+c₂f₂, деc₁,c₂– довільні числа.